高中数学高考 2021届高三大题优练14 不等式选讲（理） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高三大题优练14 不等式选讲（理） 学生版(1)，共12页。试卷主要包含了设函数的最小值为，已知函数，已知，证明，设，，均为正实数，且，已知，求证等内容，欢迎下载使用。
     例1．设函数的最小值为．（1）求的值；（2）若，，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）当时，；当时，；当时，，综上，当时，，∴．（2）由（1）知，求证．∵，，∴，，∴．当且仅当，即时，等号成立．例2．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）使得成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为．（2）成立即为，若，则不成立；由，当时取得等号；当，即有，即；当，即有，即，综上可得，的取值范围是．例3．（1）已知，证明：；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为，所以．所以要证，只需证．因为，所以．因为，所以，所以．（2）解：设，则“对任意实数，不等式恒成立”等价于“”．当时，，此时，要使恒成立，必须，解得；当时，，即，显然不恒成立；当时，，此时，要使恒成立，必须，解得，综上所述，实数的取值范围为．例4．设，，均为正实数，且．（1）证明：；（2）求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为．【解析】（1）证明：因为，，，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以不等式得证．（2）解：由柯西不等式，得，当且仅当，即，时，等号成立．因为，所以，则，故的最大值为．  
1．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，不等式成立，求实数的取值范围．             2．已知函数．（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对任意，都存在，，使得，求实数的取值范围．             3．已知实数，满足．（1）若，，求证：；（2）设，，求证：．             4．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．             5．（1）已知函数，求的取值范围使为常函数；（2）若，，求的最大值．                 6．（1）已知，求证：．（2）已知，求的最小值．      
1．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，则等价于．当时，则有，解得，此时；当时，则有，解得，此时；当时，则有，解得，此时，综上所述，当时，不等式的解集为．（2）当时，不等式成立等价于当时，成立．若，则当时，恒成立；若，则当时，，不合乎题意；若，由，可得或，解得或，由题意可得，则，解得，综上所述，实数的取值范围是．2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式即为①当时，①化为无解；当时，①化为，从而；当时，①化为无解，∴原不等式的解集为．（2），，当且仅当，即，时等号成立，∴，∴或，∴的取值范围为．3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）时，，因为，所以，，，，，从而，当且仅当，即时等号成立．（2）假设，则由，知，故．又由，得，但由，知矛盾，故不成立，所以．4．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），即，所以或或，解得或或，即或，所以原不等式的解集为．（2），即．因为不等式的解集包含，所以对于恒成立．因为，所以，，所以等价于，即恒成立，所以在上恒成立，所以，解得，即实数的取值范围为．5．【答案】（1）；（2）3．【解析】（1），则当时，为常函数．（2）由柯西不等式得，所以，当且仅当，即，，时，取最大值，因此的最大值为3．6．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1），，，当且仅当，即时，等号成立．（2）由柯西不等式知，，，当且仅当时取等号，即的最小值为1．