2022-2023学年人教B版（2019）必修四 第九章解三角形 单元测试卷（含答案）

人教B版（2019）必修四 第九章解三角形 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则(   )

A.6 B.5 C.4 D.3

2、在中,若,,,则(   )

A.3 B. C. D.

3、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，已知D是AC上一点，且，则等于(   )

A. B. C. D.

4、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则的面积为(   )

A. B. C. D.或

5、甲船在A岛正南方向的B处，以每小时4千米的速度向正北方向航行，千米，同时乙船自A岛出发，以每小时6千米的速度向北偏东60°方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(   )

A.分钟 B.分钟 C.21.5分钟 D.2.15小时

6、某小区打算将如图所示的区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形DEF，在其内部建造文化景观，已知，，则区域面积（单位：）的最小值为(   )

A. B.25 C. D.

7、如图，在地面上共线的三点A，B，C处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为(   )

A. B. C. D.

8、2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受到台风影响，则t和的值分别为（附：）(   )

A.858.5，60° B.858.5，30° C.717.60° D.717，30°

9、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则当角C取得最大值时，三角形是(   )

A.锐角三角形  B.直角三角形

C.钝角三角形  D.等腰直角三角形

10、在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20m，则建筑物高度为(   )

A.20m B.30m C.40m D.60m

二、填空题

11、如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________.

12、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，则的面积为______________.

13、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.满足，，且，则的周长为_________.

14、锐角中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则的面积的取值范围是________

15、如图，要计算西湖岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为__________km.

16、在中, ,,, 则的取值范围是_________.

三、解答题

17、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知米，，，目标出现于地面点B处时，测得，(如图)，求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号).

18、如图：某快递小哥从A地出发，沿小路以平均时速30公里/小时，送快件到C处，已知（公里），，，是等腰三角形，.

（1）试问，快递小哥能否在30分钟内将快件送到C处？

（2）快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车是否先到达C处？（参考数据：，）

19、如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方向20km处和54km处.某时刻，监测点B收到发自目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.

（1）设A到P的距离为xkm，用x分别表示B，C到P的距离，并求x的值；

（2）求目标P的海防警戒线a的距离（精确到0.01km）.

20、如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA.规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆的半径.已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得，，（单位：百米）.

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由.

参考答案

1、答案：A

解析：由题意及正弦定理得，，所以由余弦定理得

，化简得.故选A.

2、答案：A

解析:根据正弦定理有,则.故选A.

3、答案：A

解析：设，则由，得，即，所以，即.又，所以，所以，所以，故选A.

4、答案：A

解析：由余弦定理知，又，，，所以，解得或（舍去）.所以.故选A.

5、答案：A

解析：如图，设t小时后甲行驶到D处，则千米，

乙行驶到C处，则千米，易知，

所以

.

当时，最小，即DC最小，

此时它们所航行的时间为（分钟）.

故选：A.

6、答案：D

解析：在中，，，可得.

设，，那么，.

在中，由正弦定理，可得，

，，

，其中，

所以当时，x取到最小值，最小值为，

故面积的最小值.

故选：D.

7、答案：D

解析：设建筑物的高度为hm，由题图知，

，，，

在和中，分别由余弦定理的推论，得

①，

②，

因为，

所以③，

由①②③，解得或（舍去），

即建筑物的高度为.

故选：D.

8、答案：A

解析：根据题意，3小时后台风中心距甲地90千米，27小时后台风中心距甲地810千米，乙地有24小时在台风范围内

根据余弦定理得：，解得：，

，，

，.

故选：A.

9、答案：C

解析：由题意得：

由正弦定理得，即

又

当且仅当，即时，取到最小值，从而角C取到最大值.

当时，，则，

所以，从而.

故选：C.

10、答案：C

解析：如图，

设O为塔顶在地面的射影，在中，，，，.

在中，..

故选：C.

11、答案：

解析：因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以.又因为在中，，，所以.在中，由正弦定理，得，所以.因为，所以为锐角，所以，则，所以.

12、答案：

解析：由正弦定理知可化为

.

，.

，，则A为锐角，

，则，

.

13、答案：

解析：，由余弦定理得.又，，（b为边长，故）.，，，解得或（舍去），，，的周长为.

14、答案：

解析:锐角中,,由余弦定理得,由A为三角形内角得,因为,则的面积,当时,c最小为,当时,c最大为,所以,面积的取值范围是Error! Digit expected..故答案为:Error! Digit expected..

15、答案：

解析：在中，，，，根据余弦定理得：，，，由于，，在中，根据正弦定理得：.

16、答案：

解析：, 因为, 所以. 又, 所以 的取值范围是.

17、答案：炮兵阵地到目标的距离为米

解析：在中，，，，
根据正弦定理有：，
同理，在中，，，，
根据正弦定理有：.
又在中，，
根据勾股定理有：
.
所以炮兵阵地到目标的距离为米.

18、答案：（1）快递小哥能在30分钟内将快件送到C处

（2）汽车不能先到达C处

解析：在中，，则，

由正弦定理得，所以（公里），

又因为（分钟），

所以快递小哥能在30分钟内将快件送到C处.

（2）在中，由余弦定理，

得（公里），

由（1）知（公里），

又因为（分钟），

所以汽车不能先到达C处.

19、答案：（1）

（2）目标P到海防警戒线A的距离为17.71km

解析：（1）依题意，得，

，所以，

.在中，，

余弦定理，得.

同理在中，.

由于，

所以，

解得.

（2）作，垂足为D，在中，

.

所以目标P到海防警戒线A的距离为17.71km.

20、答案：（1）15（百米）

（2）不能，理由见解析

解析：（1）过点A作，垂足为E，

由已知条件得：四边形ACDE为矩形，，

，，，

道路PB的长为15（百米）.

（2）不能，理由如下：

①若P在D处，由（1）可得E在圆上，

则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，

P选在D处不满足规划要求，

②若Q在D处，连接AD，

由（1）知：，，

为锐角，

线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径，

Q选在D处也不满足规划要求，

综上所述：P和Q均不能选在D处.