中考数学一轮知识复习和巩固练习考点12 几何初步及三角形（能力提升） (含详解)

考向12几何初步及三角形—能力提升

【知识梳理】

考点一、直线、射线和线段
1．直线

代数中学习的数轴和一张纸对折后的折痕等都是直线，直线可以向两方无限延伸.(直线的概念是一个描述性的定义，便于理解直线的意义).
    方法指导：

1）．直线的两种表示方法：
　　(1)用表示直线上的任意两点的大写字母来表示这条直线，如直线AB，其中A、B是表示直线上两点的字母；
　　(2)用一个小写字母表示直线，如直线a.
    2)．直线和点的两种位置关系
　　(1)点在直线上(或说直线经过某点)；
　　(2)点在直线外(或说直线不经过某点).
    3).直线的性质：
　 过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线).

2．射线
　　直线上一点和它一旁的部分叫做射线.射线只向一方无限延伸.
    方法指导：

(1)用表示射线的端点和射线上任意一点的大写字母来表示这条射线，如射线OA，其中O是端点，A是射线上一点；
　　(2)用一个小写字母表示射线，如射线a.
    3.线段
　　直线上两点和它们之间的部分叫做线段，两个点叫做线段的端点.

方法指导：
1)．线段的表示方法：
　　(1)用表示两个端点的大写字母表示，如线段AB，A、B是表示端点的字母；
　　(2)用一个小写字母表示，如线段a.
2)．线段的性质：
　　所有连接两点的线中，线段最短(即两点之间，线段最短).
3)．线段的中点：
　　线段上一点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点.
4)．两点的距离：
　　连接两点间的线段的长度，叫做两点的距离.
考点二、角
1．角的概念：
　　(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别叫做角的边.
　　(2)定义二：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角.射线旋转时经过的平面部分是角的内部，射线的端点是角的顶点，射线旋转的初始位置和终止位置分别是角的两条边.
方法指导：

1）．角的表示方法：
　　(1)用三个大写字母来表示，注意将顶点字母写在中间，如∠AOB；
　　(2)用一个大写字母来表示，注意顶点处只有一个角用此法，如∠A；
　　(3)用一个数字或希腊字母来表示，如∠1，∠.
    2）．角的分类：
　　(1)按大小分类：
　 　　锐角----小于直角的角(0°＜＜90°);
　 　　直角----平角的一半或90°的角(=90°);
　 　　钝角----大于直角而小于平角的角(90°＜＜180°);
　　(2)平角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置与起始位置成一条直线时，所成的角叫做平角，平角等于180°.
　　(3)周角：一条射线绕着端点旋转，当终止位置又回到起始位置时，所成的角叫做周角，周角等于360°.
　　(4)互为余角：如果两个角的和是一个直角(90°)，那么这两个角叫做互为余角.
　　(5)互为补角：如果两个角的和是一个平角(180°)，那么这两个角叫做互为补角.
    3）．角的度量：
　　(1)度量单位：度、分、秒；
　　(2)角度单位间的换算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
　　(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.
    4）．角的性质：
　　同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
    2．角的平分线：
　　如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
    考点三、相交线
    1．对顶角
　　(1)定义：如果两个角有一个公共顶点， 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，那么这两个角叫对顶角.
　　(2)性质：对顶角相等.
    2．邻补角
　　(1)定义：有一条公共边，而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
　　(2)性质：邻补角互补.
    3．垂线
    （1）定义：当两条直线相交所得的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，它们的交点叫做垂足.垂直用符号“⊥”来表示.
    方法指导：
　  ①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

(2)点到直线的距离定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.
4．同位角、内错角、同旁内角
　　(1)基本概念：两条直线(如a、b)被第三条直线(如c)所截，构成八个角，简称三线八角，如图所示： ∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是内错角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁内角.
　  (2)特点：同位角、内错角、同旁内角都是由三条直线相交构成的两个角.两个角的一条边在同一直线(截线)上，另一条边分别在两条直线(被截线)上.
 

考点四、平行线

1．平行线定义：
　　在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”来表示，.如直线a与b平行，记作a∥b.在几何证明中，“∥”的左、右两边也可能是射线或线段.
    2．平行公理及推论：
　　(1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
　　(2)平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
    3．性质：
　　(1)平行线永远不相交；
　　(2)两直线平行，同位角相等；
　　(3)两直线平行，内错角相等；
　　(4)两直线平行，同旁内角互补；
　　(5)如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线，可用符号表示为：若b∥c，b⊥a，则c⊥a.
    4．判定方法：
　　(1)定义；
　　(2)平行公理的的推论；
　　(3)同位角相等，两直线平行；
　　(4)内错角相等，两直线平行；
　　(5)同旁内角互补，两直线平行；
　　(6)垂直于同一条直线的两条直线平行.
    考点五、命题、定理、证明
    1．命题：
　　(1)定义：判断一件事情的语句叫命题.
　　(2)命题的结构：题设+结论=命题；
　　(3)命题的表达形式：如果……那么……；若……则……；
　　(4)命题的分类：真命题和假命题；
　　(5)逆命题：原命题的题设是逆命题的结论，原命题的结论是逆命题的题设.
    2．公理、定理：
　　(1)公理：人们在长期实践中总结出来的能作为判断其他命题真假依据的真命题叫做公理.
　　(2)定理：经过推理证实的真命题叫做定理.
    3．证明：
　　用推理的方法证实命题正确性的过程叫做证明.
    考点六、三角形的概念及其性质
    1．三角形的概念
　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
    2．三角形的分类
　　(1)按边分类：
　　　
　　(2)按角分类：
　　　
    3．三角形的内角和外角
　　(1)三角形的内角和等于180°.
　　(2)三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
    4．三角形三边之间的关系
　　三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
    5．三角形内角与对边对应关系
　　在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边.
    6．三角形具有稳定性.

7. 三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
方法指导：

三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.
中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

【能力提升训练】

一、选择题
1．如图所示，下列说法不正确的是(   ).
A．点B到AC的垂线段是线段AB 　　　　

B．点C到AB的垂线段是线段AC
　　C．线段AD是点D到BC的垂线段　　　　

D．线段BD是点B到AD的垂线段　　

2．如图，标有角号的7个角中共有____对内错角，____对同位角，____对同旁内角.(    )　　　　　　　　　
　　A.4、2、4 　　　

B.4、3、4 　　　

C.3、2、4 　　　

D.4、2、3

3．把一张长方形的纸片按下图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，则∠EMF的度数是(   ).　　　　　　　　　
　　A.85° 　　　

B.90° 　　　

C.95° 　　　

D.100°

4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点， 且S△ABC=4cm2，则阴影面积等于(   ).　　　　　　
　　A.2cm2　　　

B.1cm2　　　

C.cm2 　　　

D.cm2 　

5．钟表4点30分时，时针与分针所成的角的度数为（　　）

A．45°     B．30°     C．60°   D．75°

6. △ABC中，AB=AC=，BC=6，则腰长的取值范围是（   ）.
　　A. 　　

B.   

C. 　　　

D.　　　

二、填空题

7．如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且∠A=110°，则∠D=________．
　   
   

8.如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是　    　．

9．已知a、b、c是△ABC的三边，化简|a+b―c|+|b―a―c|―|c+b―a|=____________.

10．已知在△ABC中，∠ABC和∠ACB三等分线分别交于点D、E，若∠A=n°，则∠BDC=___,

∠BEC=___.
 

11．在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为_____三角形；若∠A+∠B ＜∠C，则此三角形是_____三角形.

12．如图所示，∠ABC与∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点　D，∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=______，∠D=______，∠E=_______.

三、解答题

13．如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．

（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；

（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．

14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.
　　（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD +∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
　　  　　
　　（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
　
 

15．已知：如图，D、E是△ABC内的两点.求证：AB+AC＞BD+DE+EC.
　　　　

16.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
　　　　　
　

答案与解析

一、选择题

1.【答案】C.

【解析】重点考查垂线段的定义.

2.【答案】A.

3.【答案】B.

【解析】因为折叠，所以∠1=∠2，∠3=∠4，又因为∠1=∠2+∠3+∠4=180°，所以∠EMF=∠2+∠3

=90°.

4.【答案】B.

【解析】∵D，E分别为边BC，AD的中点，

∴S△ABD= S△ADC =2cm2 ,S△ABE= S△AEC =1cm2   

∴S△BEC=2cm2

 又因为F分别为边CE 的中点，

所以S△BEF= S△BCF =1cm2.

5.【答案】C.

【解析】∵4点30分时，时针指向4与5之间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，

∴4点30分时分针与时针的夹角是2×30°﹣15°=45度．故选A．

6.【答案】B.

【解析】∵2x>6,∴x>3.

二、填空题

7．【答案】35°.

8．【答案】x=180°+z﹣y.

【解析】∵CD∥EF，∴∠CEF=180°﹣y，

∵AB∥EF，∴∠x=∠AEF=∠z+∠CEF，

即x=180°+z﹣y．

故答案为：x=180°+z﹣y．

9．【答案】3a―b―c.

【解析】∵a、b、c是△ABC的三边,
　　　　　　∴a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a。
　　　　　　即a+b－c＞0，b―a―c＜0，c+b－a＞0,
　　　　　　∴原式=a+b―c+(a+c―b)―(c+b―a)

　　　　　　　　=a+b―c+a+c―b+a―c―b

　　　　　　　　=3a―b―c.

10．【答案】60°+n°; 120°+n°.

【解析】∠BDC=180°―（∠DBC+∠DCB）

=180°―（∠ABC+∠ACB）

=180°―（180°―∠A）

=60°+n°

同理∠BEC=120°+n°.

11．【答案】直角三角形；钝角三角形.

12．【答案】120°；30°，60°.

【解析】因为△ABC内角和=180°，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∠A=60°

∴∠OBC+∠OCB=(180°-60°)÷2=60°，

∴∠BOC=120°,

又因CD为∠ACB外角平分线，

所以∠OCD= (∠ACB+∠ACF)= 90°,

∠BOC=∠OCD+∠D，所以∠D=30°,

∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,

所以∠OBE=∠OCE=90°，在四边形OBEC中，∠E+∠OBE+∠OCE+∠BOC=360°,

∠E=60°.

三、解答题

13.【答案与解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∠D=20°，

∴∠CAD=70°，

∵AD∥BC，

∴∠C=∠CAD=70°，

∵∠BAC=70°，

∴∠B=40°，AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，

∴BD⊥AC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴DB是∠ABC的平分线．

14.【答案与解析】

（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.
　　 

延长BP交CD于点E,
　　 ∵AB∥CD. ∴∠B=∠BED.
　　 又∠BPD=∠BED+∠D，
　　 ∴∠BPD=∠B+∠D.

（2）结论： ∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.

（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.
　　 又∵∠AGB=∠CGF,
　　∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°,
　　∴∠A+∠B+∠C+∠D∠E+∠F=360°.

15.【答案与解析】

延长DE分别交AB、AC于F、G.

∵FB+FD>BD，AF+AG>FG，EG+GC>EC，

∴FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC.

即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC,

∴AB+AC>BD+DE+EC

即BD+DE+EC<AB+AC .

16.【答案与解析】

如下图，连接AC，

则有∠DFA=∠FAC+∠FCA=∠D+∠E，
　　 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠B+∠C+∠FAC+∠FCA

=∠BAC+∠B+∠BCA

=180°.