高中数学高考2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 新题培优练

[基础题组练]

1．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　)

A．－2　　 B．－4

C．－3 D．－1

解析：选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D.

2.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)

A．2 B．－2

C．3 D．－3

解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，

则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)．

因为＝λ＋μ，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A.

3．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若＝m＋n，则(　　)

A．m＝，n＝ B．m＝，n＝

C．m＝，n＝ D．m＝，n＝

解析：选A.在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，

则＝＋，＝＋，

故＝＋，

＝＋.

由于＝m＋n，

所以m＝，n＝.

故选A.

4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)　　 B．(4，＋∞)

C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析：选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为

(－∞，4)∪(4，＋∞)．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．2 B.

C．2 D．4

解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.

6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，则＝________．

解析：由题意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．

答案：(－3，－5)

7．(2019·昆明市诊断测试)已知O为坐标原点，向量＝(1，2)，＝(－2，－1)，若2＝，则||＝________.

解析：设P点坐标为(x，y)，＝－＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，＝(x－1，y－2)，由2＝得，2(x－1，y－2)＝(－3，－3)，所以，解得，故||＝＝.

答案：

8．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．

解析：由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，

则＝(－3λ，)，

由∠AOC＝30°知，以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝，

即－＝－，所以λ＝1，

答案：1

9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)

＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

所以解得

(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．

所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，

所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．

10．如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，求x＋y的值．

解：不妨设⊙O的半径为1，则A(－1，0)，B(1，0)，D(0，1)，C.

所以＝，

＝.又＝x＋y，

所以＝x(－1，0)＋y.

所以，解之得，

所以x＋y＝－＝－.

[综合题组练]

1．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　)

A．(2，0)　 B．(0，－2)

C．(－2，0) D．(0，2)

解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，

即a＝－2p＋2q＝(2，4)，

令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，

所以即

所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．  

2．(创新型)已知P＝，Q＝是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.设a＝(x，y)，则P＝{(x，y)| }，所以集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝，Q＝，所以P∩Q＝.故选A.

3．(应用型)已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)

A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0

C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0

解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，

即＝(1＋λ)－λ.

又2＝x＋y，

所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.

4.如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－·(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．

答案：(－1，0)

5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，求m＋n的值．

解：法一：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(1，0)，由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，设C(xC，yC)，B(xB，yB)，则xC＝||cos α＝×＝，yC＝||sin α＝×＝，即C.又cos(α＋45°)＝×－×＝－，sin (α＋45°)＝×＋×＝，则xB＝||cos(α＋45°)＝－，yB＝||sin (α＋45°)＝，即B，由＝m ＋n ，可得

解得所以m＋n＝＋＝3.

法二：由tan α＝7，α∈，得sin α＝，cos α＝，则cos(α＋45°)＝×－×＝－，·＝1××＝1，·＝1××＝，·＝1×1×＝－，由＝m ＋n ，得·＝m 2＋n ·，即＝m－n　①，同理可得·＝m ·＋n 2，即1＝－m＋n　②，联立①②，解得所以m＋n＝＋＝3.

6．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝120°，AD为角平分线．

(1)求AD的长度；

(2)过点D作直线交AB，AC延长线于不同两点E，F，且满足＝x，＝y，求＋的值，并说明理由．

解：(1)根据角平分线定理：＝＝2，所以＝，

所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，

所以2＝2＋·＋2＝－＋＝，

所以AD＝.

(2)因为＝x，＝y，所以＝＋＝＋，

因为E，D，F三点共线，所以＋＝1，所以＋＝3.