高中数学高考 2021届高考二轮精品专题四 函数与导数（文） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题四 函数与导数（文） 学生版(1)，共23页。试卷主要包含了函数的周期性，函数的对称性，函数的零点问题等内容，欢迎下载使用。


专题 4
××

函数与导数






命题趋势

1．函数的考查，主要考查函数的性质以及函数零点问题，通常和函数图象结合起来考查，一种是图象的识别，另一种利用图象来分析函数，通过数形结合的思想解决与函数有关的问题．函数零点问题主要考查的形式为函数所在的区间，零点的个数问题，或者是求参数的取值范围问题．
2．导数的考查主要分为两种，一种为导数的运算以及导数的几何意义的考查，另一种是利用函数解决函数的单调性，以及极（最）值问题．


考点清单

一、函数
1．函数的单调性
单调性是函数在定义域上的局部性质，函数单调性常考的等价形式有：
若x1≠x2，且x1，x2∈a，b，
fx在a，b上单调递增x1-x2fx1-fx2>0；
fx在a，b上单调递减x1-x2fx1-fx2<0．
2．函数的奇偶性
①若f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x)；
②若f(x)是奇函数，则f-x=-fx，0在其定义域内，则f(0)=0；
③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性．
3．函数的周期性
①若y=f(x)对，f(x+a)=f(x-a)或f(x+2a)=f(x)(a>0)恒成立，
则y=f(x)是周期为2a的周期函数；
②若y=f(x)是偶函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2|a|的周期函数；
③若y=f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4|a|的周期函数；
④若f(x+a)=-f(x)或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数．
4．函数的对称性
①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a对称；
②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x)，即f(x)=-f(2a-x)，则y=f(x)的图象关于点(a，0)对称；
③若函数y=f(x)满足fa+x=fb-x，则函数fx的图象关于直线对称；
④若函数y=f(x)满足fa+x=-fb-x，则函数fx的图象关于直线对称．
5．函数的零点问题
（1）函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标．
（2）确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

二、导数
1．导数的几何意义
函数y=fx在x=x0处的导数f'x0就是曲线y=fx在点x0，fx0处的切线的斜率，即k=f'x0．
（1）曲线y=fx在点x0，y0的切线的方程为y-y0=f'x0x-x0．
（2）过点x0，y0作曲线y=fx的切线，点x0，y0不一定是切点，于是对应切线的斜率也不一定是f'x0．
切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，
从而得到切线的方程．
2．单调性与导数的关系
设函数y=fx在区间a，b内可导．
（1）如果在a，b内，恒有f'x>0，则y=fx在此区间是增函数；
（2）如果在a，b内，恒有f'x<0，则y=fx在此区间是减函数；
（3）如果在a，b内，恒有f'x=0，那么函数y=fx在这个区间内是常函数．
3．利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；
（2）求导函数f'x；
（3）解f'x>0（或f'x<0），得到单调递增（减）区间；
（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．
4．极值的定义
（1）函数y=fx在点x=a的函数值比它在点x=a附近的函数值都小，则把a叫做fx的极小值点，
fa叫做fx的极小值．
若y=fx在点x=a处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极小值点附近的特征：f'a=0；
而且在点x=a附近的左侧f'x<0，右侧f'x>0．
（2）函数y=fx在点x=b的函数值比它在点x=b附近的函数值都大，则把b叫做fx的极大值点，
fb叫做fx的极大值．
若y=fx在点x=b处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点附近的特征：f'b=0；
而且在点x=b附近的左侧f'x>0，右侧f'x<0．
注意：极值点指x的取值，极值指相应的fx的取值．
5．求可导函数极值的步骤
（1）求函数的定义域；
（2）求导数，并判断函数的单调性；
（3）画表判断函数的极值．
6．求函数fx在区间a，b上的最值得一般步骤
（1）求函数y=fx在a，b内的极值；
（2）比较函数y=fx的各极值与端点处的函数值fa，fb的大小，最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．



精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-3x，则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为（ ）
A．1，3 B．-3，-1，1，3 C．2-7，1，3 D．-2-7，1，3
2．已知函数f(x)的周期为2，当x∈[-1，1]时，f(x)=x2，那么函数f(x)的图象与y=lgx函数的图象的交点共有（ ）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
3．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）
A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时
4．设函数，则满足ffa=2fa的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数关于x的方程，m∈R．有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则（ ）
A． B．b 8．函数fx=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）

A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
9．若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题．
11．曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________．

三、解答题．
12．已知函数f(x)=ax+lnx+1(a为常数，a∈R)．
（1）若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设函数g(x)=x2-(x+1)lnx-sinx，判断函数g(x)是否存在零点；如果存在，求出零点的个数；
如果不存在，请说明理由．












13．已知函数fx=x3-3x．
（1）求曲线在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A1，mm≠-2可作曲线的三条切线，求实数m的取值范围．












14．设函数fx=x3+ax2+bx+c．
（1）求曲线在点0，f0处的切线方程；
（2）设a=b=4，若函数fx有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．













高频易错题

一、解答题．
1．已知函数．
（1）若a=3，求fx的单调区间；
（2）证明：fx只有一个零点．













2．函数fx=ax3+3x2+3xa≠0．
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）若函数fx在区间1，2是增函数，求a的取值范围．














精准预测题

一、选择题．
1．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．定义在R上的函数f(x)满足，f(2-x)=f(x)，当x∈0，1时，f(x)=x2，则函数f(x)的图象与g(x)=x的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题．
3．已知a>0，函数，若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，
则a的取值范围是_________．
4．若0 ①；②；③；④；⑤．
5．设函数．若，则a=_________．

三、解答题．
6．已知函数f(x)=ex+ax2-x．
（1）当a=0时，求曲线在点A0，f0处的切线；
（2）若x=0为fx的一个极小值点，求a的取值范围．






参考答案

经典训练题

一、选择题．
1．【答案】D
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f(x)=x2-3x，所以，
所以，
由，解得x=1或x=3；
由，解得x=-2-7或x=-2+7（舍去），
所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为-2-7，1，3，故选D．
【点评】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等．
2．【答案】A
【解析】由题可知，如图所示：

当x=10时，y=1，根据图象可知，交点个数为10，故选A．
【点评】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题．
3．【答案】C
【解析】依题有：192=ⅇb，48=ⅇ22k+b，两式相除得4=ⅇ-22k，
解得，，那么，
当x=33时，，故选C．
【点评】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力．
4．【答案】C
【解析】令fa=t，则ft=2t，当t<1时，3t-1=2t，
由gt=3t-1-2t的导数为g't=3-2tln2，
当t<1时，g't>0，gt在(-∞，1)递增，即有gt 当时，2t=2t成立，由fa≥1，即3a-1≥1，解得且a<1或a≥1，
2a≥1，解得a≥0，即为a≥1，
综上所述实数a的取值范围是，故选C．
【点评】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、函数的最值等知识点的综合考查，注重考查了分类讨论思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数gt=3t-1-2t，利用新函数的性质是解答的关键．
5．【答案】B
【解析】作函数f(x)的图象如图：
结合图象可知，x1+x2=-2，，故x3x4=1，
根据题意，m∈0，1，则，故x4∈(1，2)，
则，
根据对勾函数在(1，2)上单调递增，
故在(1，2)上单调递增，
所以，故选B．

【点评】本题考查了函数零点与方程解的关系，考查数形结合思想，对勾函数性质，属于中档题．
6．【答案】A
【解析】令hx=mx+1，分别作出fx与gx的图象如下，

由图象知hx=mx+1是过定点-1，0的一条直线，
当直线绕着定点转动时，与fx图象产生不同的交点．
当直线hx在x轴和直线AB及切线和直线AC之间时，与fx图象产生两个交点，
此时或，故答案选A．
【点评】本题考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．
7．【答案】D
【解析】因为ae5=5ea，a<5，故a>0，同理b>0，c>0，
令，则，
当01时，f'x>0，
故fx在为减函数，在为增函数，
因为ae5=5ea，a<5，故，即f5=fa，而0 故0 因为f5 所以0 【点评】导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，
此类问题，代数式变形很关键．
8．【答案】A
【解析】由图象知，
因为f'(x)=3ax2+2bx+c=0有两个不相等的正实根x1，x2，
且f(x)在(-∞，x1)，(x2，+∞)单调递增，在(x1，x2)上单调递减，
所以a>0，，，
所以b<0，c>0，
所以a>0，b<0，c>0，d>0，故选A．
【点评】此题考查导函数与原函数的图象关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系是解题的关键，属于基础题．
9．【答案】D
【解析】设直线l在曲线y=x上的切点为x0，x0，则x0>0，
函数y=x的导数为，则直线l的斜率，
设直线l的方程为，即x-2x0y+x0=0，
由于直线l与圆相切，则，
两边平方并整理得5x02-4x0-1=0，解得x0=1，（舍），
则直线l的方程为，即，故选D．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】可得f(x)的定义域为xx≠0关于原点对称，
且，
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A、C错误；
当x>0时，，
故当x∈0，e时，f'x>0，fx单调递增；
当x∈e，+∞时，f'x<0，fx单调递减，故D错误，B正确，
故选B．
【点评】函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

二、填空题．
11．【答案】y=2x
【解析】设切线的切点坐标为，，，
，所以切点坐标为(1，2)，
所求的切线方程为，即y=2x，
故答案为y=2x．
【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．

三、解答题．
12．【答案】（1）a≤-1；（2）无零点，理由见解析．
【解析】（1）①当a≥0时，，不合题意；
②当a<0时，，
令f'(x)=0，则，
单调递增；
单调递减，
，解得a≤-1，
综上①②可得a≤-1．
（2）由（1）可知，当a=-1时，f(x)=-x+lnx+1≤0，
即lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，
，
(当且仅当x=1时等号成立)
又，当且仅当时等号成立，
所以对任意x>0，g(x)>0恒成立．
所以函数g(x)=x2-(x+1)lnx-sinx无零点．
【点评】通过得出，从而判断出g(x)>0恒成立是解决本题的关键．
13．【答案】（1）9x-y-16=0；（2）-3，-2．
【解析】（1）f'x=3x2-3，∴切线斜率k=f'2=9，f2=2，
∴曲线在x=2处的切线方程为y-2=9x-2，
∴即9x-y-16=0．
（2）过点A1，m向曲线作切线，设切点为x0，y0，
则y0=x03-3x0，k=f'x=3x02-3，
∴切线方程y-x03-3x0=3x02-3x-x0，
即2x03-3x02+m+3=0，
∴2x03-3x02+m+3=0有三个不同实数根，
记gx=2x3-3x2+m+3，g'x=6x2-6x=6xx-1，
令g'x=0，x=0或1，则x，g'x，gx的变化情况如下表
x
-∞，0
0

1

g'x
+
0
-
0
+
gx
↗
极大
↘
极小
↗
当x=0，gx有极大值m+3；x=1，gx有极小值．
因为过点A1，mm≠-2可作曲线的三条切线，
则，即，解得-3 所以m的范围是-3，-2．
【点评】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．
14．【答案】（1）y=bx+c；（2）；（3）证明见解析．
【解析】（1）由fx=x3+ax2+bx+c，得f'x=3x2+2ax+b．
因为f0=c，f'0=b，
所以曲线在点0，f0处的切线方程为y=bx+c．
（2）当a=b=4时，fx=x3+4x2+4x+c，
所以f'x=3x2+8x+4．
令f'x=0，得3x2+8x+4=0，解得x=-2或．
fx与f'x在区间-∞，+∞上的情况如下：






f'x
+
0
-
0
+
fx
↗
c
↗

↗
所以，当c>0且时，存在，，，
使得fx1=fx2=fx3=0．
由fx的单调性知，当且仅当时，函数fx=x3+4x2+4x+c有三个不同零点．
（3）当Δ=4a2-12b<0时，f'x=3x2+2ax+b>0，x∈-∞，+∞，
此时函数fx在区间-∞，+∞上单调递增，所以fx不可能有三个不同零点；
当Δ=4a2-12b=0时，f'x=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0．
当x∈-∞，x0时，f'x>0，fx在区间-∞，x0上单调递增；
当x∈x0，+∞时，f'x>0，fx在区间x0，+∞上单调递增，
所以fx不可能有三个不同零点；
综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有Δ=4a2-12b>0，
故a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要条件．
当a=b=4，c=0时，a2-3b>0，fx=x3+4x2+4x=xx+22只有两个不同零点，
所以a2-3b>0不是fx有三个不同零点的充分条件．
因此a2-3b>0是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．
【点评】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．
2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值．
3．方程根的问题可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．
4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，
从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．

高频易错题

一、解答题．
1．【答案】（1）fx在-∞，3-23，3+23，+∞单调递增，在3-23，3+23单调递减；
（2）证明见解析．
【解析】（1）当a=3时，，f'x=x2-6x-3．
令f'x=0，解得x=3-23或x=3+23．
当x∈-∞，3-23∪3+23，+∞时，f'x>0；
当x∈3-23，3+23时，f'x<0，
故fx在-∞，3-23，3+23，+∞单调递增，在3-23，3+23单调递减．
（2）由于x2+x+1>0，所以fx=0，等价于．
设，则，仅当x=0时，，
所以gx在-∞，+∞单调递增．
故gx至多有一个零点，从而fx至多有一个零点．
又，，
故fx有一个零点，
综上，fx只有一个零点．
【点评】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数；
③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；
当f'(x)<0时，f(x)在相应区间上是减增函数．
（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有唯一零点，
可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证．
2．【答案】（1）a≥1时，在-∞，+∞是增函数；0 【解析】（1）f'(x)=3ax2+6x+3，f'(x)=3ax2+6x+3=0的判别式Δ=361-a．
①若a≥1，则f'(x)≥0，且f'(x)=0，当且仅当a=1，x=-1，故此时fx在R上是增函数；
②由于a≠0，故当a<1时，f'(x)=0有两个根：，，
若00，
故fx在，上是增函数；
当时，f'(x)<0，
故fx在上是减函数．
（2）当a>0，x>0时，f'(x)>0，所以当a>0时，fx在区间1，2是增函数；
若a<0时，fx在区间1，2是增函数，当且仅当且，
解得，
综上，a的取值范围是．
【点评】本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，
考查分类讨论思想的应用．

精准预测题

一、选择题．
1．【答案】A
【解析】设，则，
由y'=0，解得x=e，
当x∈(0，e)时，y'>0，函数为增函数；当x∈(e，+∞)时，y'<0，函数为减函数，
∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为．
方程有5化为，

解得或．
如图画出函数图象：，故选A．
【点评】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】由题意知：f(x)的周期为2，关于x=1对称，
且f(2-(x+2))=f(-x)=f(x+2)=f(x)，
∴f(x)为偶函数，即可得f(x)、g(x)的图象如下：

即f(x)与g(x)交于(-1，1)，(0，0)，(1，1)三点，故选A．
【点评】1．f(m+x)=f(x)有f(x)的周期为m；
2．f(n-x)=f(x)有f(x)关于．

二、填空题．
3．【答案】4，8
【解析】分类讨论：当x≤0时，方程fx=ax，即x2+2ax+a=ax，
整理可得：x2=-ax+1，
很明显x=-1不是方程的实数解，则；
当x>0时，方程fx=ax，即-x2+2ax-2a=ax，
整理可得：x2=ax-2，
很明显x=2不是方程的实数解，则，
令，
其中，，
原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a的取值范围．
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx的图象，
同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，
结合a>0观察可得，实数a的取值范围是4，8．
【点评】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
（1）直接求零点：令fx=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且fa⋅fb<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．【答案】②④
【解析】对①，令，则，
当x∈(0，1)，f'(x)的正负不确定，
故与的大小不确定，故①错误；
对②，令，则，
当x∈(0，1)，g'(x)>0，∴g(x)在(0，1)上单调递增，
又∵0 即，故②正确；
对③，令，则h'(x)=(x+1)ex，
当x∈(0，1)，h'(x)>0，∴h(x)在(0，1)上单调递增，
又∵0 即：x1ex1 对④，令，则，
当x∈(0，1)，φ'(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递增，
又∵0 即：x2ex1>x1ex2，故④正确；
对⑤，令r(x)=ex-lnx，则，
当x∈(0，1)，r'(x)的符号不能确定，
∴ex2-lnx2与ex1-lnx1的大小不能确定，
即ex2-ex1与lnx2-lnx1的大小不能确定，故⑤错误，
故答案为②④．
【点评】本题解题的关键是构造对应的函数，利用函数的单调性比较大小．
5．【答案】1
【解析】由函数的解析式可得，
则，据此可得，
整理可得a2-2a+1=0，解得，故答案为1．
【点评】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中档题．

三、解答题．
6．【答案】（1）y=1；（2）．
【解析】（1）当a=0时，，则f'(x)=ex-1，
∴f'0=0，f0=1，
∴曲线在点A0，f0处的切线为y=1．
（2）由已知得f'(x)=ex+2ax-1，则f'0=0，
若x=0为fx的一个极小值点，则x=0在f'(x)=ex+2ax-1的单调增区间中，
又f″(x)=ex-2a，则f″(0)=1+2a≥0，解得，
又当时，f'(x)=ex-x-1，
令gx=ex-x-1，g'x=ex-1，
当时，g'x<0；当x>0时，g'x>0，
所以gx在-∞，0上单调递减，在0，+∞上单调递增，
所以gx=f'x≥g0=0，故此时x=0不是fx的极值点，
综上可知：．
【点评】解答本题第二问的关键是通过f'0=0判断出x=0处于f'x的单调递增区间，于是满足在0的左侧导数值小于零，0的右侧导数值大于零，由此进行问题的求解．




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