2023届高考数学二轮复习专题六立体几何第二讲点，直线，平面之间的位置关系学案

专题六 立体几何

第二讲  点，直线，平面之间的位置关系

（一）考点解读

（二）核心知识整合

考点1：线面平行与垂直的判定与性质

 [典型例题]

1.如图，在正方体中，点M在线段(不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是(   )

①平面；

②异面直线与所成角的取值范围是；

③平面恒成立；

④三棱锥的体积不是定值.

A.①③ B.①② C.①②③ D.②④

[答案]：B

[解析]　在正方体中，连接，如图，

因对角面是矩形，则，而平面，平面，于是得平面，同理，平面，

而，平面，因此，平面平面，又平面，故有平面，①正确；

因，即异面直线与所成角即为与所成角，而是正三角形，

点M在线段(不包含端点)上运动时，与所成角范围为，②正确；

当M为的中点时，直线过点C，，即此时AC与不垂直，平面不恒成立，③错误；

因为平面，则，即三棱锥的体积是定值，④错误.

故选：B.

2.如图，在圆柱中，正三棱柱的所有顶点分别在圆柱的上、下底面的圆周上，F为上一点，，E为BC的中点，则下列关系正确的是(   )

①平面；②平面；③平面；④平面.

A.①② B.①③ C.②③ D.③④

[答案]：B

[解析] 对于①，为的重心，，，又，，又平面，平面，平面，①正确；

对于②，由①知：，又，与相交，又平面，与平面相交，②错误；

对于③，为等边三角形，为中点，，由①知，，平面，平面，；又，平面，平面，③正确；

对于④，由①知：，又为等边三角形，，异面直线与AB所成角为，即与AB不垂直，

平面不成立，④错误.

故选：B.

『规律总结』

1.判断与空间位置关系有关的命题真假的两大方法

(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．

(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定，进行肯定或否定．

2.立体几何中证明平行关系的常用方法

(1)证明线线平行的常用方法

①利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行．

②利用平行四边形进行转换．

③利用三角形中位线定理证明．

④利用线面平行、面面平行的性质定理证明．

(2)证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行．

②     利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行．

3.立体几何中证明垂直关系的常用方法

(1)证明线线垂直的常用方法

①利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直．

②利用勾股定理逆定理．

③利用线面垂直的性质， 即要证明线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可．

(2)证明线面垂直的常用方法

①利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．

②利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．

③     利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．

 [跟踪训练]

1.如图，已知正方体，分别是，的中点，则(   )

A.直线与直线垂直，直线平面
B.直线与直线平行，直线平面
C.直线与直线相交，直线平面
D.直线与直线异面，直线平面

[答案]：A

[解析]　 本题考查空间的线线关系与线面关系.易知平面，故，排除B，C项；连接，可知，所以平面ABCD，A项正确；因为AB不垂直于平面，，所以直线MN不垂直于平面，D项错误.

故选A.

2.在正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是（   ）

A．平面  B．平面

C．平面平面 D．平面平面

[答案]：C

[解析] ∵在正四面体中，分别是的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，故正确；

∵，是中点，

∴，，∵，∴平面，

∵，∴平面，故正确；

∵平面，平面，∴平面平面，

∵平面平面 ，且与平面不垂直，∴平面与平面不垂直，故错误；∵平面，且平面，

∴平面平面，故D正确,故选C．

考点2：面面平行与垂直的判定与性质

 [典型例题]

1.设为两个平面,则的充要条件是(   )

A.内有无数条直线与平行

B.内有两条相交直线与平行

C.平行于同一条直线

D.垂直于同一平面

[答案]：B

[解析]　 对于A,内有无数条直线与平行,当这无数条直线互相平行时,与可能相交,所以A不正确;对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确;对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确.综上可知选B.

2.如图,设分别是长方体的棱的中点,则平面与平面的位置关系是(   )

A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不确定

[答案]：A

[解析] 和分别是和的中点，.
又平面平面平面.
又和E分别是和AB的中点，，且，
四边形是平行四边形，.又平面，
平面平面平面，
平面平面平面.

故A正确.

『规律总结』

1.证明面面平行的方法

证明面面平行，依据判定定，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行．

2.证明面面垂直的方法

证明面面垂直常用面面垂直的判定定，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．

[跟踪训练]

1.如图, 是O的直径, 垂直O所在的平面, 是圆周上不同于,的任意一点, ,分别为, 的中点,则下列结论正确的是 (     )

A.
B. 与所成的角为
C. 平面
D.平面平面

[答案]：D

[解析]  依题意, ,又直线与相交,因此, 与不平行;注意到,因此与所成的角是; 注意到直线与不垂直,因此与平面不垂直;由于,,因此平面.又平面,所以平面平面.综上所述,故选D.

2.如图,在三棱锥中，，平面平面.① ;② ;③平面平面;④平面平面.以上结论中正确的个数有(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

[答案]：C

[解析] ∵平面平面,平面平面，∴平面.

又平面，∴ ，故①正确.

∵平面，∴平面平面，故③正确.

∵.

∴平面.又平面，

∴平面平面，故④正确.综上，①③④正确，选C.

考点3：平行和垂直关系综合应用

1.三种平行关系的转化

2.三种垂直关系的转化

 [典型例题]

1.已知正方形ABCD与正方形ABEF所在平面互相垂直，P,Q分别是AC, FB上的动点，R是AB中点，则下列结论正确的是(   )
 

A.若P,Q分别是AC,FB的中点，则PQ与EC是异面直线

B.若P,Q分别是AC,FB的中点，则平面ECA

C.若P,Q分别是AC,FB的中点，则平面平面ABCD

D.

[答案]：C

[解析]　

2.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的个数为(   )

①平面PQR截正方体表面得五边形；
②平面PQR；
③MN与PQ所成的角为90°；
④平面PQR.

A.1 B.2 C.3 D.4

[答案]：B

[解析] 根据题意可得平面PQR截正方体各棱的中点，得截面为正六边形PFQGRE，如图所示，所以①错误；由图可得平面平面PQR，所以平面PQR，所以②正确，④错误；由题易得，所以MN与PQ所成的角为90°，所以③正确，故选B.
 

『规律总结』

1．求解平面图形折叠问题的关键和方法

(1)关键：分清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．

(2)方法：把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥，四棱锥等几何体，从而把问题转化到我们熟悉的几何中解决．

2.探索性问题求解的途径和方法

(1)对命题条件探索的三种途径：

①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明；

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性；

③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．

(2)对命题结论的探索方法：

从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论．

[跟踪训练]

1. .如图,在四棱柱中,四边形为平行四边形,E,F分别在线段DB,上,且.若G在线段上,且平面平面,则(   )

A. B. C. D.

[答案]：B

[解析]  四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且,平面平面在上且平面平面.又.故选B.

2.如图，在三棱柱中，M,N分别为棱的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F，则(   )
 

A.  B.四边形MNEF为梯形

C.四边形MNEF为平行四边形 D.

[答案]：B

[解析] ∵在平行四边形中，，.又平面ABC,平面ABC，平面ABC.又平面MNEF，平面平面，.显然在中，，四边形MNEF为梯形.故选B.