2022年山东省菏泽市中考数学真题 （教师版）

这是一份2022年山东省菏泽市中考数学真题 （教师版），共27页。

菏泽市二〇二二年初中学业水平考试（中考）数学试题
注意事项：
1．本试题共24个题，满分120分，考试时间120分钟．
2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其他区域不得分．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1. 2022的相反数是（ ）
A. 2022 B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【详解】解：实数2022的相反数是，
故选：B．
【解题思路】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．
2. 2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．主要包括：北斗全球卫星导航系统平均精度2~3米；中国高铁运营里程超40000000米；“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米；中国嫦娥五号带回月壤重量1731克．其中数据40000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】把比较大的数写成a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数即可得出答案．
【详解】解：40000000＝4×107，
故选：B．
【解题思路】本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．
3. 沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一个角，得到如图所示的几何体，则他的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的和看不到的棱都应表现在图中．
【详解】解：从几何体的正面看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看得见的小三角形画为实线，
故选：D．
【解题思路】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
4. 如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（ ）

A 48° B. 66° C. 72° D. 78°
【答案】C
【详解】
【分析】由折叠及矩形的性质可得，再根据平行线的性质求出，根据周角的定义求解即可．
【详解】∵将一矩形纸片沿AB折叠，
∴，
，
，
，
，
故选：C．
【解题思路】本题考查了矩形的性质，折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
5. 射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A. 平均数是9环 B. 中位数是9环 C. 众数是9环 D. 方差是0.8
【答案】D
【详解】
【分析】分别求出平均数，中位数，众数以及方差即可求解
【详解】解：根据题意得：10次射击成绩从小到大排列为8.4，8.6，8.8，9，9，9，9.2，9.2，9.4，9.4，
A、平均数是环，故本选项正确，不符合题意；
B、中位数是环，故本选项正确，不符合题意；
C、9出现次数最多，则众数是9环，故本选项正确，不符合题意；
D、方差是 ，故本选项错误，符合题意；
故选：D
【解题思路】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数以及方差，解答本题的关键是掌握相关统计量的求法．
6. 如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（ ）

A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【详解】
【分析】连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值，证明△ABC是等边三角形，AF是高线，利用三角函数即可求解．
【详解】解：连接AF，则AF的长就是AM+FM的最小值．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵
∴F是BC的中点，
∴AF⊥BC．
则AF＝AB•sin60°＝2．
即的最小值是．
故选：C
【解题思路】本题考查了菱形的性质，等边三角形以及三角函数，确定AF的长就是的最小值是关键．
7. 根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【详解】
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
【解题思路】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
8. 如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．
【详解】过点C作CM⊥AB于N，，
在等腰中，，
，
①当时，如图，，

，
，
∴，y随x的增大而增大；
②当时，如图，

，
∴当时，y是一个定值为1；
③当时，如图，，

，
,
当x=3，y=1，当3 结合ABCD选项的图象，
故选：B．
【解题思路】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9. 分解因式：________．
【答案】
【详解】
【分析】根据平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：原式= ，
故答案为：．
【解题思路】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题的关键．
10. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】x>3
【详解】
【分析】根据分式有意义条件和二次根式有意义的条件得x-3>0，求解即可．
【详解】解：由题意，得


所以x-3>0，
解得：x>3，
故答案为：x>3．
【解题思路】本题考查分式有意义条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义条件：分母不等于0，二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．
11. 如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则_______．
【答案】5
【详解】
【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，求得外角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，进而求出n的值．
【详解】解：∵正边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，
∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一个外角为2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案为：5．
【解题思路】本题考查了多边形的内角、外角的知识和外角和定理，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．
12. 如图，等腰中，，以A为圆心，以AB为半径作﹔以BC为直径作．则图中阴影部分的面积是______．（结果保留）

【答案】
【详解】
【分析】由图可知：阴影部分的面积＝半圆CAB的面积-△ABC的面积+扇形ABC的面积-△ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出面积即可．
【详解】解：∵等腰中，
∴BC=2
∴S扇形ACB，S半圆CABπ×（1）2，S△ABC=1；
所以阴影部分的面积＝S半圆CAB-S△ABC+S扇形ACB-S△ABC ．
故答案是：．
【解题思路】本题主要考查了扇形和三角形的面积计算方法．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
13. 若，则代数式的值是________．
【答案】15
【详解】
【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：
=
=a(a-2)
=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【解题思路】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
14. 如图，在第一象限内的直线上取点，使，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边，交轴于点；……，依次类推，则点的横坐标为_______．

【答案】
【详解】
【分析】根据一次函数图像上点的坐标特征和等边三角形的性质及等腰三角形的三线合一性质，得出：点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，找出规律即可求解．
【详解】解：过点作轴于点，点作轴交直线于点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，即，
∵是等边三角形，轴，，
∴点的横坐标为，即，
∴，
∵是等边三角形，轴，
∴点的横坐标为，即，
∴，
∵是等边三角形，轴，
∴点的横坐标为，即，
以此类推，点的横坐标为，
∴当时，点的横坐标为．

故答案为：
【解题思路】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质．解题的关键是找出点的横坐标的变化规律．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内，写在其他区域不得分．）
15. 计算：．
【答案】3
【详解】
【分析】先计算乘方和化简二次根式，并把特殊三角函数值代入，再合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式=2+4×-2+1
=2+2-2+1
=3．
【解题思路】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂与零指数幂运算法则，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．
16. 解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．

【答案】x≤1，图见详解
【详解】
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．
【详解】解：解①得：x≤1，
解②得：x<6，
∴x≤1，
解集在数轴上表示为：

【解题思路】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．
17. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．

【答案】见详解
【详解】
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【解题思路】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
18. 荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：）


【答案】约为1.9米
【详解】
【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，
则AC=AB•sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），
BC=AB•cos∠ABC≈8×0.80=6.40（米），
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
则CD=≈8.30（米），
∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），
答：BD的长约为1.9米．
【解题思路】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
19. 某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．
（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元?
（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球?
【答案】（1）每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）100个
【详解】
【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元，根据“用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个”得到方程；即可解得结果；
（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，根据题意得不等式组即可得到结果．
【小问1详解】
设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为1.5x元
根据题意得．
解得x＝80．
经检验x＝80是原分式方程的解．
∴1.5x＝120（元）．
∴篮球的进价为120元，排球的进价为80元
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
【小问2详解】
设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球（300﹣a）个，
根据题意，得120a+80（300﹣a）≤28000．
解得a≤100．
答：该健身器材店最多可以购进篮球100个．
【解题思路】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
（2）12
【详解】
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）利用分解图形求面积法，利用，求面积即可．
【小问1详解】
将A(2，-4)代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．
将B(-4，m)代入，得：，
，
将A，B代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
【小问2详解】
设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．

令，则，
∴点D的坐标为(-2，0)，
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)，
∴点C、点D横坐标相同，
∴CDy轴，
∴




=12．
【解题思路】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数详解式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数详解式是关键．
21. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为_______度；
（3）若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
（4）现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见详解
（2）72 （3）560
（4）
【详解】
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360°乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：

故答案为：40；
【小问2详解】
，
故答案为：72；
【小问3详解】
（人），
故答案为：560；
【小问4详解】
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【解题思路】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．

（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【详解】
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【小问1详解】
连接OD，

，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【解题思路】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE．


（1）直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；
（3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长．
【答案】（1）CE⊥AB，理由见详解
（2）一致，理由见详解
（3）
【详解】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论；
（2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论；
（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解．
【小问1详解】
如图，延长CE交AB于H，


∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°，
∵DE=CD，
∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，
∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°，
∴CE⊥AB；
【小问2详解】
在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：
如图2，延长交于H，


由旋转可得：CD=，=AD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴,
，
∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH，
∴∠DA+∠AGH=90°，
∴∠AHC=90°，
；
【小问3详解】
如图3，过点D作DH于点H，


∵△BED绕点D顺时针旋转30°，
∴，
，
，
∴AD=2DH，AH=DH=，
，
由（2）可知：，
，
∵AD⊥BC，CD=，
∴DG=1，CG=2DG=2，
∴CG=FG=2，
，
∴AG=2GF=4，
∴AD=AG+DG=4+1=5，
∴．
【解题思路】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．
24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，连接AC、BC．

（1）求抛物线的表达式；
（2）将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，直接写出点D的坐标．并求出四边形OADC的面积；
（3）点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【详解】
【分析】（1）直接利用待定系数法求抛物线详解式即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再根据折叠的性质得出点B、C、D三点共线，继而通过证明，利用相似三角形的性质即可得出点D的坐标，根据四边形OADC的面积进行求解即可；
（3）分两种情况讨论：当点P在x轴上方时，当点P在x轴下方时，分别求解即可．
【小问1详解】
将，，代入抛物线，得
，解得，
所以，抛物线表达式为；
【小问2详解】
如图，过点D作DE⊥x轴于E，
，

∵，，，
，
，
直角三角形且，
将沿AC所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
此时，点B、C、D三点共线，BC=DC，，
，
，
，
，
，
∴四边形OADC的面积
；
【小问3详解】

当点P在x轴上方时，
∵，
∴轴，
点P的纵坐标为4，即，
解得或0（舍去）
；
当点P在x轴下方时，设直线CP交x轴于F，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
∴设直线CF详解式为，
即，解得，
∴直线CF的详解式为，
令，解得或0（舍去），
当时，
；
综上，或．
【解题思路】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数详解式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的详解式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．