2022-2023学年陕西省西安市经开第一学校九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年陕西省西安市经开第一学校九年级（上）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列是二次函数的是
A．B．C．D．
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是
A．B．C．D．
3．（3分）已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式不正确的是
A．B．C．D．
4．（3分）已知，那么
A．B．C．D．
5．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
6．（3分）已知如图，在中，，，，则
A．B．4C．9D．
7．（3分）已知关于的方程的两实数根互为相反数，则的值等于
A．B．1C．1或D．0
8．（3分）二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③，是图象上两点，则；④；⑤若且，则．其中正确结论有
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①③④⑤
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）将二次函数化成顶点式为 ．
10．（3分）在不透明的袋子里装有颜色不同的16个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6左右，估计袋中白球有 ．
11．（3分）如图，某一时刻太阳光下，一棵大树的影子有一部分落在了墙上，已知同一时刻小明测得1米高的测竿影长0.4米，大树落在地上的影长1.2米，墙上的影长0.4米，则大树的高度为 米．
12．（3分）反比例函数与正比例函数交于、两点，过点作轴于点．连接，若的面积为3，则的值为 ．
13．（3分）某中学准备在学校里利用22米长的篱笆围成一个矩形花园，为充分利用材料，花园一面靠墙，要使得花园面积为，设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ．
14．（3分）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点．若，，，则的长为 ．
三、解答题
15．计算
（1）；
（2）．
16．解方程
（1）；
（2）．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是
，，
（1）在轴左侧画，使其与关于点位似，点、、分别与、、对应，且位似比为；
（2）的面积是 ．
18．如图，在矩形中，作对角线的垂直平分线，交于点，交于点，连接、
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的边长，，求菱形的边长．
19．如图，小明所在的数学小组打算测量学校旁边一栋住宅楼的高度．由于住宅楼底部无法到达，小明在处测得住宅楼顶端的仰角为，后退适当距离后，在处测得顶端的仰角为，两次测量地点的距离米，已知测量器高度米，点、、在同一直线上，求住宅楼的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：
20．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
21．已知直线与反比例函数相交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出满足的的取值范围．
22．已知有一块三角形材料，其中，高，现需要在三角形上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形的顶点、分别在边，上，、在上，裁下的正方形的边长是多少？
23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，顶点的坐标为．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求、两点的坐标．
（3）过线段上一点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得线段有最大值？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
24．如图1所示，正方形的边长为2，点、分别为边、的中点，如图2所示，将绕点逆时针旋转，射线、交于点．
（1）求证；
（2）当为等腰三角形时，求旋转角度．
（3）当射线恰好通过的中点，求的长．
2022-2023学年陕西省西安市经开第一学校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列是二次函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数可得答案．
【解答】解：、是二次函数，故此选项符合题意；
、是一次函数，故此选项不符合题意；
、不是二次函数，故此选项不符合题意；
、是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．（3分）如图所示的几何体，其俯视图是
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
【解答】解：从上面看该几何体，得到一行两个相邻的矩形，且左边的矩形较大，
故选：．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
3．（3分）已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式不正确的是
A．B．C．D．
【分析】先由黄金分割点的定义得，，再求出，即可得出结论．
【解答】解：点是线段的黄金分割点，，
，，
，
故选项、、不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，熟练掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．
4．（3分）已知，那么
A．B．C．D．
【分析】将原式变形为，然后代入求解即可．
【解答】解：，
，
原式，
故选：．
【点评】本题考查了分式的运算；根据分式的运算法则正确拆分是解题的关键．
5．（3分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A．B．且C．D．且
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
6．（3分）已知如图，在中，，，，则
A．B．4C．9D．
【分析】在中，由，得到，，证，然后由得，根据相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：在中，，
，，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质及应用；灵活运用相似三角形对应边成比例建立关系并正确求解是解题的关键．
7．（3分）已知关于的方程的两实数根互为相反数，则的值等于
A．B．1C．1或D．0
【分析】根据相反数和根与系数的关系得出，求出或，再代入方程，解方程或关键根的判别式判断即可．
【解答】解：设方程的两个是，，
关于的方程的两实数根互为相反数，
，
解得：，
当时，方程为，
△，
此方程无解（方法二、即，
不论为何值，不能为，
此方程无解）即舍去；
当时，方程为，
解得：，此时符合题意，
即符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式和解一元二次方程，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
8．（3分）二次函数的图象如图所示．下列结论：
①；②；③，是图象上两点，则；④；⑤若且，则．其中正确结论有
A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①③④⑤
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，与轴的交点位置，进行判断即可；②根据抛物线与轴的交点个数，进行判断；③根据抛物线的对称性和增减性进行判断即可；④结合对称轴和抛物线上的点进行判断；⑤根据抛物线的对称性，进行判断．
【解答】解：抛物线的开口向下：，
对称轴为：，，
与轴的交点位置在轴的正半轴上：，
，故①正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故②错误；
由图象可知：时，随的增大而减小，
由抛物线的对称性可知：与的函数值相同，
，
，故③正确；
，
，
和的函数值相同，
由图象可知：当时：，
，故④正确；
若且，
则：，
，关于对称轴对称，
；故⑤正确；
综上，正确的是：①③④⑤；
故选：．
【点评】本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）将二次函数化成顶点式为 ．
【分析】利用配方法求解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法，利用完全平方公式进行配方；熟记完全平方公式是解题的关键．
10．（3分）在不透明的袋子里装有颜色不同的16个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6左右，估计袋中白球有 24个 ．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：设袋中白球有个，根据题意得：，
解得，经检验是原方程的根，
故有24个白球．
故答案为：24个．
【点评】本题考查了利用概率的求法估计总体个数，掌握事件的概率（A）是解题关键．
11．（3分）如图，某一时刻太阳光下，一棵大树的影子有一部分落在了墙上，已知同一时刻小明测得1米高的测竿影长0.4米，大树落在地上的影长1.2米，墙上的影长0.4米，则大树的高度为 3.4 米．
【分析】依题意，如图：表示出相应线段的值，利用的性质，求出，再求出大树高度即可．
【解答】解：依题意，如图：
米，米，米，米，
，
，
，
解得，
大树高为：（米．
故答案为：3.4．
【点评】本题考查了用相似三角形的性质解决实际问题；根据题意找准数据，运用相似的性质正确建立方程并求解是解题的关键．
12．（3分）反比例函数与正比例函数交于、两点，过点作轴于点．连接，若的面积为3，则的值为 ．
【分析】结合题意可知、两点关于原点对称，所以是中点，求出，根据题意，求解即可．
【解答】解：因为反比例函数与正比例函数交于、两点，
所以、两点关于原点对称，
所以是中点，
，
，
过点作轴于点，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了根据图形面积求反比例函数的比例系数，会运用正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，以及图形面积和比例系数的关系是解题的关键．
13．（3分）某中学准备在学校里利用22米长的篱笆围成一个矩形花园，为充分利用材料，花园一面靠墙，要使得花园面积为，设垂直于墙的边长为，则可列方程为 ．
【分析】根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：设垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，
根据题意，得，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
14．（3分）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点．若，，，则的长为 ．
【分析】解法一：过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点．，由勾股定理可得，，由等面积法可得，，由勾股定理可得，，由题可得，，△，则，，设，则，，则，解得．最后由勾股定理可得，．
解法二：连接，结合旋转的性质求得△△，利用定理求得△△，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：法一、如图，过点作于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点．
由旋转可知，，，
，
，，
，
，
，
，则，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
又，
，
，
△，
，
，，
，，
，解得．
，，
．
故答案为：．
法二、如图，连接，
由旋转可知，，，，
，
，，
，
又，，
，即点，，在同一条直线上，
，
又，，
△，
，即，
设，，
，
．
故答案为：．
法三、构造相似，如图，延长到点，使，连接，
，
由旋转可知，，
，
，
，
又，
，
△，
，
设，
，
，
，
解得，
．
故答案为：．
解法四：如图，过点作，交于点，
，
，
由，
由三角形内角和可知，，
，
，
由，，，
，
△，
，
由旋转可知，，
，
，
又由，
△，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．
三、解答题
15．计算
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据殊角的三角函数值、负指数幂、化简二次根式和绝对值的运算法则计算后，再进行实数的加减即可得解；
（2）根据殊角的三角函数值、零指数幂、化简二次根式的运算法则计算后，再进行实数的加减即可得解．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是关键．
16．解方程
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1），
，，，
△，
，
，；
（2），
，
，
，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是
，，
（1）在轴左侧画，使其与关于点位似，点、、分别与、、对应，且位似比为；
（2）的面积是 1 ．
【分析】（1）依据位似图形的性质解答即可；
（2）根据三角形面积公式解答即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）的面积，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了利用位似变换作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
18．如图，在矩形中，作对角线的垂直平分线，交于点，交于点，连接、
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若矩形的边长，，求菱形的边长．
【分析】（1）根据矩形性质证，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直证菱形即可；
（2）利用菱形性质在中，根据勾股定理，求出菱形边长．
【解答】（1）证明：矩形，
，，
，
，
，
，
所以四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）由（1）可知，
在中，
，
，
，，，
解得，
所以菱形的边长为5．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
19．如图，小明所在的数学小组打算测量学校旁边一栋住宅楼的高度．由于住宅楼底部无法到达，小明在处测得住宅楼顶端的仰角为，后退适当距离后，在处测得顶端的仰角为，两次测量地点的距离米，已知测量器高度米，点、、在同一直线上，求住宅楼的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：
【分析】如图延长交于，在△中用表示，求出，在△中用表示，建立方程求解即可．
【解答】解：如图延长交于，
则，
由题意可知：，，，
在△中：，
，
，
在△中：，
，
，
，
解得：米．
【点评】本题考查了三角函数解直角三角形的实际应用；灵活运用三角函数表示相应线段并正确求解是解题的关键．
20．为了参加全市中学生“党史知识竞赛”，某校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是 ；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【分析】（1）由一共有3种等可能性的结果，其中恰好选中乙同学的有1种，即可求得答案；
（2）先求出全部情况的总数，再求出符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：（1）已确定甲参加比赛，再从其余3名同学中随机选取1名有3种结果，其中恰好选中乙的只有1种，
恰好选中乙的概率为：．
故答案为：．
（2）画树状图如下图：
共有12种等可能的结果数，其中恰好有1名女生和1名男生的结果数为8，
女1男）．
所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概型的求解方法，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21．已知直线与反比例函数相交于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出满足的的取值范围．
【分析】（1）将代入一次函数求出的值，从而求出坐标，再代入反比例函数即可求出；
（2）如图，由函数解析式求出、坐标，然后通过并根据点的坐标求三角形面积即可；
（3）当时，一次函数图像位于反比例函数图像下方，结合图象得出结果．
【解答】解：（1）在上，
，
，，在上，
；
（2）由（1）可知：，
解得或，
当时，与轴交点，
（3）当时，一次函数图象位于反比例函数图像下方，
有图像可知：或．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的综合、以及函数与不等式；用代入法正确求点的坐标和解析式是解题的关键．
22．已知有一块三角形材料，其中，高，现需要在三角形上裁下一个正方形材料做零件，使得正方形的顶点、分别在边，上，、在上，裁下的正方形的边长是多少？
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出边长．
【解答】解：正方形的边在上，
，
，
是的高，
，
设，则，
，
解得：，
这个正方形零件的边长为．
【点评】本题主要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，此题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
23．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，顶点的坐标为．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）求、两点的坐标．
（3）过线段上一点，作轴，交抛物线于点，是否存在点，使得线段有最大值？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设顶点式，然后把点坐标代入求出即可得到抛物线的解析式；
（2）易得，，通过解方程得，；
（3）利用待定系数法易得直线的解析式为，设，，则，所以，然后根据二次函数的性质解决问题．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
把，代入得，解得，
抛物线的解析式为，即；
（2）当时，，
，
当时，，解得，，
，
（3），
设直线的解析式为，
过点，
，
解得，
的解析式为，
设，，则，
，
，
当时，的长度有最大值，最大值为，此时点坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式以及理解坐标与图形性质是解题的关键．
24．如图1所示，正方形的边长为2，点、分别为边、的中点，如图2所示，将绕点逆时针旋转，射线、交于点．
（1）求证；
（2）当为等腰三角形时，求旋转角度．
（3）当射线恰好通过的中点，求的长．
【分析】（1）由旋转得到，再根据正方形的性质得：，，由此可证明；
（2）由，得，进而求得，于是，，从而，最后可求得，从而即可得解；
（3）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先根据勾股定理得：，利用面积法求得的长，可得的长，证明，可得，可得结论；再有当时，根据相似三角形的性质可得的长．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
如图1，点、分别为边、的中点，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，
为等腰三角形，为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
旋转角度，
（3）解：存在两种情况：
①当时，如图2，过作于，
是的中点，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
由勾股定理得：，
由（1）知：，
，
，
，
由（1）知：，
，，
，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，与重合，
，，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
综上，的长为或．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，解本题的关键是准确作出辅助线．