高中数学高考 2021届小题必练19 平面向量（理）-教师版(1)

1．平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景；②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；③理解向量的几何表示．

2．向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；③了解向量线性运算的性质及其几何意义．

3．平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

4．平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及物理意义；②了解平面向量的数量积与两项投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

5．向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．【2020全国Ⅰ卷理科】设为单位向量，且，则_______．

【答案】

【解析】因为为单位向量，所以，

所以，

解得，

所以，

故答案为．

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．

2．【2020全国Ⅲ卷理科】已知向量，，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，，

，

因此，，故选D．

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，

考查计算能力，属于中档题．

一、选择题．

1．已知为非零向量，“”为“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．充分必要条件

C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若成立，则，

则向量与的方向相同，且，从而，所以；

若，则向量与的方向相同，且，从而，所以，

所以“”为“”的充分必要条件，故选B．

2．已知向量，满足，，且，则（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】A

【解析】因为，，，

两边平方得，所以，

所以，故选A．

3．已知向量，，则与共线的单位向量为（    ）

A．  B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】因为，，则，

所以，

设与共线的单位向量为，则，

解得或，

所以与共线的单位向量为或，故选D．

4．已知，，点M满足，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【解析】由，，可知为直角三角形，

设，则，而，几何关系如下图所示：

因为，则，，所以，

则，所以，

即为中点，

又因为点M满足，

则，所以，

由向量减法运算可知，

因为为中点，所以，故选A．

5．已知向量，，有下列命题：

①若，则；②若，则；③若，则；

④若，则；⑤若，且，则．

其中错误命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】对于①，若，向量、的方向或模不一定相同，则不成立，故①错误；

对于②，若，向量、的方向不一定相同，则不成立，故②错误；

对于③，若，向量、的方向既不一定相同也不相反，则不成立，故③错误；

对于④，若，则向量、的模相同，所以，故④正确；

对于⑤，若，

则，

若，则，，

此时，可取任意值，故⑤错误，

故选D．

6．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，

若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，

因为三点共线，所以，

即，，故选A．

7．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，

若，，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】A

【解析】，

三点共线，，，

则

，

当且仅当，即时等号成立．故选A．

8．已知向量，是两个夹角为的单位向量，且，，，若，，三点共线，则（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】A

【解析】由，，三点共线，得，

故，解得，

则，故选A．

9．已知平面非零向量，满足：，在方向上的投影为，则与夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设两向量夹角为，则有，

，

所以，故选D．

10．已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（    ）

A．2 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】，

由题得的最小值为，即点O到直线的距离为，

，故选C．

11．梯形中，，，，若，则（    ）

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】C

【解析】因为，所以，

所以，可得，

，

故选C．

12．如图，在平行四边形中，，，，若、分别是边、上的点，且满足，其中，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，，

所以

．

当时，取得最大值5；当时，取得最小值2，

的取值范围是，本题选C．

二、填空题．

13．已知，且，则________．

【答案】

【解析】∵，∴，即，

∴，故答案为．

14．已知正方形的边长为，若，则的值为_______．

【答案】

【解析】如图所示建立平面直角坐标系：

则，，，，

设，，，

因为，，解得，

所以，

所以，，

所以，故答案为．

15．若向量，的夹角为，且，，则向量与向量的夹角为________．

【答案】

【解析】设向量与向量的夹角为，

向量，的夹角为，且，，

则，

，，

又，

，

，，

故答案为．

16．如图，在平行四边形中，分别为的中点，与交于点．

若，则的余弦值为_________．

【答案】

【解析】设，，，，，

则，，得，，

又，得，则，

得，，得，，

设，则，由，

有，

得，得，

故答案为．