高中数学高考 2021届高考二轮精品专题九 解析几何（文） 学生版(1)

这是一份高中数学高考 2021届高考二轮精品专题九 解析几何（文） 学生版(1)，共29页。试卷主要包含了直线方程与圆的方程，圆锥曲线及其性质，圆锥曲线的综合问题等内容，欢迎下载使用。


专题 9
××

解析几何






命题趋势

本部分考查点主要有：
（1）直线间的位置关系、点到线和线到线的距离、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，主要以选择题、填空题的形式出现，选做题当中也会出现直线与圆的位置关系考查；
（2）椭圆、抛物线、双曲线的方程与性质的考查，直线与椭圆、抛物线、双曲线位置关系的考查．


考点清单

1．直线方程与圆的方程
（1）直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
两点式

不能表示平行于坐标轴的直线
截距式

不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A，B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
（2）两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行：
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有；
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，．
②两条直线垂直：
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
（3）两条直线的交点的求法
直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
（4）三种距离公式
①P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
②点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离：．
③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离：．
（5）圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，
(D2+E2-4F>0)
圆心：，
半径：
（6）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
①若M(x0，y0)在圆外，则(x0-a)2+(y0-b)2>r2．
②若M(x0，y0)在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2=r2．
③若M(x0，y0)在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2 2．直线、圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程观点
Δ<0
Δ=0
Δ>0
几何观点
d>r
d=r
d （2）圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r d=R-r
d 公切线条数
4
3
2
1
0
3．圆锥曲线及其性质
（1）椭圆的标准方程及几何性质

焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程


图形


焦点坐标
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
顶点坐标
，A2(a，0)，B2(0，b)
，A20，a，，B2(b，0)
长轴
长轴A1A2=2a，a是长半轴的长
短轴
短轴B1B2=2b，b是短半轴的长
焦距
焦距F1F2=2c，c是半焦距
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
离心率
，越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆
（2）双曲线的标准方程及几何性质
标准方程


图形


一般方程
mx2+ny2=1(mn<0)
几何性质
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
焦点
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
顶点
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
实、虚轴长
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b (a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长)
焦距
焦距|F1F2|=2c，c是半焦距
离心率

渐近线方程


（3）抛物线的标准方程及其几何性质
方程标准
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y=0(x轴)
x=0(y轴)
焦点




离心率
e=1
准线方程




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)




4．圆锥曲线的综合问题
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x (或变量y)的一元方程．
即联立，消去y，得ax2+bx+c=0．
①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，
则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．
②当a=0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，
若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
（2）圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于M，N两点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则或
．


精题集训
（70分钟）

经典训练题

一、选择题．
1．椭圆上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（ ）
A．2 B．4 C．25 D．6
2．点P在函数的图象上．若满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值
为（ ）
A．22 B．23 C．3 D．4
3．直线ax+y-1=0被圆x2+y2-2x-8y+13=0所截得的弦长为23，则a=（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点．且A，B在x轴同侧，过A，B分别做x轴的垂线交x轴于C，D两点，O是坐标原点，若|CD|=3，则∠AOB=（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点为F1、F2，上顶点为A，若，则m=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．2
6．设F1､F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题．
7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=4，则△OAB (O为坐标原点)的
面积为_________．

三、解答题．
8．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2．设P是椭圆C上一点，
满足PF2⊥x轴，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．











9．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，
A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求线段PA的长；
（3）试问：四边形ABCD的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．












10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率是，抛物线E:x2=4y的焦点F是椭圆C的一个顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l不经过F，且与C相交于A，B两点，若直线FA与FB的斜率之和为，证明：l过定点．











11．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上的点到点F1，F2的距离之和等于4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点P2，1的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足PA⋅PB=PM2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．













高频易错题

一、选择题．
1．已知直线l1:x+my+7=0和l2:m-2x+3y+2m=0互相平行，则实数m等于（ ）
A．-1或3 B．-1 C．-3 D．1或-3
2．已知抛物线y=x2上点P到顶点的距离等于它到准线的距离，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．

二、填空题．
4．已知圆C:x2+y2-16y+48=0与双曲线的渐近线相切，则E的离心率
为______．

精准预测题

一、选择题．
1．若直线l1:x+by+6=0与l2:(b-2)x+3y+2b=0平行，则l1与l2间的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点P是圆C:x+a2+y-a+32=1上一动点，点P关于y轴的对称点为M，点P关于直线y=x+1的对称点为N，则MN的最小值是（ ）
A．4 B．22 C．4-2 D．8-22
3．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的
右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若2F1P=PQ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．若直线l与曲线y=x和圆都相切，则l的方程为（ ）
A．x-22y+2=0 B．x+22y+2=0
C．x-22y-2=0 D．x+22y-2=0
5．（多选）已知点F0，2为圆锥曲线Ω的焦点，则Ω的方程可能为（ ）
A．y2=8x B．x2=8y
C． D．

二、填空题．
6．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为__________．

三、解答题．
7．已知椭圆与抛物线C：x2=2pyp>0有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆于A，B两点，且AB=1．
（1）求椭圆Γ与抛物线C的方程；
（2）O为坐标原点，过焦点F的直线l交椭圆Γ于M，N两点，求△OMN面积的最大值．












8．已知椭圆的离心率为，且直线与圆x2+y2=2相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C相交于不同的两点A﹐B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆C相交于点P，且，求△ABO的面积．












9．设A，B为抛物线C:y2=2pxp>0上两点，且线段AB的中点在直线y=p上．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设直线y=p与抛物线C交于点M，记直线，的斜率分别为k1，k2，当直线AB经过抛物线C的
焦点F时，求k1+k2的值．














10．已知右焦点为F1，0的椭圆经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F的直线l与椭圆C分别交于A、B（不与D点重合），直线DA、DB分别与x轴交于M、N，是否存在直线l，使得∠DMN=∠DNM？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．






参考答案

经典训练题

一、选择题．
1．【答案】D
【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，
所以最大值为2a2+b2=6，故选D．
【点评】本题考了椭圆的几何性质，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】过函数的图象上点Px0，y0作切线，使得此切线与直线平行，
，于是ex0=1，则x0=0，y0=1，
∴P0，1，
于是当点P到直线的距离为2时，
则满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，
∴，解得或．
又当时，函数的图象与直线相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足；
故，故选C．
【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．
3．【答案】A
【解析】x2+y2-2x-8y+13=0，即x-12+y-42=4，
该圆圆心为1，4，半径为r=2，直线ax+y-1=0截圆所得的弦长为23，
则圆心1，4到直线ax+y-1=0的距离为，
，解得，故选A．
【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式l=1+k2⋅x1-x2，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解．优先采用几何法．
4．【答案】B
【解析】因为直线的方程l:mx+y+3m-3=0化为mx+3+y-3=0，
所以直线l恒过点-3，3，
而点-3，3满足x2+y2=12，所以点-3，3在圆x2+y2=12上，
不妨设点A-3，3，
又|CD|=3，所以点B0，23，
所以|AB|=-32+3-232=23，
又圆x2+y2=12的半径为23，所以△AOB是等边三角形，所以，故选B．
【点评】求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成y=kx-a+b，将x=a带入原方程之后，所以直线过定点a，b；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点．取两个m的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点．
5．【答案】C
【解析】在椭圆中，a=m2+1，b=m，c=a2-b2=1，
如下图所示：

因为椭圆的上顶点为点A，焦点为F1、F2，所以AF1=AF2=a，
，∴△F1AF2为等边三角形，则AF1=F1F2，即m2+1=a=2c=2，
因此，，故选C．
【点评】本题考了椭圆焦点三角形的相关计算，属于中档题．
6．【答案】D
【解析】依题意，可知△PF1F2是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是中点，
根据双曲线定义可知PF1-PF2=2a，所以PF1=2a+2c，
由勾股定理可知，
整理可得3c2-2ac-5a2=0，即3e2-2e-5=0，解得，故选D．
【点评】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2=c2-a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

二、填空题．
7．【答案】
【解析】由题意知，F1，0，不妨设Ax1，y1在第一象限，
|AF|=x1+1=4，x1=3，∴y1=23，
设Bx2，y2，，
∴AB:y=3x-1，
联立方程，整理可得，解得，，
．
故答案为．
【点评】本题考了抛物线的相关定义，直线与抛物线结合考查，属于中档题．

三、解答题．
8．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由条件可知，解得a=2，b=1，c=3，
所以椭圆C的标准方程是．
（2）设直线l:x=y-3，Ax1，y1，Bx2，y2，
直线l与椭圆方程联立，得5y2-23y-1=0，
，，
．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的相关知识，属于中档题．
9．【答案】（1）；（2）；（3）是定值，定值为6．
【解析】（1）解：由题意得，解得a=3，
把点Q的坐标代入椭圆C的方程，得，
由于a=3，解得b=2，
所以所求的椭圆的标准方程为．
（2）解：因为，则得，即，
又因为A(-3，0)，所以直线AP的方程为．
由，解得 (舍去)或，即得，
所以，
即线段AP的长为．
（3）由题意知，直线PB的斜率存在，可设直线．
令y=0，得，
由，得4k2+9x2-36kx=0，解得x=0(舍去)或，
所以，即，
于是直线AP的方程为，即，
令x=0，得，即，
所以四边形ABDC的面积等于，
即四边形ABDC的面积为定值．
【点评】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：写出直线方程求出交点坐标，得出线段长度．对定值问题，设出直线方程得出各交点坐标，计算出四边形面积即可得．
10．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为抛物线E:x2=4y的焦点F0，1是椭圆C的一个顶点，
所以b=1，由，解得a=2，
则椭圆方程为．
（2）①当斜率不存在时，设l:x=m，Am，yA，Bm，-yA，
∵直线FA与直线FB的斜率的和为，
，解得m=2，
此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足；
②当斜率存在时，设l:y=kx+t，t≠1，Ax1，y1，Bx2，y2，
联立，整理得1+4k2x2+8ktx+4t2-4=0，
，①
∵直线FA与FB直线的斜率的和为，
∴，②
①代入②得，
∴t=-2k-1，此时Δ=-64k，存在k，使得Δ>0成立，
∴直线l的方程为y=kx-2k-1，
当x=2时，y=-1，
∴l过定点2，-1．
【点评】定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．
11．【答案】（1）；（2）存在直线l满足条件，其方程为．
【解析】（1）由题意得，所以，
故椭圆C的标准方程为．
（2）若存在满足条件的直线l，则直线l的斜率存在，设其方程为y=k(x-2)+1．
代入椭圆C的方程得．
设A，B两点的坐标分别为x1，y1，x2，y2，
所以，所以，
且，．
因为PA⋅PB=PM2，即，
所以，
即．
所以，解得．
又因为，所以．
所以存在直线l满足条件，其方程为．
【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．

高频易错题

一、选择题．
1．【答案】A
【解析】∵两条直线l1:x+my+7=0和l2:m-2x+3y+2m=0互相平行，
∴1×3-mm-2=0，解得m=-1或m=3．
若m=-1，则l1:x-y+7=0与l2:-3x+3y-2=0平行，满足题意；
若m=3，则l1:x+3y+7=0与l2:x+3y+6=0平行，满足题意，
故选A．
【点评】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．【答案】A
【解析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点F的距离等于其到准线的距离，
从而得到点P到焦点F的距离等于其到顶点O的距离，
所以点P在线段OF的垂直平分线上，
因为抛物线的方程为y=x2，所以其焦点的坐标为，
从而得到点P的纵坐标为，将代入抛物线的方程，得到，
所以点P的坐标为，故选A．
【点评】该题考查的是有关抛物线上点的坐标的求解问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，线段中垂线上点的特征，熟练掌握基础知识是解题的关键．
3．【答案】C
【解析】抛物线的标准方程为x2=4y，
所以，，准线方程为y=-1，故选C．
【点评】本题考点为抛物线的基本性质，属于基础题．

二、填空题．
4．【答案】
【解析】由x2+y2-16y+48=0，得x2+(y-8)2=42，
所以圆心C0，8，半径r=4，
双曲线的一条渐近线为，
由题意得圆心到渐近线的距离，
所以，所以，所以，
故答案为．
【点评】关键点点睛：本题的关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，可得a，b，c之间的关系，即可求离心率．

精准预测题

一、选择题．
1．【答案】B
【解析】因为直线l1:x+by+6=0与l2:(b-2)x+3y+2b=0平行，
所以bb-2=3，解得b=-1或b=3，
当b=3时，l1:x+3y+6=0，l2:x+3y+6=0此时l1与l2重合，不符合题意；
当b=-1时，l1:x-y+6=0，l2:-3x+3y-2=0即，
此时l1与l2间的距离为，故选B．
【点评】本题考了两条直线的平行的判断以及两条直线之间的距离，属于基础题．
2．【答案】C
【解析】设Pm，n，则M-m，n，Nn-1，m+1，
MN=m+n-12+m-n+12=2⋅m2+n-12，
则m2+n-12表示圆C上的点Pm，n到定点A0，1的距离，
由题得，圆心C-a，a-3，半径r=1，
根据圆的性质可得AP≥AC-r=a2+a-42-1=2a2-8a+16-1
=2a-22+8-1≥22-1，
当且仅当a=2时，等号成立，
所以MN=2AP≥2×22-1=4-2，
所以MN的最小值是4-2，故选C．
【点评】求解本题的关键在于，通过设点Pm，n，得到M，N坐标，根据两点间距离公式，
得到MN=2⋅m2+n-12，由圆的性质，结合所求式子的几何意义，即可求解．
3．【答案】D
【解析】如图，连接PF2，QF2．

因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q，故F1Q⊥QF2．
设F1P=x，则PQ=2x，F1Q=3x，F2Q=3x-2a，F2P=x+2a，
由△PQF2为直角三角形，故x+2a2=2x2+3x-2a2，解析，
故F1Q=4a，F2Q=2a，
因为△F1QF2为直角三角形，故16a2+4a2=4c2，故e=5，故选D．
【点评】与焦点三角形有关的离心率的计算，注意利用双曲线的定义实现边的关系的转化，必要时需多次转化．
4．【答案】A
【解析】法一：设曲线y=x的切点P(x0，x0)(x0>0)，
根据导数几何意义可得点P(x0，x0)处的切线斜率，
所以切线方程，即l:x-2x0y+x0=0，
因为切线也与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得x0=2或x0=-2（舍去），
所以切线方程为x-22y+2=0，故选A．

法二：画出曲线y=x和圆的图形如下：

结合图形可得要使直线l与曲线y=x和圆都相切，
则直线k>0，横截距a<0，纵截距b>0，B，C，D均不符合，故选A．
【点评】若已知曲线y=f(x)过点P(x0，y0)，求曲线过点P的切线方程的方法：
（1）当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y-y0=f'(x0)⋅(x-x0)．
（2）当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：
第一步：设出切点坐标P'(x1，f(x1))；
第二步：写出过点P'(x1，f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)⋅(x-x1)；
第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；
第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)⋅(x-x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．
5．【答案】BC
【解析】对于A，y2=8x的焦点坐标为(2，0)，不满足题意；
对于B，y2=8y的焦点坐标为(0，2)，满足题意；
对于C，可化为，其为焦点在y轴上的双曲线方程，
且该双曲线的半焦距c=m+4-m=2，满足题意；
对于D，为焦点在x轴上的双曲线方程，不满足题意，
故选BC．
【点评】在双曲线的标准方程中，看项与y2项的系数的正负，若项的系数为正，则焦点在x轴上，
若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．

二、填空题．
6．【答案】，-3
【解析】正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系，

设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ=2，
由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ-45°，直线OB的倾斜角为θ+45°，
故，
．
故答案为；-3．
【点评】求直线斜率的方法：
（1）定义式：倾斜角为θ，对应斜率为k=tanθ；
（2）两点式：已知两点坐标，，则过两点的直线的斜率．

三、解答题．
7．【答案】（1）椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为x2=43y；（2）最大值为1．
【解析】（1）因为AB=1，所以不妨设A的坐标为，B的坐标为，
所以有，∴a2=4，p=23，
∴椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为x2=43y．
（2）由（1）可知：F的坐标为(0，3)，
设直线l的方程为y=kx+3，O到MN的距离为d，则，
联立，可得k2+4x2+23kx-1=0，
则，
，
当且仅当k2=2时取等号，故△OMN面积的最大值为1．
【点评】本题主要考了抛物线，椭圆的基本性质，以及弦长公式，同时考查计算能力，属于中档题．
8．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴（c为半焦距），
∵直线与圆x2+y2=2相切，∴，
又∵c2+b2=a2，∴a2=6，b2=3，
∴椭圆C的方程为．
（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=n-6 ∵，∴6=15n，∴，
∴；
②当直线l的斜率存在时，设直线l:y=kx+mm≠0，Ax1，y1，Bx2，y2．
由，消去y，得2k2+1x2+4kmx+2m2-6=0．
∴Δ=16k2m2-82k2+1m2-3=86k2-m2+3>0，即6k2-m2+3>0．
∴，．
∴线段AB的中点．
当k=0时，∵，∴3=15m，∴，
∴；
当k≠0时，射线OM所在的直线方程为，
由，消去y，得，，
∴．
∴5m2=2k2+1，经检验满足Δ>0成立．
设点O到直线l的距离为d，则．
∴，
综上，△ABO的面积为．
【点评】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
9．【答案】（1）1；（2）4．
【解析】（1）设Ax1，y1，Bx2，y2，
因为A，B在抛物线C:y2=2pxp>0上，且AB的中点在直线y=p上，
则，，y1+y2=2p，
所以直线AB的斜率．
（2）∵直线AB经过抛物线C的焦点，∴直线AB的方程为，
由，消去x得y2-2py-p2=0，
由韦达定理y1+y2=2p，y1y2=-p2，
∵直线y=p与抛物线C交于点M，∴点M的坐标为，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，涉及到直线的斜率，解题的关键是会联立方程，找根与系数关系，属于常规题型．
10．【答案】（1）；（2）存在，且直线l的方程为x-2y-1=0．
【解析】（1）因为椭圆经过点，且该椭圆的右焦点为F1，0．
所以，解得，
因此，椭圆C的标准方程为．
（2）存在直线l，使得∠DMN=∠DNM．理由如下：

若直线l与x轴垂直，则直线l过点D，不合乎题意，
由已知可设l所在直线的方程为y=kx-1，
代入椭圆的方程，得3+4k2x2-8k2x+4k2-3=0，
Δ=64k4-4×4k2+3×4k2-3=144k2+1>0，
设Ax1，y1、Bx2，y2，则，，
记直线DA、DB的斜率分别为k1、k2，
欲使直线l满足∠DMN=∠DNM，只需k1+k2=0．
因为A、B、F三点共线，所以kAF=kBF=k，即．
即
．
由k1+k2=0，即，可得．
所以存在直线l，使得∠DMN=∠DNM，
此时直线l的方程为，即x-2y-1=0．
【点评】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为x1，y1、x2，y2；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算Δ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为x1+x2、x1x2的形式；
（5）代入韦达定理求解．



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