高中数学高考 2020-2021学年下学期高三3月月考卷 数学（A卷）-教师版

（新高考）2020-2021学年下学期高三3月月考卷

数学（A）

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】易知阴影部分为集合，

由，，，可得，故选A．

2．已知是关于x的方程的根，则实数（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】因为是关于x的方程的根，则另一根为，

由韦达定理得，所以，

故选B．

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】充分性：若，则，则，故充分性成立；

必要性：若，则可能，此时，无意义，故必要性不成立，

即“”是“”的充分不必要条件，故选A．

4．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（    ）

A．288种 B．144种 C．72种 D．36种

【答案】B

【解析】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有种不同排法；

第二步，将3名高中生插在这两个整体形成的3个空档中，有种不同排法；

第三步，排2名小学生有种不同排法，排3名初中生有种不同排法，

根据分步计数原理，共有种不同排法，故选B．

5．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【解析】依题意，，

故选B．

6．在数列中，，，若，则（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

【答案】B

【解析】令，由，可得，

所以，

所以是首项为，公差为的等差数列，

，

所以，

整理可得，解得或（舍），故选B．

7．设样本数据，，，…，，的均值和方差分别为和，若(为非零常数，)，则，，，…，，的均值和标准差为（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】B

【解析】设样本数据的均值为，方程为，标准差为s，

则新样本的均值为，方差为，标准差为，

所以，，所以标准差为，所以，

故选B．

8．已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，其中，为切点，若的最大值为120°，则的值为（    ）

A． B． C．4 D．6

【答案】B

【解析】由题意，，，，

所以最大时，最小．

由题意知，

又，所以，，故选B．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．如图是函数的部分图象，则（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】CD

【解析】由图象可知，函数的最小正周期为，

设，则，所以，，

，且函数在附近单调递减，

所以，，可得，

所以，，C选项满足条件，A选项不满足条件；

对于B选项，，B选项不满足条件；

对于D选项，，D选项满足条件，

故选CD．

10．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．对于任意实数a，

B．对于任意实数a，函数图象为轴对称图形

C．存在实数a，使得在单调递减

D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为

【答案】BCD

【解析】函数，

设，，都关于直线对称，

A：当时，，，

所以，

当时，，故A错误；

B：由上知：关于对称，故B正确；

C：由函数的图象关于对称，且函数和函数都为开口方向向上的曲线，在上都是单调递减，故C正确；

D：由的图象关于对称，在上单调递减，在上单调递增，要使的解集为，即有，得，

故存在的数使成立，故D正确，

故选BCD．

11．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（    ）

A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为

B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米

C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为平方厘米

D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为厘米

【答案】ACD

【解析】对于选项A：，

所以，，所以，故选项A正确；

对于选项B：设，截面三角形面积和，

故选项B不正确；

对于选项C：设外接球球心为，半径为，∴，

在中，由勾股定理可得，解得，

所以该球的表面积，故选项C正确；

对于选项D：设球心为，截面主视图如下图，设内切圆半径为，

各边长分别为，，

所以，解得，故选项D正确，

故选ACD．

12．过双曲线（，）的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，，则C的离心率可以是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】BC

【解析】右焦点，设一渐近线的方程为，

则另一渐近线的方程为，

由与垂直可得的方程为，

联立方程，可得的横坐标为；

联立方程，可得的横坐标为，

因为，所以，

可得，

因为，所以，即，

BC满足题意，AD不合题意，

故选BC．

第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知点满足约束条件，则的最小值为________．

【答案】

【解析】由约束条件，画出可行域如图所示阴影部分：

将目标函数转化为，平移直线，

当直线经过点A时，直线在y轴上截距最小，此时，目标函数取得最小值，

由，解得，

所以，

所以目标函数的最小值为，故答案为6．

14．已知某人射击每次击中目标的概率都是．现采用随机模拟的方法估计其射击4次，4次全击中和至少击中3次的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示击中目标，0，7，8，9表示未击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

据此估计，其4次射击中全都击中目标的概率约为______，4次射击中至少3次击中目标的概率约为_____．

【答案】，

【解析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，

在20组随机数中表示射击4次全都击中目标的有：4322  3346共2组随机数，

∴所求概率为；

至少击中3次的有：4322  3346   3023   6430  2640  5735  6586  6031 6754共9组随机数，

∴所求概率为．

故答案为，．

15．的展开式中的系数为______．

【答案】

【解析】，展开式的通项为，

取，则，

的展开式的通项为，

取，得到，

故的系数为，故答案为．

16．已知直线分别与函数和的图象交于点，现给出下述结论：①；②；③；④．则其中正确的结论序号是_________．

【答案】①②③

【解析】函数与互为反函数，

则与的图象关于对称，

将与联立，则，，

由直线分别与函数和的图象交于点，，

作出函数图象：

则，的中点坐标为，

对于①，由，解得，故①正确；

对于②，，

因为，即等号不成立，所以，故②正确；

对于③，将与联立可得，即，

设，且函数为单调递增函数，

，，

故函数的零点在上，即，

由，则，

，故③正确；

对于④，由，解得，

由于，则，故④错误，

故答案为①②③．

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的变分别为a，b，c，已知．

（1）求角B的大小；

（2）若，求的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，得，

得，得或（舍），

因为，所以．

（2）由正弦定理可得，，

所以

，

又，可得当时，最大为．

18．（12分）已知首项为4的数列的前n项和为，且．

（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）．

【解析】（1）由题意得，∴，

故数列是以2为首项，3为公差的等差数列，

∴，∴．

（2）由题意得，

故，

，

∴

，

解得．

19．（12分）如图，七面体的底面是凸四边形，其中，，，垂直相交于点O，，棱，均垂直于底面．

（1）证明：直线与平面不平行；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）假设平面，

因为，平面，所以平面，

又因为平面，，所以平面平面，

根据面面平行的性质定理可得，所以，

因为，，所以，这与矛盾，

所以不平行平面．

（2）以O为坐标原点，建系如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，，

设平面的法向量，

由，可得，则，取，，

所以平面的一个法向量，

直线与平面所成的角的正弦值为．

20．（12分）为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．

（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；

（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列．

【答案】（1）分布列见解析，数学期望为；（2）证明见解析．

【解析】（1）依题意可得，

，，

，，

，，

则的分布列如表所示．

．

（2）处于第个等级有两种情况：

由第等级到第等级，其概率为；

由第等级到第等级，其概率为；

所以，所以，即．

所以数列为等比数列．

21．（12分）已知椭圆（）的离心率为，的长轴是圆的直径．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆的左焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的最小值．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）由，得．

由，得，所以．

所以椭圆的方程为．

（2）由（1）可得．

①当过点的直线的斜率不存在时，，，

这时；

②当过点的直线的斜率为0时，，，

这时；

③当过点的直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，，．

由，整理可得．

，．

所以．

直线的方程为，坐标原点到的距离，

所以，

所以，

由，得，即．

综上所述，四边形的面积的最小值为2．

22．（12分）已知函数．

（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求实数；

（2）当时，判断函数在上的零点个数，并说明理由．

【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．

【解析】（1），，

所以在点处的切线方程为，

所以，即，．

（2）因为，所以，

所以可转化为，

设，则，

当时，，

所以在区间上单调递增．

当时，设，

此时，

所以在时单调递增，

又，，

所以存在使得且时，单调递减；

时，单调递增．

综上，对于连续函数，在时，单调递减，

在时，单调递增．

又因为，

所以当，即时，函数有唯一零点在区间上，

当，即时，函数在区间上无零点，

综上可知，当时，函数在上有个零点；

当时，函数在上没有零点．