高中数学高考 2021届小题必练19 平面向量（文）-教师版(1)

1．平面向量的实际背景及基本概念：①了解向量的实际背景；②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；③理解向量的几何表示．

2．向量的线性运算：①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；③了解向量线性运算的性质及其几何意义．

3．平面向量的基本定理及坐标表示：①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

4．平面向量的数量积：①理解平面向量数量积的含义及物理意义；②了解平面向量的数量积与两项投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

5．向量的应用：①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．【2020全国Ⅰ卷文科】设向量，若，则______．

【答案】

【解析】由，可得，解得．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标公式，考查了数学运算能力．

2．【2020全国Ⅱ卷文科】已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知可得．

A：因为，所以本选项不符合题意；

B：因为，所以本选项不符合题意；

C：因为，所以本选项不符合题意；

D：因为，所以本选项符合题意，

故选D．

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零，则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力．

一、选择题．

1．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则与可能共线 D．若，则一定不与共线

【答案】C

【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误；

两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误；

无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误，

故选C．

2．已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，则（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】C

【解析】由题意得，，，则，

故选C．

3．在平行四边形中，，，若是的中点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，故选D．

4．在中，，，，且，，则

（    ）

A．3 B．5 C． D．

【答案】A

【解析】由，，得，

，

又，，，

所以，故选A．

5．在梯形中，已知，，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，根据向量的运算法则，可得：

，

又因为，所以，，

所以，故选D．

6．如图在中，，P为CD上一点，且满足，则实数m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为为上一点，设，

因为，所以，

则由向量的加法与减法运算可得

，

因为，所以，解得，

故选B．

7．向量，，若与共线，则（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【解析】向量，，与共线，

∴，即，

∴，故选A．

8．已知的外接圆直径为1，是的中点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为的外接圆直径为1，是的中点，且，

且，故，

，

故选C．

9．在中，，，点是所在平面内一点，则当取得最小值时，（    ）

A．9 B． C． D．

【答案】B

【解析】等价于等价于，等价于，

以为坐标原点，直线AB，AC分别为轴，轴建立平面直角坐标系，

则，

设，

，所以，时，最小，

此时时，，，，故选B．

10．已知向量，，则在上的投影为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由数量积定义可知，

在方向上的投影为，故选A．

11．已知的外接圆的的圆心是，若，则P是的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】D

【解析】如图，

、分别是、的中点，连，，，则有，

而，

∴，即有，有与共线，

∵的外接圆的的圆心是，有，则，同理有，，

∴P是的垂心，故选D．

12．正三角形边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设正三角形的外接圆圆心为，半径为，则，且．

由题意知

．

设的中点为，则，且，

设与的夹角为，

则

．

又因为，所以的范围为，故选B．

二、填空题．

13．已知中，，，点O为所在平面内一点，满足，

则________．

【答案】

【解析】∵，∴点为的外心，

取BC的中点D，连接OD，AD，则，

∴

，

故答案为．

14．已知向量满足：，，，则________．

【答案】3

【解析】根据题意，有．

15．在中，，，是边的垂直平分线上一点，则______．

【答案】

【解析】取中点，连接，则，，

所以

故答案为．

16．如图在平行四边形中，，，为边的中点，，若，则___________．

【答案】

【解析】因为平行四边形中，，，是边的中点，

，

，，

，

所以，故答案为．