高中数学高考02卷 第三章　导数及其应用《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）(解析版)

这是一份高中数学高考02卷 第三章　导数及其应用《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）(解析版)，共60页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
02卷 第三章　导数及其应用《真题模拟卷》
－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）
第I卷（选择题）

一、单选题
1．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，转化为在上恒成立．
【详解】
∵，即，
（1）当时，，
当时，，
故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
故选C．
【点睛】
本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．
2．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
D
试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．
解：，
∴y′（0）=a﹣1=2，
∴a=3．
故答案选D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．

3．已知命题对任意，总有；
是方程的根
则下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由绝对值的意义可知命题p为真命题；由于，所以命题q为假命题；因此为假命题，为真命题，“且”字联结的命题只有当两命题都真时才是真命题，所以答案选A．
4．函数的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点，排除，
求得函数的导数，
由得，
得或，此时函数单调递增，排除，故选D.
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5．已知函数有唯一零点，则
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】
因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
【点睛】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.

7．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】A
【详解】
，是方程的两根，由，则又两个使得等式成立，，当，其函数图象如下：

如图则有3个交点，当，其函数图象如下：

以上两种情况都有三个交点，故选A.
【考点定位】考查函数零点的概念，分类讨论的思想，以及对嵌套型函数的理解.
8．已知函数连续，则常数的值是
A．２ B．３ C．４ D．５
【答案】B
【详解】
由题得，故选择B.
9．已知，其中，则的值为
A．6 B． C． D．
【答案】D
【详解】

．

10．已知m∈N*，a，b∈R，若，则a·b=
A．-m B．m C．-1 D．1
【答案】A
【解析】
易知，由洛必达法则有，所以．


第II卷（非选择题）

二、填空题
11．函数在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】
，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
考点：：导数的几何意义.

12．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
由题意该函数的定义域，由．因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点．
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点．当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填.

解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
13．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．
【答案】.
【详解】
分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.
详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
14．曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
【详解】
设，则，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
15．已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【详解】
因为，所以函数是奇函数，
因为，所以数在上单调递增，
又，即，所以，即，
解得，故实数的取值范围为．
点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内．
16．设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号）
①；②；③；④；⑤.
【答案】1，3，4，5
【详解】
令，求导得，当时，，所以单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以，
，要使方程仅有一根，则或者
，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.
考点：1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值.

17．已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为________.
【答案】44
【详解】
由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5，0)，
所以P，Q都在双曲线的右支上，
则有，
两式相加，利用双曲线的定义得，
所以△PQF的周长为=28＋16＝44.
故答案为44.

18．设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于___________．
【答案】﹣1
【详解】
验证发现，
当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，
当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0
令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0
又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，
令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增
又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0
又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点
故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1
故ab=﹣1
故答案为﹣1

三、解答题
19．已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.
【答案】(1) f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.
【分析】
(1)求f(x)的导函数为f′(x)＝(2ex＋a)(ex－a)，通过讨论a，求函数的单调区间即可. (2)因为f(x)≥0，所以即求f(x)的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f(x)的最小值，解关于a的不等式即可求出a的范围.
【详解】
(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.
f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).
①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.
②若a0．
所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增．
(2)当m≤2，x∈(－m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时， f(x)>0．
当m=2时，函数在(－2，+∞)上单调递增．
又f '(－1)0，从而当时，f(x)取得最小值．
由f '(x0)=0得=，，
故．
综上，当m≤2时， f(x)>0．

33．设函数.
(1)若，求的单调区间；
(2)若当时恒成立，求的取值范围．
【答案】(1) f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加;(2) a的取值范围为(－∞，].
【分析】
(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.分别令f′(x)0
可求的单调区间；
(2求导得到)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故问题转化为f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而对1－2a的符号进行讨论即可得出结果.
【详解】
(1)a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加
(2)f′(x)＝ex－1－2ax.由(1)知ex≥1＋x，当且仅当x＝0时等号成立．故f′(x)≥x－2ax＝(1－2a)x，从而当1－2a≥0，即a≤时，f′(x)≥0(x≥0)，而f(0)＝0，于是当x≥0时，f(x)≥0.由ex>1＋x(x≠0)得e－x>1－x(x≠0)，从而当a>时，f′(x)0，存在b>0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”．
点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.
35．（2018年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【详解】
分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a=，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；
(2)结合指数函数的值域，可以确定当a≥时，f（x）≥，之后构造新函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，从而求得g（x）≥g（1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.
详解：（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当00；
当x∈（，）时，f ′（x）0.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；
（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t,t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间[-3，-1]上的最小值．
【答案】（1）单调递增区间是，；单调递减区间是
（2）
（3）
【详解】
（1）解：
由，得
当x变化时，，的变化情况如下表：
x



-1



a





+

0

-

0

+





极大值



极小值



故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是.
（2）解：由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点当且仅当，解得.
所以，a的取值范围是.
（3）解：a=1时，.由（1）知在区间内单调递增，在内单调递减，在上单调递增.
（1）当时，，，在上单调递增，在上单调递减.因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者.由知，当时，，故，所以.而在上单调递增，因此.所以在上的最小值为.
（2）当时，，且.
下面比较的大小由在，上单调递增，
有
又由，，
从而，
所以 综上，函数在区间上的最小值为

48．（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，，当时，，当时，．
【解析】
试题分析：
试题解析：（1）证明：函数定义域为，∵，∴是偶函数．
（2）由得，由于当时，，因此，即，所以，令，设，则，，∵，∴（时等号成立），即，，所以．
（3）由题意，不等式在上有解，由得，记，，显然，当时，（因为），故函数在上增函数，，于是在上有解，等价于，即．考察函数，，当时，，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，又，，，所以当时，，即，，当时，，，即，，因此当时，，当时，，当时，．
【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．

49．已知函数
（1）求的单调区间和极值；
（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围
【答案】(1) 的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2)
【详解】
试题分析：(1)求函数单调区间及极值，先明确定义域：R，再求导数在定义域下求导函数的零点：或，通过列表分析，根据导函数符号变化规律，确定单调区间及极值，即的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系.设集合，集合则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向.由于，所以,因此，又，所以，即
解(1)由已知有令，解得或，列表如下：





































所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.
下面分三种情况讨论：
当即时，由可知而，所以A不是B的子集
当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上的取值范围包含，所以
当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集
综上，的取值范围为
考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域

50．已知函数
若在上的最大值和最小值分别记为，求；
设若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）的取值范围．
【解析】
试题分析：（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求，由函数得，求函数在闭区间最值，可用导数法，故求导得，由于，故需对进行讨论，分，，三种情况，利用单调性，分别求出最大值和最小值即可；（2）设若对恒成立，求的取值范围，可令，由，得，即在上的值域是集合的子集，即求在上的最大值和最小值，让最大值小于等于，最小值大于等于，即可求出的取值范围，结合（1）分，，，四种情况讨论即可．
（1）因为，所以，由于，
（ⅰ）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，，
（ⅱ）当时，若，，在上是增函数，，若，，在上是减函数，所以，，由于，因此，当时，，当时，，
（ⅲ）当时，有，故，此时在上是减函数，因此，，故，综上；
（2）令，则，，因为，对恒成立，即对恒成立，所以由（I）知，
（ⅰ）当时，在上是增函数，在上的最大值是，最小值是，则，且，矛盾；
（ⅱ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，从而且，令，则，在上是增函数，故，因此，
（ⅲ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，
（ⅳ）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，，解得，综上的取值范围.
点评：本题主要考查函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证，分类讨论，分析问题和解决问题的综合解题能力．