2023年山东省淄博市中考数学模拟试题（a卷）及答案

注意事项：

1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

2.答卷前先将密封线左侧的项目填写清楚。

3.答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写，密封线内不得答题。

2023年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）（2023•淄博）比小1的数是　　

A． B． C．1 D．3

2．（4分）（2023•淄博）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（4分）（2023•淄博）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是　　

A． B． 

C． D．

4．（4分）（2023•淄博）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南20方向行走至点处，则等于　　

A． B． C． D．

5．（4分）（2023•淄博）解分式方程时，去分母变形正确的是　　

A． B． 

C． D．

6．（4分）（2023•淄博）与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是　　

A． B． C． D．

7．（4分）（2023•淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　

A． B．2 C． D．6

8．（4分）（2023•淄博）如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为　　

A． B． C． D．

9．（4分）（2023•淄博）若，，则以，为根的一元二次方程是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.

10．（4分）（2023•淄博）单项式的次数是　　．

11．（4分）（2023•淄博）分解因式：．

12．（4分）（2023•淄博）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点△，点与点，点与点，点与点是对应点，则　　度．

13．（4分）（2023•淄博）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　　．

14．（4分）（2023•淄博）如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．

如图1，当时，；

如图2，当时，；

如图3，当时，；

依此类推，当为正整数）时，　　．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（5分）（2023•淄博）解不等式

16．（5分）（2023•淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，，，．求证：．

17．（8分）（2023•淄博）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2023年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

（1）请直接写出　　，　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度．

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有岁的市民300万人，问岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？

18．（8分）（2023•淄博）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润售价成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

19．（8分）（2023•淄博）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．

（1）求证：①是的切线；

②；

（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．

20．（9分）（2023•淄博）如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

21．（9分）（2023•淄博）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

2023年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）比小1的数是　　

A． B． C．1 D．3

【考点】：有理数的减法

【分析】用减去1，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．

【解答】解：．

故选：．

2．（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【考点】：科学记数法表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：40亿用科学记数法表示为：，

故选：．

3．（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是　　

A． B． 

C． D．

【考点】：简单组合体的三视图

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】解：、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意；

、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；

、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长方形，不符合题意；

、球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．

故选：．

4．（4分）如图，小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南20方向行走至点处，则等于　　

A． B． C． D．

【考点】：方向角

【分析】根据平行线性质求出，再求出即可得出答案．

【解答】解：如图：

小明从处沿北偏东方向行走至点处，又从点处沿东偏南20方向行走至点处，

，，

向北方向线是平行的，即，

，

，

，

，

故选：．

5．（4分）解分式方程时，去分母变形正确的是　　

A． B． 

C． D．

【考点】：解分式方程

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．

【解答】解：去分母得：，

故选：．

6．（4分）与下面科学计算器的按键顺序：

对应的计算任务是　　

A． B． C． D．

【考点】：计算器有理数；：有理数的混合运算

【分析】根据科学计算器按键功能可得．

【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是，

故选：．

7．（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　

A． B．2 C． D．6

【考点】：二次根式的应用

【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．

【解答】解：由题意可得，

大正方形的边长为，小正方形的边长为，

图中阴影部分的面积为：，

故选：．

8．（4分）如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为　　

A． B． C． D．

【考点】：相似三角形的判定与性质

【分析】证明，根据相似三角形的性质求出的面积为，计算即可．

【解答】解：，，

，

，即，

解得，的面积为，

的面积为：，

故选：．

9．（4分）若，，则以，为根的一元二次方程是　　

A． B． C． D．

【考点】：根与系数的关系

【分析】利用完全平方公式计算出，然后根据根与系数的关系写出以，为根的一元二次方程．

【解答】解：，

，

而，

，

，

以，为根的一元二次方程为．

故选：．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请直接填写最后结果.

10．（4分）单项式的次数是　5　．

【考点】42：单项式

【分析】根据单项式的次数的定义解答．

【解答】解：单项式的次数是．

故答案为5．

11．（4分）分解因式：．

【考点】57：因式分解十字相乘法等

【分析】先提公因式，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．

【解答】解：，

，

．

12．（4分）如图，在正方形网格中，格点绕某点顺时针旋转角得到格点△，点与点，点与点，点与点是对应点，则　90　度．

【考点】：旋转的性质

【分析】作，的垂直平分线交于点，可得点是旋转中心，即．

【解答】解：如图，

连接，，作，的垂直平分线交于点，连接，

，的垂直平分线交于点，

点是旋转中心，

旋转角

故答案为：90

13．（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦青春梦“演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是　　．

【考点】：列表法与树状图法

【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12，

恰好选中一男一女的概率是，

故答案为：．

14．（4分）如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是．

如图1，当时，；

如图2，当时，；

如图3，当时，；

依此类推，当为正整数）时，　　．

【考点】38：规律型：图形的变化类；：等腰直角三角形；：翻折变换（折叠问题）；：解直角三角形

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．

【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，，，

分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，，，中的中间一个．

．

故答案为：．

三、解答题：本大题共7个小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15．（5分）解不等式

【考点】：解一元一次不等式

【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集．

【解答】解：将不等式两边同乘以2得，

解得．

16．（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，，，．求证：．

【考点】：全等三角形的判定与性质

【分析】由“”可证，可得．

【解答】证明：

，且，

17．（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2023年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

（1）请直接写出　25　，　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度．

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有岁的市民300万人，问岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？

【考点】：用样本估计总体；：频数（率分布表；：频数（率分布直方图；：扇形统计图

【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得、的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；

（2）根据（1）中的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据频数分布表中的数据可以计算出岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少．

【解答】解：（1），

，

第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：，

故答案为：25，20，126；

（2）由（1）值，有25人，

补全的频数分布直方图如右图所示；

（3）（万人），

答：岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人．

18．（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的，两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润售价成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

【考点】：二元一次方程组的应用

【分析】设，两种产品的销售件数分别为件、件；由题意列出方程组，解方程组即可．

【解答】解：设，两种产品的销售件数分别为件、件；

由题意得：，

解得：；

答：，两种产品的销售件数分别为件、180件．

19．（8分）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．

（1）求证：①是的切线；

②；

（2）若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．

【考点】：圆的综合题

【分析】（1）①证明，即可求解；②证明，即可求解；

（2）证明、是等边三角形，，即可求解．

【解答】解：（1）①连接，

是的平分线，，

，，

，

，而，

，

是的切线；

②连接，

是的切线，，

，，

；

（2）连接、，设圆的半径为，

点是劣弧的中点，是是中垂线，

，，

，，

，

，

、是等边三角形，

，

，而，

，

．

20．（9分）如图1，正方形和的边，在同一条直线上，且，取的中点，连接，，．

（1）试证明，并求的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设，其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含的式子表示）；若无变化，说明理由．

【考点】32：列代数式；：相似三角形的判定与性质；：菱形的性质

【分析】（1）如图1中，延长交的延长线于．证明是等腰直角三角形即可，连接，，设，则，，，求出，即可解决问题．

（2）（1）中的值有变化．如图2中，连接，交于点，连接，，，交于．首先证明，，共线，再证明点在直线上，设，则，想办法求出，（用表示），即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图1中，延长交的延长线于．

四边形，四边形都是正方形，

，

，

，，

，

，，

，，

，

，，

，，

连接，，设，则，，，

，

，

，

，

，

，，

，

．

（2）解：（1）中的值有变化．

理由：如图2中，连接，交于点，连接，，，交于．

，，

，，

，

，，共线，

，

，

，，

，

与互相平分，

，

点在直线上，

，

四边形是矩形，

，

，，

，设，则，

易知，，，

，，

．

21．（9分）如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

【考点】：二次函数综合题

【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．

（2）用配方法求抛物线顶点，求，设点坐标为，用表示和．为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论．确定直角即确定斜边后，可用勾股定理列方程，求得的值即求得点坐标．

（3）由点是内心联想到过点作三边的垂线段、、，根据内心到三角形三边距离相等即有．此时以点为圆心、为半径长的即为内切圆，根据切线长定理可得，，．设点坐标为，可用含、的式子表示、的长，又由，即可用勾股定理列得关于、的方程．化简再配方后得到式子：，从图形上可理解为点与定点，的距离为，所以点的运动轨迹为圆弧．所以当点在连线上时，最短．

【解答】解：（1）抛物线过点，

   解得：

这条抛物线对应的函数表达式为

（2）在轴上存在点，使得为直角三角形．

顶点

设点坐标为

，

①若，则

解得：

②若，则

解得：，

或

③若，则

解得：

综上所述，点坐标为或或或时，为直角三角形．

（3）如图，过点作轴于点，于点，于点

轴于点

四边形是矩形

点为的内心

，，，

矩形是正方形

设点坐标为

，

化简得：

配方得：

点与定点，的距离为

点在以点，为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动

当点在线段上时，最小

最小值为．

参考答案到此结束