2022-2023学年吉林省长春108中九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年吉林省长春108中九年级（上）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春108中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
2．（3分）将抛物线向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为　　
A． B． C． D．
3．（3分）如图，中，点、分别是、的中点，若，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是　　
A． B．0 C．1 D．5
5．（3分）如图，某飞机于空中处探测到正下方的地面目标，此时飞机高度为1200米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则、之间的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米
6．（3分）如图，右边的“”与左边的“”是位似图形，是位似中心，位似比为．若，则的长为　　

A．15 B．30 C．45 D．60
7．（3分）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，已知点、，轴于点，点为线段上一点，且．则点的坐标为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）　　．
10．（3分）如果关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围为 　　．
11．（3分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为　　（精确到．
12．（3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　．

13．（3分）如图，菱形的对角线与相交于点，分别以点、为圆心，长为半径作、交于点、于点．若，，则阴影部分图形的面积为 　　．（结果保留

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：．
16．（6分）一个不透明的口袋中装有2个黄球、1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同．从口袋中随机摸出1个小球，记下颜色后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球至少有一个白球的概率．
17．（6分）已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与轴交于，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，的取值范围是 　　．

18．（7分）如图，是的直径，切于点，交于点．已知的半径为1，．
（1）求的度数．
（2）求的长．（结果保留

19．（7分）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的解．
20．（7分）如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点、、都在格点上．用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的高；
（2）在图2中的边上找一点，使．

21．（8分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），
则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　；
（3）若，且、、均为正整数，求的值？
22．（9分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．

23．（10分）如图，在中，，，，动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为直角边构造等腰直角三角形，使，且点、点始终在的同侧．设点运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段的长．
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当点在边垂直平分线上时，求的值．
（4）连接，当为锐角时，直接写出的取值范围．

24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交点的坐标是，对称轴为直线．
（1）求此抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出当，函数值随的增大而减小时的取值范围．
（3）点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
①当、两点纵坐标相等时，求中点的坐标．
②设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．

2022-2023学年吉林省长春108中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）若二次根式有意义，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（3分）将抛物线向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为　　
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线平移的规律（左加右减，上加下减）求解．
【解答】解：抛物线向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式为．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
3．（3分）如图，中，点、分别是、的中点，若，则　　

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理求得，，从而求得，然后利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：点、分别是、的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，本题难度较低，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
4．（3分）关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是　　
A． B．0 C．1 D．5
【分析】根据△，求得的取值范围，即可作出选择．
【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根，
△，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的运用是解题的关键．
5．（3分）如图，某飞机于空中处探测到正下方的地面目标，此时飞机高度为1200米，从飞机上看地面控制点的俯角为，则、之间的距离为　　

A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角和对边，只需根据正切值即可求出．
【解答】解：根据题意可得：米，，
，
（米．
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是结合图形利用三角函数解直角三角形．
6．（3分）如图，右边的“”与左边的“”是位似图形，是位似中心，位似比为．若，则的长为　　

A．15 B．30 C．45 D．60
【分析】根据位似图形的相似比成比例解答．
【解答】解：右边的“”与左边的“”是位似图形，是位似中心，位似比为，，
，即．
．
故选：．
【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．
7．（3分）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
【分析】根据圆周角定理即可求得的度数，．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】此题考查的是圆周角定理，比较简单，牢记定理是解答本题的关键．
8．（3分）如图，已知点、，轴于点，点为线段上一点，且．则点的坐标为　　

A． B． C． D．
【分析】首先证明，进而得出，根据，求出的长即可得出点坐标．
【解答】解：如图所示：
，
．
轴，
．
又轴，轴，
．
．
．
点、，
，，，
，
解得．
．
故选：．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）　　．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．
10．（3分）如果关于的方程是一元二次方程，那么的取值范围为 　　．
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可解答．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，
，
即，
故答案为：．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
11．（3分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为　0.95　（精确到．
【分析】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
【解答】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近，
所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95，
故答案为：0.95．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为　　．

【分析】过点作于点，则在中，先由勾股定理得出的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【解答】解：如图，过点作于点，

则，由勾股定理得：
，
．
故答案为：．
【点评】本题属于解直角三角形基础知识的考查，明确勾股定理及正弦函数的定义是解题的关键．
13．（3分）如图，菱形的对角线与相交于点，分别以点、为圆心，长为半径作、交于点、于点．若，，则阴影部分图形的面积为 　　．（结果保留

【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点与轴平行的直线交抛物线于点、，则的长为　6　．

【分析】先由轴上点的横坐标为0求出点坐标为，再将代入，求出的值，得出、两点的坐标，进而求出的长度．
【解答】解：抛物线与轴交于点，
点坐标为．
当时，，
解得，
点坐标为，点坐标为，
．
故答案为6．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于轴上的两点之间的距离，比较简单．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：．
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：移项得，
配方得，
即，
开方得，
，．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方．
16．（6分）一个不透明的口袋中装有2个黄球、1个白球，每个小球除颜色不同外其余均相同．从口袋中随机摸出1个小球，记下颜色后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球至少有一个白球的概率．
【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：列表如下：

黄
黄
白
黄
（黄，黄）
（黄，黄）
（白，黄）
黄
（黄，黄）
（黄，黄）
（白，黄）
白
（黄，白）
（黄，白）
（白，白）
由表知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的球至少有一个白球的有5种结果，
所以两次摸出的球至少有一个白球的概率为．
【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17．（6分）已知，二次函数的图象如图所示，二次函数与轴交于，．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，的取值范围是 　　．

【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）根据二次函数的图象即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）把，，分别代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）由二次函数图象可知当，即函数图象在轴下方时，的取值范围是．
故答案为：．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用图象求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和数形结合是解题的关键．
18．（7分）如图，是的直径，切于点，交于点．已知的半径为1，．
（1）求的度数．
（2）求的长．（结果保留

【分析】（1）根据切线的性质求出，根据三角形内角和定理即可求出；
（2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）是的直径，切于点，
，
，
；
（2）连接，

，
，
的半径为1，
的长为：．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式和三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、弧长公式以及三角形内角和定理是解题的关键．
19．（7分）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，求此时方程的解．
【分析】（1）由方程有两个实数根可得，解不等式即可求出的取值范围；
（2）由为正整数和可得，从而可得原方程为，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）有两个实数根，
△，
，
解得；
（2）由（1）知，
为正整数，
，
原方程为：，
，
．
【点评】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的根与△的关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根是解本题的关键．
20．（7分）如图是由小正方形组成的网格，的三个顶点、、都在格点上．用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的高；
（2）在图2中的边上找一点，使．

【分析】（1）如图1，取点，连接，交于点，证明，利用互余证明即可；
（2）在网格中取格点、、、、，分别连接、、，交于点，交于点，则，可证四边形和四边形都是平行四边形，则，点、是的三等分点，则点即为所求．
【解答】解：（1）的高如图所示，

如图，取点，连接，交于点，则，，
，
，
，
，
，
，
即为所求的高；
（2）如图，的边上的点，使，

理由是：在网格中取格点、、、、，分别连接、、，交于点，交于点，则，
，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
、是的三等分点，
，

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识，灵活选择解题方法是解题的关键．
21．（8分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中、、、均为整数），
则有．，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当、、、均为整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：　　，　　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：　　　　　　　　；
（3）若，且、、均为正整数，求的值？
【分析】（1）根据小明的方法，将按照完全平方公式展开，得到，再和的系数进行对比，即可求出和的值；
（2）任意找出一组和的值，预设，代入（1）中探索的结论中即可求出和的值；
（3）若要求、、的值，需要先求出、的值，根据题意可知，进而得出，再结合、均为正整数即可求出、的值，然后根据分类讨论即可求出的值．
【解答】解：（1）若，则有，
，．
故答案为：；；
（2）令，，
由（1）可知，，，
故答案为：4；2；1；1（答案不唯一）；
（3）由（1）可知，，，

而、、均为正整数，
，或者，，
当，时，；
当，时，．
综上，或者．
【点评】本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的应用，分类讨论思想是本题的关键．
22．（9分）如图，四边形是平行四边形，点在边上，点在对角线上，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．

【分析】（1）由及平行四边形的性质得出，再由，即可证明；
（2）由得出，将有关数据代入计算，即可求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握并会应用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在中，，，，动点从点出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点运动，当点不与的顶点重合时，过点作于点，以为直角边构造等腰直角三角形，使，且点、点始终在的同侧．设点运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段的长．
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当点在边垂直平分线上时，求的值．
（4）连接，当为锐角时，直接写出的取值范围．

【分析】（1）当点在边上时，，当点在边上时，，进行求解即可；
（2）根据勾股定理求出长，得到的三角函数值，证出即可求出的值；
（3）设边的垂直平分线交于点，交于点，则，当点在上，则，，根据列方程得的值；当点在上，，，根据列方程求出的值；
（4）分两种情况，求出直角情况对应的值即可求出答案．
【解答】解：（1）若点与点重合，则，即，
；
若点与点重合，则，
，
当点在边上时，，，，
，
当点在边上时，，，，
；
（2）当点落在边上时，，，

在中，，，，
根据勾股定理可得：，
，
，，
，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
；
经检验，是原分式方程的解且符合题意；
（3）设边的垂直平分线交于点，交于点，则，
当时，点在直线上，如下图，

，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，，
，
；
当时，点在直线上，如下图，

，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
综上所述，的值为或．
（4）当点在边上，且时，如下图：

，
；
经检验，是原分式方程的解且符合题意；
当点在边上，且时，如下图：

，
；
经检验，是原分式方程的解且符合题意；
综上所述，的取值范围是或．
【点评】本题考查了三角函数的计算，直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，熟练应用三角函数进行计算是解题关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线、为常数）与轴交点的坐标是，对称轴为直线．
（1）求此抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出当，函数值随的增大而减小时的取值范围．
（3）点、点均在这个抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将、两点之间的部分（包括、两点）记为图象．
①当、两点纵坐标相等时，求中点的坐标．
②设图象的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．
【分析】（1）先根据对称性为直线，求出的值，再将点代入，即可求函数的解析式；
（2）根据函数图象的增减性求的取值范围即可；
（3）①根据对称性可知，、关于对称轴对称；
②分四种情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）抛物线开口向下，
时，函数值随的增大而减小，
当时，，
；
（3）①、两点纵坐标相等，
、点关于对称轴对称，
，
解得，
，，
的中点坐标为；
②当时，，
当时，，
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．