高中数学高考1 第1课时　三角函数的单调性与最值

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第4讲　三角函数的图象与性质
最新考纲
考向预测
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
命题趋势
以考查三角函数的性质为主，题目涉及单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
核心素养
直观想象、逻辑推理


1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义
域
R
R
{x|x≠kπ＋，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期
性
2π
2π
π
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
单调
递增
区间
[－＋2kπ，
＋2kπ]，
k∈Z
[－π＋2kπ，
2kπ]，k∈Z
(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z
续　表
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
单调
递减
区间
[＋2kπ，
＋2kπ]，
k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，
k∈Z
无
对称性
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
，k∈Z
对称轴
x＝kπ＋，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
无对称轴
零点
kπ，k∈Z
kπ＋，k∈Z
kπ，k∈Z
常用结论
1．对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
常见误区
1．对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个开区间(k∈Z)内为增函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意A和ω的符号，尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝cos x在第一、二象限内是减函数．(　　)
(2)若y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值是k＋1.(　　)
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　　)
(4)函数y＝sin x图象的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
(5)函数y＝tan x在整个定义域上是增函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2．(易错点)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定义域为.
3．(多选)下列函数中，最小正周期为π的偶函数有(　　)
A．y＝tan x
B．y＝|sin x|
C．y＝2cos x
D．y＝sin
解析：选BD.对于A选项，函数y＝tan x为奇函数，不符合题意；对于B选项，函数y＝|sin x|是最小正周期为π的偶函数，符合题意；对于C选项，函数y＝2cos x的最小正周期为2π，不符合题意；对于D选项，函数y＝sin＝cos 2x，是最小正周期为π的偶函数，符合题意．故选BD.
4．函数y＝cos的单调递减区间为________．
解析：由y＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．已知函数f(x)＝sin是奇函数，当φ∈时，φ的值为________．
解析：由已知得＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)．又因为φ∈，所以当k＝0时，φ＝－符合条件．
答案：－
第1课时　三角函数的单调性与最值


　　　　　　求三角函数的单调区间
(1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
(2)函数f(x)＝tan(2x＋)的单调递增区间是________．
【解析】　(1)f(x)＝sin＝sin＝－sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由kπ－＜2x＋＜kπ＋(k∈Z)，得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
【答案】　(1)(k∈Z)
(2)(k∈Z)
【引申探究】
1．(变条件、变问法)若本例(1)f(x)变为：f(x)＝－cos，求f(x)的单调递增区间．
解：f(x)＝－cos＝－cos，
欲求函数f(x)的单调递增区间，
只需求y＝cos的单调递减区间．
由2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．(变条件、变问法)本例(1)f(x)变为：f(x)＝sin，试讨论f(x)在区间上的单调性．
解：令z＝2x－，易知函数y＝sin z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝，易知A∩B＝.
所以，当x∈时，f(x)在区间上单调递增，又因为－＝