高中数学高考 2021届小题必练20 新定义类创新题（文）-学生版(1)

1．能发现问题，提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考，探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察﹑猜测﹑抽象﹑概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合﹑融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强．

2．高考对创新能力的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念，定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖、有一定深度和广度的问题．要增加研究型、探索型、开放型的试题，考查考生发散性思维和创造性思维．

1．【2020年全国三卷文科】模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数，当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）

A． B． C． D．

2．【2020年山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵（    ）

A．若，则

B．若，则随着的增大而增大

C．若，则随着的增大而增大

D．若，随机变量所有可能的取值为，，…，，且，则

一、选择题．

1．如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，，则为（    ）

A．  B．

C．或 D．或

2．定义集合的一种运算：，其中，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

3．规定记号“”表示一种运算，定义(为正实数)，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4．若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴

关系的集合的个数是（    ）

A．1 B．3 C．7 D．31

5．定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，

只需要把函数的图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度

6．定义为两个向量间的“距离”．若向量满足：①；②；③对任意，恒有，则（    ）

A． B． C． D．

7．定义为个正数，，，，的“快乐数”．若已知数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

8．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“函数”．下列为“函数”的是（    ）

A． B．

C．  D．

9．定义一种运算：，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

10．定义：分子为且分母为正整数的分数叫作单位分数，我们可以把拆分成多个不同的单位分数之和．

例如：，，，，依此拆分方法可得，，其中，则（    ）

A． B． C． D．

11．若定义在上的奇函数满足对任意的，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”．下列为“函数”的是（    ）

A． B． C． D．

12．由无理数引发的数学危机一直延续到世纪．直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与．且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，不可能成立的是（    ）

A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素

C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素

二、填空题．

13．定义一种运算如下：，则复数的共轭复数是_________．

14．在一个数列中，如果，都有(为常数)，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且，，公积为，则________．

15．对于任意两个正整数，定义某种运算“※”如下：当都为正偶数或正奇数时，※；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※．则在此定义下，集合※中的元素个数为       ．

16．集合，如果中的元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：

①集合是“复活集”；

②若，且是“复活集”，则；

③若，则不可能是“复活集”．

其中正确的结论是________．(填序号)

1．【答案】C

【解析】由，得，∴，解得，

故选C．

【点睛】本题考查新定义、函数模型的应用、对数的运算、指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题．

2．【答案】AC

【解析】A中：当时，则，，∴A正确；

B中：若，由题知，

，

，

∴，∴B错误；

C中：，

，

∴

，

∴随着的增大而增大，∴C正确；

D中：令，则，

此时，，

此时，

∴，∴D错误，

∴正确选项为AC．

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题．

一、选择题．

1．【答案】D

【解析】因为，，

，，

所以或．

2．【答案】B

【解析】当时，可以取或，则或；

当时，可以取或，则或；

当时，可以取或，则或，

∴．

3．【答案】A

【解析】因为定义(为正实数)，，

所以，化为，所以，所以．

4．【答案】B

【解析】由已知条件得，可以单独存在于伙伴关系中，和同时存在于伙伴关系中，

所以具有伙伴关系的元素组是，

所以具有伙伴关系的集合有个：，，．

5．【答案】A

【解析】由题设知，，

所以为了得到函数的图象，

只需要把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，故选A．

6．【答案】C

【解析】由题意知，即，

又，所以展开整理得．

因为上式对任意恒成立，所以，即，所以．

于是，，所以，

故选C．

7．【答案】B

【解析】由题意得数列的前项和，易知．

于是，，

故数列的前项和为

，故选B．

8．【答案】B

【解析】由题意知，“函数”的值域关于原点对称．选项A中，

因为，

所以函数的值域为，该函数的值域不关于原点对称，故选项A中的函数不是“函数”；

选项B中，函数在上单调递增，函数的值域为，关于原点对称，故选项B中的函数是“函数”；

选项C中，函数的值域为，不关于原点对称，故选项C中的函数不是“函数”；

选项D中，因为，所以该函数的值域为，不关于原点对称，

故选项D中的函数不是“函数”，

综上，选B．

9．【答案】C

【解析】由新运算可知，

所以将函数的图象向左平移个单位长度后，

得到函数的图象，即的图象，

显然该函数为偶函数．

经检验知选项A，B，D错误，选C．

10．【答案】C

【解析】由题易知，，

，

．

依此类推，得

，

易知，，解得，，

所以．故选C．

11．【答案】D

【解析】选项A中，函数不是奇函数，故选项A中的函数不是“函数”；

选项C中，函数的定义域不是，故选项C中的函数不是“函数”；

已知定义在上的奇函数满足对任意的，且，都有，等价于奇函数在上单调递增．

选项B中，函数在上单调递减，故选项B中的函数不是“函数”；

选项D中，函数，在上单调递增且为奇函数，故选项D中的函数是“函数”，

故选D．

12．【答案】C

【解析】A正确，例如是所有小于的有理数，是所有不小于的有理数；

B正确，如是所有负的有理数，零和平方小于的正有理数，是所有平方大于的正有理数，显然和的并集是所有的有理数，因为平方等于的数不是有理数；

D正确，例如是所有不大于的有理数，是所有大于的有理数；

C错误，有最大元素，且有最小元素是不可能的，

因为这样就有一个有理数不存在于和两个集合中，与和的并集是所有的有理数矛盾．

二、填空题．

13．【答案】

【解析】由定义知，则共轭复数是．

14．【答案】

【解析】依题意得数列是周期为的数列，且，，，

因此．

15．【答案】

【解析】因为，，，，，，

，，，

集合中的元素是有序数对，所以集合中的元素共有个．

16．【答案】①③

【解析】①，故①正确；

②不妨设，

则由根与系数的关系知是一元二次方程的两个根，

由，可得或，故②错；

③不妨设，由，得，

当时，有，

又，∴，于是由，得，无正整数解，

即当时，不可能是“复活集”，故③正确．