2022-2023学年山东省潍坊市安丘市高二上学期期末数学试题含解析

  2022-2023学年山东省潍坊市安丘市高二上学期期末数学试题（解析版）

（满分：150分考试时间：120分钟）

一､单选题（每题5分，共8个小题，共40分）

1. 已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=

A.  B. 7 C. 6 D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝

故答案为

考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想．

2. 直线与直线互相垂直，则的值是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据两条直线垂直的条件列出方程即可求解.

【详解】因为，所以，

解得．

故选：B

3. ​已知中，，，则数列的通项公式是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】观察式子可变形为：，再用叠乘法即可求解

【详解】由nan+1=（n+1）an，可得：，

​又∵a1=1，∴​==n．

∴an=n，

故选C．

【点睛】本题考查叠乘法求数列通向，属于基础题

4. 如图，在正方体中，E为的中点，若O为底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出，，利用向量关系即可求出.

【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则，，，.

因为，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

故选：D.

5. 在等比数列中，已知，则“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】结合等比数列的通项公式、充分、必要条件的知识确定正确选项.

【详解】依题意，

；

且；

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6. 已知点F，A分别为双曲线C：的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足，则双曲线的离心率为(　　)

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意判断出FB⊥AB，利用勾股定理求得a和c关系，整理成关于e的方程求得双曲线的离心率．

【详解】∵•0，

∴FB⊥AB

∴|FB|2+|AB|2＝|FA|2，

即c2+b2+a2+b2＝（a+c）2，整理得c2﹣a2﹣ac＝0，等式除以a2得e2﹣e﹣1＝0

求得e（舍负）

∴e

故选D．

【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题过程中关键是利用了勾股定理找到了a和c的关系，属于基础题.

7. 已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.

【详解】因为，，所以，

则，，

由点到直线的距离公式得，

故选：A.

8. 已知双曲线两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）

A. 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程可得A，B两点的纵坐标，由双曲线的离心率可得，再根据面积即可求解.

【详解】解：∵双曲线，

∴双曲线渐近线方程是.

又抛物线的准线方程是，

故A，B两点的纵坐标分别是.

∵双曲线的离心率为2，∴.

∴，则.

A，B两点的纵坐标分别是，

又△AOB的面积为，∴，得p=2.

故选：C.

二､多选题（每题5分，共4个小题，共20分）

9. 记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（）

A.  B.

C.  D. 取得最大值时，

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A BC，根据等差数列的通项公式及前n项和公式化简求解；对于D，根据等差数列的通项公式及各项正负判断.

【详解】由，得即，

又，所以，选项A正确；

由；，得，选项B正确；

由，得，又，所以，选项C错误；

，令，得，

解得，又，所以，

即数列满足：

当时，，

当时，，所以取得最大值时，，选项D错误．

故选：AB．

10. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（    ）

A.

B. 函数在上递增，在上递减

C. 函数的极值点为，

D. 函数的极大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对A，B由导数与函数单调性的关系，即可判断，，的大小以及的单调性，对C，D由极值的定义即可判断.

【详解】解：由题图知可，当时，，

当时，，当时，，

所以在上递增，

在上递减，在上递增，

对A，，故A错误；

对B，函数)上递增，在上递增，在上递减，故B错误；

对C，函数的极值点为，，故C正确；

对D，函数的极大值为，故D错误.

故选：ABD.

11. 已知斜率为的直线l经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论正确的是（）

A.  B.

C.  D. F为AD中点

【答案】BCD

【解析】

【分析】

由条件，,则，设，所以,由,可解出，可得出答案.

【详解】根据题意作出其图像，过分别作准线的垂线，垂直分别为如下

直线l的倾斜角为，即，则

设,

则,中，可得，

所以，

,解得

所以,所以B正确.

所以，所以A不正确.

所以,满足,所以C正确.

而,所以D正确.

故选：BCD

【点睛】本题考查抛物线的过焦点弦的基本性质，属于中档题.

12. 已知点在圆上，点、，则（）

A. 点到直线的距离小于

B. 点到直线的距离大于

C. 当最小时，

D. 当最大时，

【答案】ACD

【解析】

【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.

三､填空题（每题5分，共4个小题，共20分）

13. 已知，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知：，

，解得.

故答案为：

14. 已知数列为等差数列，，，以表示的前项和，则使得达到最小值的是__________.

【答案】或

【解析】

【分析】求出等差数列的通项公式，解不等式可得出结论.

【详解】设等差数列的公差为，由等差中项的性质可得，可得，

，则，所以，，

所以，，

由可得，故当或时，取得最小值.

故答案为：或.

15. 在三棱柱中，底面为棱长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上，且，则与平面所成的角的正弦值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】解：取中点，连接，过点作，

依题意可得，底面，所以底面，

如图建立空间直角坐标系，

则，，

所以，又平面的法向量可以为，

设与平面所成的角为，

所以，与平面所成的角的正弦值为.

故答案为：

16. 已知，对任意的都有，则的取值范围为_______.

【答案】

【解析】

【分析】

利用导数研究函数的单调性，进而求得在给定区间上的最大值，根据不等式恒成立的意义即得实数a的取值范围.

【详解】由得或，

在区间[-2,0)上,单调递增；在(0,2)内时单调递减.

又，，，

∴，

又对于任意的x∈[-2,2]恒成立，

∴，即a的取值范围是

故答案为：.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的在闭区间上的最值进而求不等式恒成立中的参数范围，属基础题，关键在于利用导数研究函数的单调性，求得在给定区间上的最大值.

四､解答题（共6个小题，共70分）

17. 已知关于x，y的方程C：

（1）当m为何值时，方程C表示圆；

（2）在（1）的条件下，若圆C与直线l：相交于M、N两点，且|MN|＝，求m的值.

【答案】（1）m＜5；（2）m＝4

【解析】

【分析】

（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；
（2）利用半径，弦长，弦心距的关系列方程求解即可．

【详解】解：（1）方程C可化为，

显然只要5−m＞0，

即m＜5时，方程C表示圆；
（2）因为圆C的方程为，其中m＜5，
所以圆心C（1，2），半径，
则圆心C（1，2）到直线l：x＋2y−4＝0的距离为，
因为|MN|＝，所以|MN|＝，
所以，

解得m＝4．

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键．

18. 已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足.

（1）求数列的通项公式.

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；

（2）由利用裂项相消求和即可.

【详解】（1）∵，

∴，解得，

当时，由①可得，

②，

①－②：，

∵，∴，∴，

即∴，

∴是以为首项，以为公差的等差数列，

∴

综上所述，结论是：.

（2）由（1）可得

∴

，

综上所述，.

19. 已知数列中，，

（1）证明：数列是等比数列

（2）若数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2） .

【解析】

【分析】

（1）由可得，然后可得答案；

（2）由（1）可算出，，然后用错位相减法可算出答案.

【详解】（1）证明：由，知

又，∴是以为首项，3为公比的等比数列

（2）解：由（1）知，∴，

两式相减得

∴

20. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）求平面与平面的夹角的大小；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明；

（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面夹角的大小；

（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．

【详解】解：（1）证明：以为原点，为轴，为轴，

过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，1，，

，2，，，1，，

，

；

（2）平面的法向量，0，，

，2，，，1，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

设平面与平面夹角的大小为，

则，，

平面与平面夹角的大小为；

（3），0，，，0，，

平面的法向量，1，，

点到平面的距离为：

．

21. 已知.

（1）若函数在处取得极值，求实数的值；

（2）若，求函数的单调递增区间；

【答案】（1）

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出的值，检验即可；

（2）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调递增区间即可；

【小问1详解】

解：因为，

所以，依题意，即，解得，

此时，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极小值，符合题意，所以.

小问2详解】

解：因为，

所以，，

则，

令，则或，

当时，令可得，

函数的单调递增区间为；

当时，令，可得或，

函数的单调递增区间为，；

当时，在上恒成立，

函数的单调递增区间为；

当时，令可得：或，

函数的单调递增区间为，；

综上可得：当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，，

当时单调递增区间为，当时单调递增区间为，.

22. 已知椭圆的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，且.求证：的面积为定值.

【答案】（1）；（2）的面积为定值.

【解析】

【分析】

（1）由椭圆的离心率等于，原点到直线的距离等于及隐含条件联立方程组求解，的值，则椭圆的标准方程可求；

（2）联立直线方程和椭圆方程，消去后利用根与系数关系得到，两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形的面积公式证得答案．

【详解】（1）解：由题意得，．

椭圆的方程为；

（2）证明：设，，，，

则，的坐标满足，

消去化简得．

，

由△，得．

．

，

，即．

，即．

．

又点到直线的距离，

为定值．

【点睛】方法点睛：定值问题的处理常见的方法有：（1）特殊探究，一般证明.（2）直接求题目给定的对象的值，证明其结果是一个常数.