(新高考)高考数学一轮基础复习讲义2.6对数函数(2份打包，教师版+原卷版)

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　 　)

(2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　 　)

(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　 　)

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　 　)

(5)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　 　)

(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限．(　 　)

无

题型一　对数的运算

例1　(1)已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.

(2)计算：＝________.

　(1)计算：log2＝________，＝________.

(2)2(lg)2＋lg ·lg 5＋＝________.

题型二　对数函数的图象及应用

例2　(1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a>1，c>1   B．a>1,0<c<1

C．0<a<1，c>1   D．0<a<1,0<c<1

(2)当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围是(　　)

A．(0，)   B．(，1)

C．(1，)   D．(，2)

　(1)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

(2)已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)

A．(1,10)   B．(5,6)

C．(10,12)   D．(20,24)

题型三　对数函数的性质及应用

命题点1　比较对数值的大小

例3　已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＜b＜c   B．a＜c＜b

C．c＜a＜b   D．c＜b＜a

答案　C

命题点2　解对数不等式

例4　(1)若loga<1，则a的取值范围是________．

(2)已知函数f(x)＝则不等式f(x)>1的解集为________．

命题点3　和对数函数有关的复合函数

例5　已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

　(1)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)

A．[－1,2]   B．[0,2]

C．[1，＋∞)   D．[0，＋∞)

(2)已知f(x)＝ln(x＋－a)，若对任意的m∈R，均存在x0>0使得f(x0)＝m，则实数a的取值范围是__________．

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

①N＝N；②logaaN＝N(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．

3．对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．

【知识拓展】

1．换底公式的两个重要结论

(1)logab＝；

(2)logambn＝logab.

其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.

2．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

典例　(1)若a>b>0,0<c<1，则(　　)

A．logac<logbc   B．logca<logcb

C．ac<bc   D．ca>cb

(2)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos 100，则(　　)

A．b>c>a   B．b>a>c

C．a>b>c   D．c>a>b

(3)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中不可能成立的是(　　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．c<b<a   D．a<c<b

1．设函数f(x)＝|ln x|(e为自然对数的底数)，满足f(a)＝f(b)(a≠b)，则(　　)

A．ab＝ee   B．ab＝e

C．ab＝   D．ab＝1

2．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是(　　)

3．已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a>b>c   B．b>a>c

C．a>c>b   D．c>a>b

4．函数y＝的定义域为________．

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．(－1，＋∞)   B．[－1，＋∞)

C．(－1,1)∪(1，＋∞)   D．[－1,1)∪(1，＋∞)

2．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)

A．b<a<c   B．c<a<b

C．c<b<a   D．a<c<b

3．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)

4．已知函数f(x)＝则f(2 018)等于(　　)

A．2 019   B．2 018

C．2 017   D．2 016

5．若直线x＝m(m>1)与函数f(x)＝logax，g(x)＝logbx的图象及x轴分别交于A，B，C三点．若AB＝2BC，则(　　)

A．b＝a2或a＝b2   B．a＝b－1或a＝b3

C．a＝b－1或b＝a3   D．a＝b3

6．若函数f(x)＝loga(x2＋x)(a>0，且a≠1)在区间(， ＋∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)   B．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)   D．(，＋∞)

7．lg＋2lg 2－－1＝________.

8．函数f(x)＝log2·(2x)的最小值为________．

9．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是________．

 *10.已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________；若f(x)≥2，则实数x的取值范围是________．

 *11.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．

12．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．

13．已知函数f(x)＝－log2.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断并证明f(x)的奇偶性；

(3)求证：f(x)在(0,1)内是减函数，并求使关系式f(x)<f()成立的实数x的取值范围．