新高考数学一轮复习讲义12.2《几何概型》(2份打包，解析版+原卷版)

§12.2　几何概型

1．几何概型的定义

事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的                       成正比，而与A的      和      无关，满足以上条件的试验称为几何概型．

2．几何概型的概率公式

P(A)＝，其中    表示区域Ω的几何度量，    表示子区域A的几何度量．

3．随机模拟方法

(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．

(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝作为所求概率的近似值．

概念方法微思考

1．古典概型与几何概型有什么区别？

2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(　 　)

(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　 　)

(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　 　)

(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　 　)

(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　 　)

(6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝.(　 　)

题组二　教材改编

2．在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　)

A.  B.  C.  D．1

3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

4．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

题组三　易错自纠

5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

6．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为______．

题型一　与长度、角度有关的几何概型

例1 在等腰Rt△ABC中，直角顶点为C.

(1)在斜边AB上任取一点M，求|AM|<|AC|的概率；

(2)在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求|AM|<|AC|的概率．

跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．

(2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

题型二　与面积有关的几何概型

命题点1　与面积有关的几何概型的计算

例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．

命题点2　随机模拟

例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为(　　)

A．7.68  B．8.68  C．16.32  D．17.32

(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：

7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．

跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)

A.  B.  C.  D.

(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

题型三　与体积有关的几何概型

例4 已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O－ABCD的体积不小于的概率为________．

跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)

A.  B.π  C.  D.

1．(2018·抚顺模拟)已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－3,3]，在定义域内任取一点x0，使f(x0)≤0的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

2．在区间[－1,3]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为(　　)

A．0  B．1  C．2  D．3

3．若正方形ABCD的边长为4，E为四边上任意一点，则AE的长度大于5的概率等于(　　)

A.  B.  C.  D.

4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是(　　)

A．2－   B．4－

C．－－   D.

5．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，正弦曲线f(x)＝sin x和余弦曲线g(x)＝cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

6.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为(　　)

A．866  B．500  C．300  D．134

7．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．

8．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角边BC上任取一点M，则∠CAM<30°的概率是________．

9.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为______．

10.正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入到正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是______．

11．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．

(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；

(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．

12．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．

13．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为________；

14．向圆C：(x－2)2＋(y－)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x轴下方的概率为________．

15．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　)

A．p1<p2<p3   B．p2<p3<p1

C．p3<p1<p2   D．p3<p2<p1

16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．