高中数学高考2 第2讲　参数方程 新题培优练

[基础题组练]

1．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．

设P(x，y)，由题设得

消去k得x2－y2＝4(y≠0)．

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．

联立

得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．

故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，

代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.

2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.

当α＝时，l与⊙O交于两点．

当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.

综上，α的取值范围是.

(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．

设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.

于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.

又点P的坐标(x，y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

(α为参数，＜α＜)．

3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.

解：(1)由ρ＝2cos＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.

故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsin α－1＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，

解得sin α＝或sin α＝－(舍去)，故α＝或.

4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.

(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；

(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．

解：(1)由题意可得曲线C的普通方程为＋＝1，

将代入曲线C的普通方程可得，曲线C的极坐标方程为＋＝1.

因为曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin，

所以ρ2＝4ρsin＝4ρ，

又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

所以x2＋y2＝2y－2x，

所以曲线C的极坐标方程为＋＝1；曲线D的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.

(2)点A，则所以A(2，2)．

因为直线l过点A(2，2)且倾斜角为，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入＋＝1可得，t2＋(8＋18)t＋16＝0，

设M，N对应的参数分别为t1，t2，

由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2＝－，t1t2＝，

所以＝＝.

[综合题组练]

1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＋4sin θ＝ρ.

(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知点M在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，求|MA|·|MB|的值．

解：(1)由消去参数t可得y＝(x－2)＋2，

所以直线l的普通方程为x－y＋2－2＝0.

因为ρsin2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin2θ＋4ρsin θ＝ρ2.

因为ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，

所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.

(2)将代入抛物线方程x2＝4y中，可得(2＋t)2＝4(2＋t)，即t2＋(8－8)t－16＝0.

因为Δ>0，且点M在直线l上，

所以此方程的两个实数根为直线l与曲线C的交点A，B对应的参数t1，t2，所以t1t2＝－16，

所以|MA|·|MB|＝|t1t2|＝16.

2．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，直线l：(t为参数)．

(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；

(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2，0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

解：(1)由ρsin2θ＝2acos θ(a>0)两边同乘以ρ得，曲线C：y2＝2ax，由直线l：(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.

(2)将代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，

由Δ>0得a>4，设M，N(－2＋t2，t2)，则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，

因为|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，所以|t1－t2|2＝|t1t2|，所以(2a)2－4×8a＝8a，所以a＝5.

3．(综合型)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－.

(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．

解：(1)由，消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，

所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.

由ρcos (θ＋)＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.

(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为A(2，π)，B，

设点P的坐标为(－5＋cos t，3＋sin t)，则点P到直线l的距离为d＝

＝.

所以dmin＝＝2，又|AB|＝2.

所以△PAB面积的最小值是S＝×2×2＝4.