沪科版数学八年级下册 第19章 小结与复习 课件

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小结与复习第19章 四边形一、多边形的内角和与外角和多边形的内角和等于 (n - 2)×180°多边形的外角和等于 360°正多边形每个内角的度数是正多边形每个外角的度数是几 何 语 言文字叙述对边平行对边相等对角相等∴ AD = BC，AB = DC.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 二、平行四边形的性质对角线互相平分∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD.∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC.两条平行线之间的距离处处相等几 何 语 言文字叙述两组对边相等一组对边平行且相等 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD = BC，AB = DC，∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AB = DC，AB∥DC，三、平行四边形的判定对角线互相平分∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OA = OC，OB = OD，两组对边分别平行（定义） ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD∥BC，AB∥DC，1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.四、三角形的中位线用符号语言表示：∵ DE 是△ABC 的中位线，∴ DE∥BC，平行且相等平行且四边相等平行且四边相等四个角都是直角对角相等邻角互补四个角都是直角互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角五、矩形、菱形、正方形的性质①定义：有一个角是直角的平行四边形.②定理1：对角线相等的平行四边形.③定理2：三个角是直角的四边形.①定义：一组邻边相等的平行四边形.②定理1：四条边都相等的四边形.③定理2：对角线互相垂直的平行四边形.①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形.②有一组邻边相等的矩形.③有一个角是直角的菱形.六、矩形、菱形、正方形的判定方法解： 设此多边形的每个外角的度数为 x，则每个相邻内角的度数为 4x. 则有 x + 4x = 180°，解得 x = 36°.∴ 这个多边形的边数为 360°÷36° = 10.1. 一个正多边形的每一个内角都等于 120°，则其边数是 .6【解析】因为该多边形的每一个内角都等于 120°，所以它的每一个外角都等于 60°. 所以边数是 6. 在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求边数的问题中，常常利用定理列方程求解.例2 如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中不一定成立的是（　　） A．∠1 =∠2 B．∠BAD =∠BCD C．AB = CD D．AC = BC 【解析】由四边形 ABCD 是平行四边形，可得出 A、B、C 项正确，不能推得 AC = BC.D 本题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，对角相等的性质. 2. 如图，▱ABCD 中，AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，分别交 BC、AD 于 E、F．求证：AF = CE.证明：在 ▱ABCD 中，∠B =∠D，AD = BC，AB = CD，∠BAD =∠BCD.∵ AE 平分∠BAD，CF 平分∠BCD，∴∠EAB = ∠BAD，∠FCD = ∠BCD，∴∠EAB = ∠FCD.在△ABE 和△CDF 中，∴ BE = DF． ∴△ABE≌△CDF.又 AD = BC，∴ AF = CE．例3 如图，在▱ABCD 中，∠ODA = 90°，AC = 10 cm，BD = 6 cm，则 AD 的长为（　　）A．4 cm B．5 cmC．6 cm D．8 cm 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AC = 10 cm，BD = 6 cm，∴ OA = OC = AC = 5 cm，OB = OD = BD = 3 cm，∵∠ODA = 90°，∴ AD = = 4 cm．A 主要考查了平行四边形的对角线互相平分的性质，解题时还要注意勾股定理的应用.【解析】在 ▱ABCD 中，∵ AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，∴ AO = 12 cm，BO = 19 cm，BC = AD = 28 cm.∴ △BOC 的周长是 12 + 19 + 28 = 59 (cm).3. 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于点 O，AC = 24 cm，BD = 38 cm，AD = 28 cm，则△BOC 的周长是（ 　）A. 45 cm B. 59 cm C. 62 cm D. 90 cm B例4 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形（　　）A．OA = OC，OB = OD B．∠BAD =∠BCD，AB∥CD C．AD∥BC，AD = BC D．AB = CD，AO = CO D 平行四边形的判定方法：①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4. 如图，点 D、C 在 BF 上，AC∥DE，∠A =∠E，BD = CF.（1）求证：AB = EF；证明：∵ AC∥DE，∴∠ACB =∠EDF.∵ BD = CF，∴ BD + DC = CF + DC，即 BC = DF.又∵∠A =∠E，∴△ABC≌△EFD（AAS）.∴ AB = EF.（2）连接 AF，BE，猜想四边形 ABEF 的形状，并说明理由．解：四边形 ABEF 为平行四边形.理由如下：由（1）知△ABC≌△EFD，∴∠ABF =∠EFB. ∴ AB∥EF.又∵ AB = EF，∴四边形 ABEF 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.例5 如图，AD 是△ABC 的中线，E 是 AD 的中点，F 是 BE 的延长线与 AC 的交点. 求证： . 证明：过点 D 作 DH∥BF，交 AC 于点 H. ∵ AD 是 △ABC 的中线，∴ D 是 BC 的中点. ∴ CH = HF = CF. ∵ E 是 AD 的中点，EF∥DH， ∴ AF = FH. ∴ AF = FC.ABCDEFH5. 若三角形的三条中位线之比为 6 : 5 : 4 ，三角形的周长为 60 cm，那么该三角形中最长边的边长为＿＿＿.解析：设三条中位线的长分别为 6x cm，5x cm，4x cm，则三角形的三条边长分别为 12x cm，10x cm，8x cm，依题意有 12x＋10x＋8x = 60，解得 x = 2.所以最长边长为 12x = 24 (cm).24 cm例6 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求矩形对角线的长.解：∵ 四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD (矩形的对角线相等)， OA = OC = AC，OB = OD = BD (矩形对角线相互平分). ∴ OA = OD.∵∠AOD = 120°，∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°.又∵∠DAB = 90° (矩形的四个角都是直角)，∴ BD = 2AB = 2×2.5 = 5.6. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， △ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD.又∵△ABO 是等边三角形，∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°.∴ AC = BD = 2OA = 2×4 = 8.∴□ABCD是矩形 (对角线相等的平行四边形是矩形).∴∠ABC = 90° (矩形的四个角都是直角). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得AB2 + BC2 = AC2，∴ BC = .∴ S□ABCD = AB·BC = 4× = .7. 如图，O 是菱形 ABCD 对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE，CE 交于点 E，四边形 CEBO 是矩形吗？说出你的理由.解：四边形 CEBO 是矩形. 理由如下： ∵ BE∥AC，CE∥BD， ∴ 四边形 CEBO 是平行四边形. 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴∠BOC = 90°. ∴ 四边形 CEBO 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).例7 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD = 60°，BD = 6，求 AB 和 AC 的长.解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD (菱形的边长相等)，AC⊥BD，OB = OD = BD = ×6 = 3 (菱形的对角线互相垂直平分). 又∵∠BAD = 60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴ AB = BD = 6，证明：在 △AOB 中， ∵ AB = ，OA = 2，OB = 1. ∴ AB2 = AO2 + OB2. ∴ △AOB 是直角三角形，∠AOB 是直角. ∴ AC⊥BD. ∴ □ABCD 是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).8. 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AB = ，OA = 2，OB = 1. 求证： □ABCD 是菱形.9. 如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形 ABCD 是什么形状？说说你的理由.ABCDEF解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平行四边形.则 S□ABCD = AD · CF = AB ·CE.由题意知 CF = CE，∴ AD = AB. ∴ 四边形 ABCD 是菱形.例8 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ BC = DC，∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF = 180° -∠BCE = 180° - 90° = 90°.∴∠BCE =∠DCF.又∵ CE = CF，∴△BCE≌△DCF (SAS).∴ BE = DF，∠CBE =∠CDF.延长 BE 交 DE 于点 M.∵∠CDF +∠F = 90°，∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，即 BE⊥DF.综上可知，BE = DF，且 BE⊥DF.M10. 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形 BECF 是正方形.解析：先由两组平行线得出四边形 BECF 是平行四边形；再由邻边相等，得出平行四边形 BECF 是菱形；最后由一个角是直角可得菱形 BECF 是正方形.证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠DCB = 90°. ∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠ DCB， ∴∠EBC =∠ECB = 45°. ∴ EB = EC. ∴ □ BECF 是菱形. 又∠BEC = 90°， ∴ 菱形 BECF 是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形).45°45°多边形的内角和与外角和内角和计算公式(n - 2)×180° (n≥3 且取整数) 外角和多边形的外角和等于 360°特别注意：与边数无关正多边形平 行 四 边 形性质①对边平行且相等②对角相等，邻角互补③对角线互相平分判定①两组对边分别平行的②两组对边分别相等的③一组对边平行且相等的④对角线互相平分的四 边 形三角形的中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.特殊四边形之间的转化有一个角是90°（或对角线相等）有一对邻边相等（或对角线互相垂直）平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直且相等）有一个角是90°（或对角线相等）有一对邻边相等（或对角线互相垂直）