高中数学高考 2021届小题必练20 新定义类创新题（理）-教师版(1)

1．能发现问题，提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考，探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．创新意识是理性思维的高层次表现．对数学问题的“观察﹑猜测﹑抽象﹑概括﹑证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移﹑组合﹑融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强．

2．高考对创新能力的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念，定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖、有一定深度和广度的问题．要增加研究型、探索型、开放型的试题，考查考生发散性思维和创造性思维．

1．【2020年全国二卷理科】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的序列中，满足的序列是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】对于A选项：，

，不满足，排除；

对于B选项，，不满足，排除；

对于C选项，，

，

，

，满足；

对于D选项，，不满足，排除，

故选C．

【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题．

2．【2020·山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵（    ）

A．若，则

B．若，则随着的增大而增大

C．若，则随着的增大而增大

D．若，随机变量所有可能的取值为，，…，，且，

则

【答案】AC

【解析】A中：当时，则，，故A正确；

B中：若，由题知，

，

，

∴，∴B错误；

C中：，

，

∴

，

∴随着的增大而增大，∴C正确；

D中：令，则，

此时，，

此时，

∴，∴D错误，

∴正确选项为AC．

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题．

一、选择题．

1．定义集合的一种运算：，其中，，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，可以取或，则或；

当时，可以取或，则或；

当时，可以取或，则或，

∴．

2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【解析】由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数．函数解析式为，值域为，

当时，；当时，，

则定义域可以为，，，，，，，，，

因此“同族函数”共有个．

3．规定记号“”表示一种运算，定义(为正实数)，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为定义(为正实数)，，

所以，化为，所以，所以．

4．设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为，公差不为，若数列为“吉祥数列”，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，，

因为，则，

即，整理得．

因为对任意的正整数上式均成立，所以，，

解得，，

所以数列的通项公式为．

5．定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，

只需要把函数的图象上所有的点（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向上平移个单位长度 D．向下平移个单位长度

【答案】A

【解析】由题设知，，

所以为了得到函数的图象，

只需要把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，故选A．

6．定义为两个向量间的“距离”．若向量满足：①；②；③对任意，恒有，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，即，

又，所以展开整理得．

因为上式对任意恒成立，所以，

即，所以．

于是，，所以，故选C．

7．定义为个正数，，，，的“快乐数”．若已知数列的前项的“快乐数”为，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得数列的前项和，易知，

于是，，

故数列的前项和为

，故选B．

8．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，

则称函数为“函数”．下列为“函数”的是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【解析】由题意知，“函数”的值域关于原点对称．

选项A中，

因为，

所以函数的值域为，该函数的值域不关于原点对称，故选项A中的函数不是“函数”；

选项B中，函数在上单调递增，函数的值域为，关于原点对称，故选项B中的函数是“函数”；

选项C中，函数的值域为，不关于原点对称，故选项C中的函数不是“函数”；

选项D中，因为，所以该函数的值域为，不关于原点对称，

故选项D中的函数不是“函数”，

综上，选B．

9．定义一种运算：，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由新运算可知，

所以将函数的图象向左平移个单位长度后，

得到函数的图象，即的图象，显然该函数为偶函数，

经检验知选项A，B，D错误，选C．

10．定义：分子为且分母为正整数的分数叫作单位分数，我们可以把拆分成多个不同的单位分数之和．

例如：，，，，依此拆分方法可得，，其中，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题易知，，

，

．

依此类推，得

，

易知，，解得，，

所以．故选C．

11．若定义在上的奇函数满足对任意的，且，都有，

则称该函数为满足约束条件的一个“函数”．下列为“函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】选项A中，函数不是奇函数，故选项A中的函数不是“函数”；

选项C中，函数的定义域不是，故选项C中的函数不是“函数”；

已知定义在上的奇函数满足对任意的，且，都有，

等价于奇函数在上单调递增．

选项B中，函数在R上单调递减，故选项B中的函数不是“函数”；

选项D中，函数，在上单调递增且为奇函数，

故选项D中的函数是“函数”．故选D．

12．设集合，，，，，中至少有个元素，且，满足：

①对于任意的，若，则；

②对于任意的，若，则．

下列命题正确的是（    ）

A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素

C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素

【答案】A

【解析】取，，此时有4个元素，排除D；

取，，此时有5个元素，排除C；

取，，此时有7个元素，排除B，

故选A．

二、填空题．

13．集合，如果中的元素满足，就称为“复活集”，给出下列结论：

①集合是“复活集”；

②若，且是“复活集”，则；

③若，则不可能是“复活集”．

其中正确的结论是________．(填序号)

【答案】①③

【解析】①，故①正确；

②不妨设，

则由根与系数的关系知是一元二次方程的两个根，

由，可得或，故②错；

③不妨设，

由，得，

当时，有，

又，∴，于是由，得，无正整数解，

即当时，不可能是“复活集”，故③正确．

14．在一个数列中，如果，都有(为常数)，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且，，公积为，则________．

【答案】

【解析】依题意得数列是周期为的数列，且，，，

因此．

15．在平面斜坐标系中，，若，其中分别为轴、轴正方向的单位向量，则有序实数对叫作向量在平面斜坐标系中的坐标，即点的斜坐标为．在平面斜坐标系中，若点在以为圆心，为半径的圆上，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】由题设得，所以，

又向量的模均为，且夹角为，所以两边平方化简得．

方法一：变形得，当且仅当时取等号，

所以，解得，

故所求的取值范围是．

方法二　变形得，所以可设，(参数)，

即，(参数)，

所以，

故所求的取值范围是．

16．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达多个，其中的一个成果是：设，则称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，并用表示的非负纯小数．若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】设函数，

则函数的图象与直线有且仅有个交点，如图，

先画出函数的图象，

又直线恒过定点，设点的坐标分别为，，

要使函数的图象与直线有且仅有个不同的交点，

易知应满足，解得．