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2022-2023学年山东省枣庄市高二上学期期末数学试题（含解析）
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这是一份2022-2023学年山东省枣庄市高二上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A′是点A(2,9,6)在坐标平面xOy内的射影，则点A′的坐标为( )
A. (2,0,0)B. (0,9,6)C. (2,0,6)D. (2,9,0)
2.已知m=x,−2,5,n=1,4,−10，且m//n，则x的值是
( )
A. −12B. −2C. 12D. 2
3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
4.已知直线l1： 3x−y−1=0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.在棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则|AC1|=( )
A. 3B. 3C. 6D. 6
6.已知数列{an}满足a1=2，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，则a8=( )
A. 164B. 1C. 2D. 4
7.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线x2=4y的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点M(1,2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点( )
A. (−1,2)B. (−2,4)C. (−3,6)D. (−4,8)
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且4|AF1|=3|AB|，则该双曲线的离心率为( )
A. 102B. 10C. 52D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆x2+y2=4与圆x2+y2−4x−2my+m2=0的位置关系可能是( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
10.已知Sn为等差数列an的前n项和，且a1=−7，S3=−15，则下列结论正确的是
( )
A. an=2n−9B. an为递减数列
C. a6是a4和a9的等比中项D. Sn的最小值为−16
11.已知直线l：x−(a2−a+1)y−1=0，其中a∈R，下列说法正确的是
A. 若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
B. 当a=1时，直线l与直线x+y=0垂直
C. 直线l过定点(1,0)
D. 当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
12.如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列选项正确的有
( )
A. AP⊥B1C
B. PD⊥BC
C. 直线PC1与平面A1BCD1所成角的最小值是π6
D. PC+PD的最小值为2 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a=(1,0,−1)，b=0,2,1，c=(2,m,−1)为共面向量，则m的值为_________．
14.已知数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列{1an+1}为等差数列，则a5=
15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，则点O到直线A1E的距离为__________．
16.已知点A2,1，B3,4，C0,2，直线l:y=kx−1，若直线l与线段AB有公共点，则k的最大值为 ；若直线l与线段BC有公共点，则k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=6,S8=20，求S16．
(2)在等比数列中bn,b2+b4=60,b1b3=36，求b1和公比q．
18.(本小题12分)
给出下列条件：①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2;④抛物线的准线方程是x=−2．
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2=4x，并说明理由；
(2)过点4,0的任意一条直线l与C：y2=4x交于A，B不同两点，试探究是否总有OA⊥OB?请说明理由．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2,AP=3，直线PA垂直于平面ABCD,E,F分别为PA,AB的中点，直线AC与DF相交于O点.
(1)证明：OE与CD不垂直；
(2)求二面角B−PC−D的余弦值．
20.(本小题12分)
已知数列an的前n项和Sn=2an−2．
(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；
(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物．该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向20 2米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．
(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是 32，且过点P(2,1)．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且|OM|= 2，求△AOB面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查射影的定义，属于基础题．
直接根据射影的定义求解即可．
【解答】
解：∵点A′是点A(2,9,6)在坐标平面xy内的射影，
∴A′(2,9,0)，
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】由m//n直接列方程求解即可．
解：因为m=x,−2,5,n=1,4,−10，且m//n，
所以x1=−24=5−10，解得x=−12，
故选：A
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把OA，OB，OC三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将MN用三个基向量表示出来，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
MN=MA+AB+BN
=13OA+OB−OA+12BC
=−23OA+OB+12OC−12OB
=−23OA+12OB+12OC
又OA=a，OB=b，OC=c
∴MN=−23a+12b+12c
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】
解：∵直线l1： 3x−y−1=0，
∴kl1= 3，
∵直线l2与l1垂直，
∴kl2⋅kl1=−1，解得kl2=− 33，
∴l2的倾斜角为150°．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
由已知得AC1=AB+BC+CC1，由此利用向量法能求出AC1的长．
本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解答】
解：∵平行六面体ABCD−A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，
∴AC1=AB+BC+CC1，
∴AC12=AB2+BC2+CC12+2AB⋅BC+2AB⋅CC1+2BC⋅CC1
=3+2×3×1×1×12=6，
∴AC1的长为|AC1|= 6．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
直接根据递推关系式求解结论即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题目．
【解答】
解：∵数列{an}满足a1=2，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，
∴a2=a12=1，
a3=3a2+1=4，
a4=a32=2，
a5=a42=1，
a6=3a5+1=4，
a7=a62=2，
a8=a72=1，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
求出A，F坐标可得直线AF的方程，与抛物线方程联立求出B，根据选项可得答案．
本题考查抛物线的性质，属中档题．
【解答】
解：把x=1代入x2=4y，得y=14，
所以A(1,14)，F(0,1)，
所以直线AF的方程为y−1=1−140−1x，即y=−34x+1，
与抛物线方程联立y=−34x+1x2=4y，可得B(−4,4)，
因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
可设|AF1|=3t，t>0，由4|AF1|=3|AB|可得|AB|=4t，运用双曲线的定义和勾股定理求得t=a，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，属于中档题．
【解答】
解：可设|AF1|=3t，t>0，
由4|AF1|=3|AB|可得|AB|=4t，
由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|−2a=3t−2a，
|BF2|=|AB|−|AF2|=4t−(3t−2a)=t+2a，
由双曲线的定义可得|BF1|=|BF2|+2a=t+4a，
在直角三角形ABF1中，可得|BF1|= AB2+AF12=5t=t+4a，
即t=a，
在直角三角形AF1F2中，可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，
即为9a2+a2=4c2，即c= 102a，
可得e=ca= 102．
故选：A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及其判定，是基础题．
分别求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径的关系得答案．
【解答】
解：圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，
圆x2+y2−4x−2my+m2=0即(x−2)2+(y−m)2=4，
圆心坐标为(2,m)，半径为2．
两圆的圆心距为 4+m2，
半径和为4，半径差为0．
∵2≤ 4+m2．
∴圆x2+y2=4与圆x2+y2−4x−2my+m2=0的位置关系可能是相交，外切，相离．
故选：ABC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，属于基础题．
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，得出结论．
【解答】
解：设{an}的公差为d，由题意，得3a1+3d=−15，由a1=−7，得d=2，
所以an=2n−9，Sn=n2−8n=(n−4)2−16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16，故AD正确；
对于B、由a1<0，d>0，{an}为递增数列，故B错误；
对于C、由a6=3,a4=−1,a9=9，则a62≠a4a9，故C错误．
故选：AD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定的应用，属于基础题。
解题的关键是熟练掌握直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，根据已知及直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，可知正确选项．
【解答】
解：A.若直线l 与直线x −y = 0平行，
则a2 − a +1=1，解得a=0或a=1，故A错误；
B当a=1时，直线l为x−y−1=0，与直线x+y=0垂直，故B正确；
C.将y=0代入直线l，得x=1，所以直线l过定点(1,0)，故C正确；
D.当a=0时，直线l:x−y−1=0，当x=0，y=−1;当y=0，x=1，故D错误．
故选BC
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查正方体中的垂直关系，线面角，空间中距离之和问题，属于中档题．
由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项A，B作出判断；作出线PC1与平面A1BCD1所成角，进而判断线面角的最小值；通过翻折平面，将三角形D1DB与三角形D1BC沿D1B翻折到同一个平面内，进而判断PC+PD的最小值．
【解答】
解：对于选项A，由正方体性质，易得B1C⊥BC1,B1C⊥AB，而AB∩BC1=B，AB,BC1⊂面ABC1D1，所以B1C⊥面ABC1D1，
有AP⊂面ABC1D1，所以，A正确；
对于选项B，取P与B重合，则此时PD与BC夹角为π4，B错误；
对于选项C，如图连接DC1交D1C于H，
由正方体性质，易得DC1⊥面A1BCD1，从而C1H⊥面A1BCD1，故∠C1PH为直线PC1与平面A1BCD1所成角，由于C1H= 2为定值，从而HP最大时∠C1PH最小，当P与B重合时，HP最大 6，此时tan∠C1PH= 2 6= 33，此时∠C1PH取最小值π6，即直线PC1与平面A1BCD1所成角的最小值为π6；
对于选项D，如图，将三角形D1DB与三角形D1BC沿D1B翻折到同一个平面内
由题意，D1B=2 3,BD=2 2,DD1=2,BC=2,D1C=2 2，从而D1C=DB,DD1=BC，故DD1CB为平行四边形，又，故DD1CB为矩形.从而当P为CD与BD1交点时，PC+PD最小，此时PC+PD=CD=BD1=2 3，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】2
【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可求解．
解：若a,b,c为共面向量，
则存在一组唯一的实数λ,μ，使得c=λa+μb，
即(2,m,−1)=λ(1,0,−1)+μ0,2,1，
即λ=22μ=m−λ+μ=−1，解得λ=2m=2μ=1,
故答案为：2
14.【答案】75
【解析】【分析】
根据等差数列的性质建立条件关系，即可得到结论．
本题主要考查等差数列性质的应用．
【解答】
解：若数列{1an+1}为等差数列，设bn=1an+1，
则b3=1a3+1=12+1=13，b7=1a7+1=12，则b5=1a5+1，
则2b5=b3+b7=12+13=56，
即b5=1a5+1=512，
解得a5=75，
故答案为：75
15.【答案】 26
【解析】【分析】建立空间坐标系，求解直线A1E的单位方向向量u，结合勾股定理进行求解．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,1),E(12,1,0),O(1,12,12)，
因为A1E=(−12,1,−1)，u=A1E|A1E|=(−13,23,−23)，OA1=(0,−12,12)，
所以OA1⋅u=−23．
所以点O到直线A1E的距离为 OA12−(OA1⋅u)2= 12−49= 26．
故答案为： 26．
16.【答案】2；−∞,−2∪2,+∞
【解析】【分析】直线l表示过点1,0的直线，在平面直角坐标系中作出线段AB，当直线l过点B时，直线l与线段AB相交且斜率最大，求出斜率；作出线段BC，直线l分别过点B和点C时，为斜率的临界值，得到斜率的取值范围．
解：直线l表示过点1,0的直线，在平面直角坐标系中作出线段AB如图，
当直线l过点B时，直线l与线段AB相交且斜率最大，此时斜率k1=4−03−1=2；
在平面直角坐标系中作出线段BC如图，
直线l过点B时，斜率k1=2，直线l过点C时，斜率k2=2−00−1=−2，所以k的取值范围为−∞,−2∪2,+∞．
故答案为：2；−∞,−2∪2,+∞
17.【答案】解：(1)设数列an的首项为a1，公差为d，
由题意，得4a1+6d=6,8a1+28d=20
解得a1=34,d=12．
所以S16=16a1+120d=72．
(2)由等比数列的性质可得，b1b3=b22=36，
又b2+b4=b21+q2=60，
所以b2>0,b2=6，
所以1+q2=10，
解得q=±3．
当q=3时，b1=b2q=2；
当q=−3时，b1=b2q=−2．
【解析】【分析】(1)利用等差数列前n项和公式计算首项和公差，再代入计算S16；(2)利用等比中项的性质求b2，并结合b2+b4=60确定b2的具体值，再代入等式计算可求出b1，q．
18.【答案】解：(1)∵抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)在x轴上，
∴条件①适合，②不适合，
又∵抛物线的准线方程为x=−1，∴条件④不合题意．
当选条件③时，AF=xA+1=1+1=2符合题意，
故选条件①③时，可得到抛物线方程是y2=4x；
(2)假设总有OA⊥OB，由已知可得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=ty+4，则x=ty+4y2=4x，整理得：y2−4ty−16=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴Δ>0恒成立，y1+y1=4t，y1y2=−16，
∴x1x2=ty1+4ty2+4=t2y1y2+4ty1+y1+16=16
∴OA·OB=x1x2+y1y2=16−16=0，
∴OA⊥OB，
综上所述，无论l如何变化，总有OA⊥OB．
【解析】本题考查了抛物线几何意义，抛物线与直线位置关系，向量垂直的充要条件，属于中档题．
(1)直接利用抛物线的几何意义确定①合适，根据抛物线上点到准线距离和到焦点距离相同可以确定③正确，利用准线方程确定④不合适；
(2)首先确定直线斜率不为0，再设出直线方程并与抛物线方程联立方程组，得到y1+y1=4t，y1y2=−16，进而求出x1x2=16，进而得到结论．
19.【答案】解：(1)
方法一：如图以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则C2,2,0、D0,2,0、P0,0,3、E0,0,32、F1,0,0．
设Ot,t,0，因为FO=t−1,t,0，FD=−1,2,0，
因为FO//FD，所以t−1−1=t2，得t=23，即点O23,23,0，
因为OE=−23,−23,32，CD=−2,0,0，
所以OE⋅CD=43≠0，
故OE与CD不垂直．
方法二：假设OE与CD垂直，又直线PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.而PA与OE相交，
所以CD⊥平面PAC
又CA⊂平面PAC，
从而CD⊥CA
又已知ABCD是正方形，
所以CD与CA不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，
即OE与CD不垂直得证．
(2)
设平面PBC的法向量为m=x1,y1,z1，又D0,2,0,P0,0,3,B2,0,0，C2,2,0
因为BP=−2,0,3,BC=0,2,0，
所以BP⇀⋅m=−2x1+3z1=0BC⇀⋅m=2y1=0，令x1=3，得m=3,0,2．
设平面PCD的法向量为n=x2,y2,z2，
因为CD=−2,0,0,PD=0,2,−3，所以CD⇀⋅n=−2x2=0PD⇀⋅n=2y2−3z2=0,
令y2=3，得n=0,3,2 ．
因为csm,n=m⋅nmn=413．
显然二面角B−PC−D为钝二面角，
所以二面角B−PC−D的余弦值是−413．
【解析】【分析】(1)以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点O的坐标，计算得出OE⋅CD≠0，即可证得结论成立；或利用反证法；
(2)利用空间向量法即求．
20.【答案】解：(1)因为Sn=2an−2，
当n≥2时，Sn−1=2an−1−2，
所以，当n≥2时，an=2an−1，
又a1=2a1−2，解得a1=2，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故an=2n．
(2)因为an=2n，所以dn=an+1−ann+1=2nn+1,1dn=n+12n，
Tn=1d1+1d2+⋯+1dn=2×12+3×122+⋯+(n+1)×12n，12Tn=2×122+3×123+⋯+(n+1)×12n+1，
所以12Tn=1+122+123+⋯+12n−(n+1)×12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1=32−n+32n+1，
所以Tn=3−n+32n．
【解析】本题考查了数列递推式，错位相减法求数列前n项和的问题，属于中档题．
(1)利用an=Sn−Sn−1(n≥2)及已知即可得到证明，从而求得通项公式；
(2)先求出通项1dn=n+12n，再利用错位相减法求和即可．
21.【答案】解：(1)以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示直角坐标系，
则O(0,0)，A(20,20)，观景直道所在直线的方程为y=−10，
由题意可得，游客所在点为B(−5,0)，
则直线AB的方程为y−0=2020+5(x+5)，即4x−5y+20=0，
故圆心O到直线AB的距离d=|20| 42+52=20 41<4，
故直线AB与圆O相交，
故游客不在该摄像头监控范围内．
(2)由图可知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线l过A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直与x轴，则l不可能与圆O相切，
②若直线l不垂直与x轴，设l：y−20=k(x−20)，即kx−y−20k+20=0，
故圆心O到直线l的距离d=|−20k+20| k2+1=4，
解得k=34或k=43，
故直线l的方程为y−20=34(x−20)或y−20=43(x−20)，
即3x−4y+20=0或4x−3y−20=0，
设这两条直线与y=−10交于D，E，
由y=−103x−4y+20=0，解得x=−20，
由y=−104x−3y−20=0，解得x=−2.5，
故|DE|=17.5，
故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米．
【解析】(1)以O为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，求出直线AB的方程，再判断直线AB与圆O的位置关系，即可求解．
(2)摄像头监控不会被建筑物遮挡，求出过点A并与圆O相切的直线方程，再令其与直线y=−10分别联立，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题知4a2+1b2=1ca= 32，
解得a2=8b2=2c2=6，因此，椭圆C的标准方程为x28+y22=1.
(Ⅱ)当AB⊥x轴时，M位于x轴上，且OM⊥AB，
由|OM|= 2可得|AB|= 6，此时S△AOB=12|OM|⋅|AB|= 3；
当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y=kx+t，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x28+y22=1y=kx+t，得(1+4k2)x2+8ktx+4t2−8=0．
Δ=8kt2−41+4k24t2−8=168k2+2−t2>0，
得x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−81+4k2，
从而M(−4kt1+4k2,t1+4k2)，
已知|OM|= 2，可得t2=2(1+4k2)21+16k2.
∵|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[(−8kt1+4k2)2−4×4t2−81+4k2]=(1+k2)16(8k2−t2+2)(1+4k2)2.
设O到直线AB的距离为d，则d2=t21+k2，
结合t2=2(1+4k2)21+16k2，
化简得S△AOB2=(12|AB|⋅d)2=16×12k2(4k2+1)(1+16k2)2，
≤16×[12k2+4k2+12]2(1+16k2)2=4，此时△AOB的面积最大，最大值为2，当且仅当12k2=4k2+1即k2=18时取等号，
综上，△AOB的面积的最大值为2.
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中三角形的面积，由基本不等式求最值，是较难题．
(Ⅰ)利用离心率以及椭圆经过的点，求出a，b，得到椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)当AB⊥x轴时，M位于x轴上，求解三角形的面积；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y=kx+t，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求解M坐标，利用弦长公式及点到直线的距离，求解三角形的面积，结合基本不等式求出最大值，得到结果．
1.已知点A′是点A(2,9,6)在坐标平面xOy内的射影，则点A′的坐标为( )
A. (2,0,0)B. (0,9,6)C. (2,0,6)D. (2,9,0)
2.已知m=x,−2,5,n=1,4,−10，且m//n，则x的值是
( )
A. −12B. −2C. 12D. 2
3.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. −23a+12b+12c
C. 12a+12b−12cD. 23a+23b−12c
4.已知直线l1： 3x−y−1=0，若直线l2与l1垂直，则l2的倾斜角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
5.在棱长均为1的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则|AC1|=( )
A. 3B. 3C. 6D. 6
6.已知数列{an}满足a1=2，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，则a8=( )
A. 164B. 1C. 2D. 4
7.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点，已知抛物线x2=4y的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点M(1,2)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点( )
A. (−1,2)B. (−2,4)C. (−3,6)D. (−4,8)
8.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，若AF1⊥AB，且4|AF1|=3|AB|，则该双曲线的离心率为( )
A. 102B. 10C. 52D. 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.圆x2+y2=4与圆x2+y2−4x−2my+m2=0的位置关系可能是( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
10.已知Sn为等差数列an的前n项和，且a1=−7，S3=−15，则下列结论正确的是
( )
A. an=2n−9B. an为递减数列
C. a6是a4和a9的等比中项D. Sn的最小值为−16
11.已知直线l：x−(a2−a+1)y−1=0，其中a∈R，下列说法正确的是
A. 若直线l与直线x−y=0平行，则a=0
B. 当a=1时，直线l与直线x+y=0垂直
C. 直线l过定点(1,0)
D. 当a=0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
12.如图，在边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列选项正确的有
( )
A. AP⊥B1C
B. PD⊥BC
C. 直线PC1与平面A1BCD1所成角的最小值是π6
D. PC+PD的最小值为2 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若a=(1,0,−1)，b=0,2,1，c=(2,m,−1)为共面向量，则m的值为_________．
14.已知数列{an}中，a3=2，a7=1，且数列{1an+1}为等差数列，则a5=
15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，则点O到直线A1E的距离为__________．
16.已知点A2,1，B3,4，C0,2，直线l:y=kx−1，若直线l与线段AB有公共点，则k的最大值为 ；若直线l与线段BC有公共点，则k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4=6,S8=20，求S16．
(2)在等比数列中bn,b2+b4=60,b1b3=36，求b1和公比q．
18.(本小题12分)
给出下列条件：①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2;④抛物线的准线方程是x=−2．
(1)对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2=4x，并说明理由；
(2)过点4,0的任意一条直线l与C：y2=4x交于A，B不同两点，试探究是否总有OA⊥OB?请说明理由．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=2,AP=3，直线PA垂直于平面ABCD,E,F分别为PA,AB的中点，直线AC与DF相交于O点.
(1)证明：OE与CD不垂直；
(2)求二面角B−PC−D的余弦值．
20.(本小题12分)
已知数列an的前n项和Sn=2an−2．
(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；
(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和Tn．
21.(本小题12分)
某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物．该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向20 2米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．
(1)在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是 32，且过点P(2,1)．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且|OM|= 2，求△AOB面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查射影的定义，属于基础题．
直接根据射影的定义求解即可．
【解答】
解：∵点A′是点A(2,9,6)在坐标平面xy内的射影，
∴A′(2,9,0)，
故选D．
2.【答案】A
【解析】【分析】由m//n直接列方程求解即可．
解：因为m=x,−2,5,n=1,4,−10，且m//n，
所以x1=−24=5−10，解得x=−12，
故选：A
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把OA，OB，OC三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将MN用三个基向量表示出来，即可得到答案．
【解答】
解：由题意
MN=MA+AB+BN
=13OA+OB−OA+12BC
=−23OA+OB+12OC−12OB
=−23OA+12OB+12OC
又OA=a，OB=b，OC=c
∴MN=−23a+12b+12c
故选B．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】
解：∵直线l1： 3x−y−1=0，
∴kl1= 3，
∵直线l2与l1垂直，
∴kl2⋅kl1=−1，解得kl2=− 33，
∴l2的倾斜角为150°．
故选：D．
5.【答案】C
【解析】【分析】
由已知得AC1=AB+BC+CC1，由此利用向量法能求出AC1的长．
本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
【解答】
解：∵平行六面体ABCD−A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，
∴AC1=AB+BC+CC1，
∴AC12=AB2+BC2+CC12+2AB⋅BC+2AB⋅CC1+2BC⋅CC1
=3+2×3×1×1×12=6，
∴AC1的长为|AC1|= 6．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】【分析】
直接根据递推关系式求解结论即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，属于基础题目．
【解答】
解：∵数列{an}满足a1=2，an+1=an2,当an为偶数时3an+1,当an为奇数时，
∴a2=a12=1，
a3=3a2+1=4，
a4=a32=2，
a5=a42=1，
a6=3a5+1=4，
a7=a62=2，
a8=a72=1，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】
求出A，F坐标可得直线AF的方程，与抛物线方程联立求出B，根据选项可得答案．
本题考查抛物线的性质，属中档题．
【解答】
解：把x=1代入x2=4y，得y=14，
所以A(1,14)，F(0,1)，
所以直线AF的方程为y−1=1−140−1x，即y=−34x+1，
与抛物线方程联立y=−34x+1x2=4y，可得B(−4,4)，
因为反射光线平行于y轴，根据选项可得D正确．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
可设|AF1|=3t，t>0，由4|AF1|=3|AB|可得|AB|=4t，运用双曲线的定义和勾股定理求得t=a，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，属于中档题．
【解答】
解：可设|AF1|=3t，t>0，
由4|AF1|=3|AB|可得|AB|=4t，
由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|−2a=3t−2a，
|BF2|=|AB|−|AF2|=4t−(3t−2a)=t+2a，
由双曲线的定义可得|BF1|=|BF2|+2a=t+4a，
在直角三角形ABF1中，可得|BF1|= AB2+AF12=5t=t+4a，
即t=a，
在直角三角形AF1F2中，可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，
即为9a2+a2=4c2，即c= 102a，
可得e=ca= 102．
故选：A．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及其判定，是基础题．
分别求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径的关系得答案．
【解答】
解：圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，
圆x2+y2−4x−2my+m2=0即(x−2)2+(y−m)2=4，
圆心坐标为(2,m)，半径为2．
两圆的圆心距为 4+m2，
半径和为4，半径差为0．
∵2≤ 4+m2．
∴圆x2+y2=4与圆x2+y2−4x−2my+m2=0的位置关系可能是相交，外切，相离．
故选：ABC．
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，属于基础题．
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，得出结论．
【解答】
解：设{an}的公差为d，由题意，得3a1+3d=−15，由a1=−7，得d=2，
所以an=2n−9，Sn=n2−8n=(n−4)2−16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为−16，故AD正确；
对于B、由a1<0，d>0，{an}为递增数列，故B错误；
对于C、由a6=3,a4=−1,a9=9，则a62≠a4a9，故C错误．
故选：AD．
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定的应用，属于基础题。
解题的关键是熟练掌握直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，根据已知及直线的一般式方程，两条直线垂直的判定，两条直线平行的判定，可知正确选项．
【解答】
解：A.若直线l 与直线x −y = 0平行，
则a2 − a +1=1，解得a=0或a=1，故A错误；
B当a=1时，直线l为x−y−1=0，与直线x+y=0垂直，故B正确；
C.将y=0代入直线l，得x=1，所以直线l过定点(1,0)，故C正确；
D.当a=0时，直线l:x−y−1=0，当x=0，y=−1;当y=0，x=1，故D错误．
故选BC
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查正方体中的垂直关系，线面角，空间中距离之和问题，属于中档题．
由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项A，B作出判断；作出线PC1与平面A1BCD1所成角，进而判断线面角的最小值；通过翻折平面，将三角形D1DB与三角形D1BC沿D1B翻折到同一个平面内，进而判断PC+PD的最小值．
【解答】
解：对于选项A，由正方体性质，易得B1C⊥BC1,B1C⊥AB，而AB∩BC1=B，AB,BC1⊂面ABC1D1，所以B1C⊥面ABC1D1，
有AP⊂面ABC1D1，所以，A正确；
对于选项B，取P与B重合，则此时PD与BC夹角为π4，B错误；
对于选项C，如图连接DC1交D1C于H，
由正方体性质，易得DC1⊥面A1BCD1，从而C1H⊥面A1BCD1，故∠C1PH为直线PC1与平面A1BCD1所成角，由于C1H= 2为定值，从而HP最大时∠C1PH最小，当P与B重合时，HP最大 6，此时tan∠C1PH= 2 6= 33，此时∠C1PH取最小值π6，即直线PC1与平面A1BCD1所成角的最小值为π6；
对于选项D，如图，将三角形D1DB与三角形D1BC沿D1B翻折到同一个平面内
由题意，D1B=2 3,BD=2 2,DD1=2,BC=2,D1C=2 2，从而D1C=DB,DD1=BC，故DD1CB为平行四边形，又，故DD1CB为矩形.从而当P为CD与BD1交点时，PC+PD最小，此时PC+PD=CD=BD1=2 3，故D正确．
故选：ACD．
13.【答案】2
【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可求解．
解：若a,b,c为共面向量，
则存在一组唯一的实数λ,μ，使得c=λa+μb，
即(2,m,−1)=λ(1,0,−1)+μ0,2,1，
即λ=22μ=m−λ+μ=−1，解得λ=2m=2μ=1,
故答案为：2
14.【答案】75
【解析】【分析】
根据等差数列的性质建立条件关系，即可得到结论．
本题主要考查等差数列性质的应用．
【解答】
解：若数列{1an+1}为等差数列，设bn=1an+1，
则b3=1a3+1=12+1=13，b7=1a7+1=12，则b5=1a5+1，
则2b5=b3+b7=12+13=56，
即b5=1a5+1=512，
解得a5=75，
故答案为：75
15.【答案】 26
【解析】【分析】建立空间坐标系，求解直线A1E的单位方向向量u，结合勾股定理进行求解．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A1(1,0,1),E(12,1,0),O(1,12,12)，
因为A1E=(−12,1,−1)，u=A1E|A1E|=(−13,23,−23)，OA1=(0,−12,12)，
所以OA1⋅u=−23．
所以点O到直线A1E的距离为 OA12−(OA1⋅u)2= 12−49= 26．
故答案为： 26．
16.【答案】2；−∞,−2∪2,+∞
【解析】【分析】直线l表示过点1,0的直线，在平面直角坐标系中作出线段AB，当直线l过点B时，直线l与线段AB相交且斜率最大，求出斜率；作出线段BC，直线l分别过点B和点C时，为斜率的临界值，得到斜率的取值范围．
解：直线l表示过点1,0的直线，在平面直角坐标系中作出线段AB如图，
当直线l过点B时，直线l与线段AB相交且斜率最大，此时斜率k1=4−03−1=2；
在平面直角坐标系中作出线段BC如图，
直线l过点B时，斜率k1=2，直线l过点C时，斜率k2=2−00−1=−2，所以k的取值范围为−∞,−2∪2,+∞．
故答案为：2；−∞,−2∪2,+∞
17.【答案】解：(1)设数列an的首项为a1，公差为d，
由题意，得4a1+6d=6,8a1+28d=20
解得a1=34,d=12．
所以S16=16a1+120d=72．
(2)由等比数列的性质可得，b1b3=b22=36，
又b2+b4=b21+q2=60，
所以b2>0,b2=6，
所以1+q2=10，
解得q=±3．
当q=3时，b1=b2q=2；
当q=−3时，b1=b2q=−2．
【解析】【分析】(1)利用等差数列前n项和公式计算首项和公差，再代入计算S16；(2)利用等比中项的性质求b2，并结合b2+b4=60确定b2的具体值，再代入等式计算可求出b1，q．
18.【答案】解：(1)∵抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)在x轴上，
∴条件①适合，②不适合，
又∵抛物线的准线方程为x=−1，∴条件④不合题意．
当选条件③时，AF=xA+1=1+1=2符合题意，
故选条件①③时，可得到抛物线方程是y2=4x；
(2)假设总有OA⊥OB，由已知可得直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x=ty+4，则x=ty+4y2=4x，整理得：y2−4ty−16=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∴Δ>0恒成立，y1+y1=4t，y1y2=−16，
∴x1x2=ty1+4ty2+4=t2y1y2+4ty1+y1+16=16
∴OA·OB=x1x2+y1y2=16−16=0，
∴OA⊥OB，
综上所述，无论l如何变化，总有OA⊥OB．
【解析】本题考查了抛物线几何意义，抛物线与直线位置关系，向量垂直的充要条件，属于中档题．
(1)直接利用抛物线的几何意义确定①合适，根据抛物线上点到准线距离和到焦点距离相同可以确定③正确，利用准线方程确定④不合适；
(2)首先确定直线斜率不为0，再设出直线方程并与抛物线方程联立方程组，得到y1+y1=4t，y1y2=−16，进而求出x1x2=16，进而得到结论．
19.【答案】解：(1)
方法一：如图以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则C2,2,0、D0,2,0、P0,0,3、E0,0,32、F1,0,0．
设Ot,t,0，因为FO=t−1,t,0，FD=−1,2,0，
因为FO//FD，所以t−1−1=t2，得t=23，即点O23,23,0，
因为OE=−23,−23,32，CD=−2,0,0，
所以OE⋅CD=43≠0，
故OE与CD不垂直．
方法二：假设OE与CD垂直，又直线PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，
所以PA⊥CD.而PA与OE相交，
所以CD⊥平面PAC
又CA⊂平面PAC，
从而CD⊥CA
又已知ABCD是正方形，
所以CD与CA不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，
即OE与CD不垂直得证．
(2)
设平面PBC的法向量为m=x1,y1,z1，又D0,2,0,P0,0,3,B2,0,0，C2,2,0
因为BP=−2,0,3,BC=0,2,0，
所以BP⇀⋅m=−2x1+3z1=0BC⇀⋅m=2y1=0，令x1=3，得m=3,0,2．
设平面PCD的法向量为n=x2,y2,z2，
因为CD=−2,0,0,PD=0,2,−3，所以CD⇀⋅n=−2x2=0PD⇀⋅n=2y2−3z2=0,
令y2=3，得n=0,3,2 ．
因为csm,n=m⋅nmn=413．
显然二面角B−PC−D为钝二面角，
所以二面角B−PC−D的余弦值是−413．
【解析】【分析】(1)以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点O的坐标，计算得出OE⋅CD≠0，即可证得结论成立；或利用反证法；
(2)利用空间向量法即求．
20.【答案】解：(1)因为Sn=2an−2，
当n≥2时，Sn−1=2an−1−2，
所以，当n≥2时，an=2an−1，
又a1=2a1−2，解得a1=2，
所以{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故an=2n．
(2)因为an=2n，所以dn=an+1−ann+1=2nn+1,1dn=n+12n，
Tn=1d1+1d2+⋯+1dn=2×12+3×122+⋯+(n+1)×12n，12Tn=2×122+3×123+⋯+(n+1)×12n+1，
所以12Tn=1+122+123+⋯+12n−(n+1)×12n+1=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1=32−n+32n+1，
所以Tn=3−n+32n．
【解析】本题考查了数列递推式，错位相减法求数列前n项和的问题，属于中档题．
(1)利用an=Sn−Sn−1(n≥2)及已知即可得到证明，从而求得通项公式；
(2)先求出通项1dn=n+12n，再利用错位相减法求和即可．
21.【答案】解：(1)以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示直角坐标系，
则O(0,0)，A(20,20)，观景直道所在直线的方程为y=−10，
由题意可得，游客所在点为B(−5,0)，
则直线AB的方程为y−0=2020+5(x+5)，即4x−5y+20=0，
故圆心O到直线AB的距离d=|20| 42+52=20 41<4，
故直线AB与圆O相交，
故游客不在该摄像头监控范围内．
(2)由图可知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，
所以设直线l过A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直与x轴，则l不可能与圆O相切，
②若直线l不垂直与x轴，设l：y−20=k(x−20)，即kx−y−20k+20=0，
故圆心O到直线l的距离d=|−20k+20| k2+1=4，
解得k=34或k=43，
故直线l的方程为y−20=34(x−20)或y−20=43(x−20)，
即3x−4y+20=0或4x−3y−20=0，
设这两条直线与y=−10交于D，E，
由y=−103x−4y+20=0，解得x=−20，
由y=−104x−3y−20=0，解得x=−2.5，
故|DE|=17.5，
故观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5米．
【解析】(1)以O为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，求出直线AB的方程，再判断直线AB与圆O的位置关系，即可求解．
(2)摄像头监控不会被建筑物遮挡，求出过点A并与圆O相切的直线方程，再令其与直线y=−10分别联立，即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(Ⅰ)由题知4a2+1b2=1ca= 32，
解得a2=8b2=2c2=6，因此，椭圆C的标准方程为x28+y22=1.
(Ⅱ)当AB⊥x轴时，M位于x轴上，且OM⊥AB，
由|OM|= 2可得|AB|= 6，此时S△AOB=12|OM|⋅|AB|= 3；
当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y=kx+t，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由x28+y22=1y=kx+t，得(1+4k2)x2+8ktx+4t2−8=0．
Δ=8kt2−41+4k24t2−8=168k2+2−t2>0，
得x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−81+4k2，
从而M(−4kt1+4k2,t1+4k2)，
已知|OM|= 2，可得t2=2(1+4k2)21+16k2.
∵|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=(1+k2)[(−8kt1+4k2)2−4×4t2−81+4k2]=(1+k2)16(8k2−t2+2)(1+4k2)2.
设O到直线AB的距离为d，则d2=t21+k2，
结合t2=2(1+4k2)21+16k2，
化简得S△AOB2=(12|AB|⋅d)2=16×12k2(4k2+1)(1+16k2)2，
≤16×[12k2+4k2+12]2(1+16k2)2=4，此时△AOB的面积最大，最大值为2，当且仅当12k2=4k2+1即k2=18时取等号，
综上，△AOB的面积的最大值为2.
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中三角形的面积，由基本不等式求最值，是较难题．
(Ⅰ)利用离心率以及椭圆经过的点，求出a，b，得到椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)当AB⊥x轴时，M位于x轴上，求解三角形的面积；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为y=kx+t，与椭圆交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求解M坐标，利用弦长公式及点到直线的距离，求解三角形的面积，结合基本不等式求出最大值，得到结果．
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