初中4 利用轴对称进行设计优秀课后测评

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第14讲 简单的轴对称图形与利用轴对称进行设计
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知识精讲

知识点01 角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE

【知识拓展】（2021秋•昌吉市校级期末）如图，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB＝3cm，BD＝2cm，则DE＝　1　cm．

【分析】根据题意求出AD，根据角平分线的性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝3cm，BD＝2cm，
∴AD＝AB﹣BD＝1（cm），
∵CD平分∠ACB，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝1cm，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．
（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝　71　°．
（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知，则BC的长为 　9　．
（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．


【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，根据角平分线的性质得到DF＝DE，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义得到∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠ACB，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝58°，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝ABC＝29°，
∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝71°，
故答案为：71；
（2）如图（1），过D作DE⊥BC于E，DF⊥AB于F，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴DF＝DE，
∴＝＝＝，
∴BC＝9，
故答案为：9；
（3）解：在△ABC中，由∠BAC＝α，可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵BD平分∠ABC，CG平分∠ACB
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠ACB，
∴∠HBC+∠HCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣α）
＝90°﹣α，
在△BHC中，∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）
＝180°﹣（90°﹣α）
＝90°+α，
∵∠ACE为△ABC的外角，设∠ABC＝β，
∴∠ACE＝∠ABC+∠BAC＝α+β，
∵BD平分∠ABC，CF平分∠ACE，
∴∠FBE＝∠ABC＝β∠FCE＝∠ACE，
∴∠HFC＝∠FCE﹣∠FBE＝（α+β）﹣β＝α．

【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，三角形的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
【即学即练2】（2022春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD＝3，则AC的长为（　　）

A．3 B． C．4 D．
【分析】由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠ACD，再证明∠ACD＝∠B，CD＝BD＝3，根据角平分线的性质得到DE＝DF，接着利用面积法证明AC：BC＝2：3，则设AC＝2x，BC＝3x，CF＝x，然后证明Rt△CDE≌Rt△CDF得到CE＝CF＝x，所以AE＝x，利用勾股定理得到22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，从而得到AC的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B，
∴CD＝BD＝3，
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF
∵S△CAD：S△CBD＝AD：BD＝2：3，
∴DE•AC：DF•BC＝2：3，
∴AC：BC＝2：3，
设AC＝2x，BC＝3x，
∵DB＝DC，
∴CF＝BF＝BC＝x，
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CE＝CF＝x，
∴AE＝x，
∵DE2＝DA2﹣AE2＝CD2﹣CE2，
∴22﹣（x）2＝32﹣（x）2，解得x＝，
∴AC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，并灵活运用．
知识点02线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【知识拓展1】（2021秋•曲阳县期末）如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝　8.5cm　，AC＝　5.5cm　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式得到AC+AB＝14cm，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵△ACD的周长是14cm，
∴AC+AD+CD＝14cm，
∴AC+AD+BD＝AC+AB＝14cm，
则，
解得：，
故答案为：8.5cm、5.5cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练1】（2022•珠海二模）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（　　）

A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】利用线段的垂直平分线的性质证明△ABD的周长＝AB+AC即可解决问题．
【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，
∴DB＝DC，BE＝EC．
∵BE＝5，
∴BC＝2BE＝10．
∵△ABC的周长为30，
∴AB+AC+BC＝30．
∴AB+AC＝20．
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20，
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，属于中考常考题型．
【即学即练2】（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（　　）

A． B． C．1 D．2
【分析】根据尺规作图可以得到点D在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：由作图可知，点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【知识拓展2】（2021秋•汉阴县校级期末）；如图，已知△ACD的周长是14，AB﹣AC＝2，BC的垂直平分线交AB于点D，BC交AB于点D，交BC于点E，求AB和AC的长．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式和已知列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB＝DC．
∵△ACD的周长是14，
∴AD+AC+CD＝14，即AC+AB＝14，
则，
∴AB＝8，AC＝6．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出DB＝DC，根据等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠C，根据三角形外角性质求出∠BDC＝∠A+∠ABD＝122°，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∵∠A＝100°，∠ABD＝22°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝122°，
∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，
∴∠C＝＝29°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质等知识点，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
知识点03 等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【知识拓展1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝15cm，AC＝10cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（　　）

A．2s B．3s C．4s D．5s
【分析】设运动时间为t秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设运动时间为t秒时，AP＝AQ，
根据题意得：15﹣3t＝2t，
解得：t＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•鼓楼区校级期末）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，OA＝OB，射线OC交边AB于点D，则∠ADC＝　80　°．

【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝140°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣140°）＝20°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠ADC＝∠A+∠AOC＝20°+60°＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【知识拓展2】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．
（1）若∠ABC＝80°，求∠DCA的度数；
（2）若∠DCA＝x°，求∠EBC的度数（用含x的代数式表示）．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝×（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，即可得∠DCA的度数；
（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝×（180°﹣80°）＝50°，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝10°；
（2）在△BDC中，BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠A+∠DCA＝40°+x°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠DCA＝40°+x°+x°＝40°+2x°，
∵CE＝BC，
∴∠EBC＝∠BEC＝（180°﹣∠ACB）＝（180°﹣40°﹣2x°）＝70°﹣x°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确地识别图形是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E．
（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；
（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．

【分析】（1）先根据有一个角是60度的等腰三角形式等边三角形，由此可推出∠BAC的度数，再根据直角三角形推出30度角，即可得到线段的关系求解；
（2）根据Rt△BDC和∠BDC＝∠BAC，可得到A、B、C、D四点共圆，利用圆周角性质得到角度相等，结合题目条件证明三角形全等得出相等的线段，最后利用等量代换即可求解．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°且AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BDC＝∠BAC＝60°，
∵CD⊥BC，
∴Rt△BDC中，∠DBC＝30°，
∴DC＝BD＝3．
（2）作△BCD的外接圆⊙O，如图所示：

∵CD⊥BC，
∴BD为⊙O直径，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴A点在⊙O上，
∴∠BAD＝90°，
∵AM⊥BD，AN⊥CD，
∠AMB＝∠ACN＝90°，
∴在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN，
∴AM＝AN，BM＝CN，
∵在Rt△AMD和Rt△AND中，

∴Rt△AMD≌Rt△AND，
∴DN＝DM，
∴DB+DC＝DM+MB+DC＝DN+DC+MB＝CN+MB＝2CN＝8．
【点评】本题第一问主要考查等边三角形的判定再结合30角的直角三角形的性质，第二问主要考查隐形圆的问题，利用题目条件得到隐形圆，推出相等的角度用作全等的判定，最后利用线段相等进行等量代换．
知识点04等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【知识拓展1】（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（　　）

A．8 B．9 C．12 D．15
【分析】延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，进而利用平行四边形的性质及等边三角形的性质即可求解此题．
【解答】解：延长EP、FP分别交AB、BC于G、H，

由PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，可得，
四边形PGBD，EPHC是平行四边形，
∴PG＝BD，PE＝HC，
∵△ABC是等边三角形，PF∥AC，PD∥AB，
∴△PFG，△PDH是等边三角形，
∴PF＝PG＝BD，PD＝DH，
又∵△ABC的周长为24，
∴PD+PE+PF＝DH+HC+BD＝BC＝×24＝8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，应熟练掌握，解题的关键是得到△PFG，△PDH是等边三角形．
【即学即练1】（2022春•泰州月考）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m+2n的取值范围是 　4＜m+2n＜10　．

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP＝OD＝m，在Rt△HEP中，∠EPH＝30°，可得EH的长，计算m+2n＝2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．
【解答】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，

∵PD∥OY，PE∥OX，
∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP＝∠XOY＝60°，
∴EP＝OD＝m，
Rt△HEP中，∠EPH＝30°，
∴EH＝EP＝m，
∴m+2n＝2（m+n）＝2（EH+EO）＝2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值＝OC＝OA＝2，即m+2n的最小值是4；
当P在点B时，如图2，

OC＝2，AC＝BC＝2，
Rt△CHP中，∠HCP＝30°，
∴PH＝，CH＝3，
则OH的最大值是：OC+CH＝2+3＝5，即（m+2n）的最大值是10，
∴m+2n的取值范围是4＜m+2n＜10，
故答案为：4＜m+2n＜10．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认a+2b的最值就是确认OH最值的范围．
【知识拓展2】（2021秋•连江县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交点O，连接DE．
（1）判断△CDE的形状，并说明理由；
（2）求证：S△AOB＝2S△OBE．

【分析】（1）证明∠C＝60°，CD＝CE，即可解决问题．
（2）证明AO＝2OE，即可解决问题．
【解答】（1）解：△CDE是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠C＝60°，CE＝BC，CD＝AC；而BC＝AC，
∴CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形．
（2）证明：由（1）知：AE、BD分别是△ABC的中线，
∴∠BAE＝∠DBA＝30°，AE⊥CB，
∴OA＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OB＝2OE，
∴AO＝2OE，
∴S△AOB＝2S△OBE．

【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【即学即练1】（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．

【分析】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
知识点05 作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
【知识拓展1】 （2021秋•昌吉市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）分别作出A、B、C关于x轴的对称点即可；
（2）根据图中各点写出坐标即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．

（2）A1（1，4），B1（3，3），C1（1，1）；
（3）S△ABC＝3×2＝3．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
【即学即练1】（2021•安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，请在所给的图形中进行操作：
①作点A关于BD的对称点P；
②作射线PC交BD于点Q；
③连接AQ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（　　）

A．∠PCB＝∠AQB B．∠PCB＜∠AQB
C．∠PCB＞∠AQB D．以上三种情况都有可能
【分析】利用轴对称的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
【解答】解：如图，

∵A，P关于BD对称，
∴∠AQB＝∠PQB，
∵∠PCB＞∠PQB，
∴∠PCB＞∠AQB，
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【即学即练2】（2021秋•广饶县期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'，并在所画图中标明字母；
（2）△ABC的面积为 　　；
（3）在直线l上找一点P，连接PB、PC，当PB+PC最小时，这个最小值是 　5　．

【分析】（1）分别作三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）连接BC′，与直线l的交点即为所求，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如右图所示：

（2）△ABC的面积是3×6﹣×3×3﹣×2×3﹣×1×6＝，
故答案为：．
（3）当P，B，C'（或P，B'，C）三点共线时，PB+PC最小，最小值为＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质．
知识点06 利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
【知识拓展1】 （2021秋•吐鲁番市期末）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的定义以及题目要求画出图形即可
【解答】解：如图中，图形即为所求．

【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
【即学即练1】（2022春•海淀区校级月考）北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（　　）
A．国家体育场
B．国家游泳中心
C．天安门
D．国家大剧院
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：选项A，B，D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
【即学即练2】（2021秋•兴化市期末）如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有 　5　种．

【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【解答】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形，共有5种情形，

故答案为：5．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
【即学即练3】（2021秋•黄石港区期末）如图a，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形，直线MN为格点直线（点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上）．
（1）仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（2）如图b，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
（3）如图c，仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高，简单说明你的理由．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）如图，取格点O，计算可知S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝2（平方单位）．本题方法多只要满足条件即可．
（3）如图，选择格点D、E，证明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．选择格点Q，证明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．推出BQ为线段AC的垂直平分线，设BQ与AC相交于点F，则BF为所要求的△ABC的边AC上的高．
【解答】（1）解：如图a中，△A′B′C′即为所求．

（2）解：如图，取格点O，计算可知S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝2（平方单位）

本题方法多，列举部分方法如下：

（3）解：如图，选择格点D、E，证明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．
选择格点Q，证明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．
∴BQ为线段AC的垂直平分线，设BQ与AC相交于点F，则BF为所要求的△ABC的边AC上的高．

【点评】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
能力拓展

一．选择题（共6小题）
1．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（　　）
A．110° B．70° C．55° D．70°或55°
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角是110°，从而求出答案．
【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°，
则底角为：（180°﹣70°）×＝55°，
∴底角为70°或55°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，特别注意不要忽略一种情况．
2．（2020•郎溪县校级自主招生）如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（　　）

A．S1+S3＝S2+S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3 D．S1＝S3
【分析】由条件可知P为四边形ABCD的内切圆的圆心，作出该圆，分别作出P到各边的距离，可把四边形分成八个三角形，再利用面积和可得到△APD、△APB、△BPC、△DPC面积之间的关系．
【解答】解：
四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，
则S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，
∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，
故选：A．

【点评】本题主要考查角平分线的性质，由条件得到点P为四边形的内切圆的圆心是解题的关键．
3．（2018•市南区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D，DE⊥AB于E，连接CD．若CD＝2，DE＝，则∠ACD＝（　　）

A．150° B．135° C．120° D．110°
【分析】连接BD，作DF⊥AC交AC的延长线于F，根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC＝2，根据正弦的定义得到∠DBE＝60°，根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质、邻补角的概念计算即可．
【解答】解：连接BD，作DF⊥AC交AC的延长线于F，
∵点D在BC边的中垂线上，
∴DB＝DC＝2，
在Rt△DEB中，sin∠DBE＝＝，
∴∠DBE＝60°，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）
∴∠DCF＝∠DBE＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°＝120°，
故选：C．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】作CE∥a．证明∠1+∠2＝∠ACB＝60°，即可解决问题
【解答】解：作CE∥a．

∵a∥b，
∴CE∥b，
∴∠2＝∠ACE，∠1＝∠ECB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠1+∠2＝60°，
∵∠1＝10°，
∴∠2＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
5．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1，h2，h3且满足h2+h3﹣h1＝18，那么等边△ABC的面积为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的面积即可计算（h3+h2﹣h1）是等边三角形ABC的高，根据等边三角形的高即可求得BC的值，即可求得△ABC的面积，即可解题．
【解答】解：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，
则S△PAB+S△PAC﹣S△PBC＝S△ABC，
从而ah3+ah2﹣ah1＝a2，
即a（h3+h2﹣h1）＝a2，
∵（h3+h2﹣h1）＝18，
∴a＝12，
∴S△ABC＝a2＝108．
故选：C．

【点评】本题考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长的关系，本题中根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解题的关键．
6．（2019•柯桥区自主招生）平面上任意一点到边长为的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（　　）
A．3 B．6 C．4 D．8
【分析】如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PD，证明△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），得出∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，故PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小．再判断3＜6，即可得出答案．
【解答】解：如图，当点P为等边△ABC的中心时，PA+PB+PC＝6最小，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PD，
∵AP＝AD，∠PAD＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴∠APD＝∠ADP＝60°，PD＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∵点P为等边△ABC的中心，
∴PA＝PB＝PC，
∴△PAB≌△PBC≌△PCA（SSS），
∴∠APB＝∠APC＝120°，
由旋转得：∠ADE＝∠APC＝120°，
∴∠APD+∠APB＝180°，∠ADP+∠ADP＝180°，
∴PA+PB+PC＝BP+PD+DE＝BE，即此时PA+PB+PC最小，
∵∠ABP＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AHB＝90°，
∴AH＝AC＝，
∴BH＝AH•tan∠BAC＝•tan60°＝3，
∵AE＝AC＝AB＝2，AH⊥BE，
∴BE＝2BH＝6，
在平面内任取一点P′，连接P′A，P′B，P′C，将△P′AC绕点A逆时针旋转60°得到△AD′E，
连接P′D′，
∵BP′，P′D′，D′E不在同一条直线上，
∴BP′+P′D′+D′E＞PA+PB+PC＝6，
∵（3）2＝27，62＝36，27＜36，
∴3＜6，
故选：A．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换的应用、解直角三角形等知识．两点之间线段最短的应用，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．
二．填空题（共7小题）
7．（2019•和平区校级自主招生）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是　28　．

【分析】观察得出：这些三角形数都是从1开始的连续自然数的和，第1个三角形数是1+2，第2个三角形数是1+2+3，第3个三角形数是1+2+3+4，第4个三角形数是1+2+3+4+5，……，那么，第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7＝28．
【解答】解：观察图形并分析数据可知：
第1个三角形数：3＝1+2，
第2个三角形数：6＝1+2+3，
第3个三角形数：10＝1+2+3+4，
第4个三角形数：15＝1+2+3+4+5，
……
那么，第6个三角形数就是1+2+3+4+5+6+7＝28．
故答案为：28．
【点评】本题主要考查归纳推理的应用，根据条件分析数据发现规律是解题关键．
8．（2020•浙江自主招生）设锐角△ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为　30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°　．
【分析】设锐角△ABC最小的∠B的度数为x，根据题意AD＝BD，得出∠B＝∠BAD＝x，∠ADC＝2x，然后分三种情况讨论即可求得．
【解答】解：如图，设锐角△ABC最小的∠B的度数为x，
则AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝x，
∴∠ADC＝2x，
若AD＝AC，
∴∠ACB＝2x，
∵△ABC是锐角三角形，
∴∠C＜90°，∠B+∠C＞90°，
∴，
∴30°＜x＜45°；
若CD＝AC，
∴∠DAC＝∠ADC＝2x，
∴∠BAC＝3x，
∴∠BAC＜90°，∠C＜90°，
∴∠DAC+∠ADC＞90°，
∴，
∴22.5°＜x＜30°，
若CD＝AD，
∴∠DAC＝∠DCA＝90°﹣x，
∴∠BAC＝∠DAC+∠BAD＝x+90°﹣x＝90°，
不合题意，
故△ABC的最小内角的取值范围为30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°，
故答案为30°＜x＜45°或22.5°＜x＜30°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．
9．（2020•武昌区校级自主招生）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　m+2019n　．（结果用m，n表示）

【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．
【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，
∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，
故答案为：m+2019n．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
10．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，若CF＝10，则DE＝　　．

【分析】取CF的中点G，连接MG，设DE＝x，EF＝y，然后再利用含x、y的式子表示BE、EG，再列方程即可得到x的值．
【解答】解：取CF的中点G，连接MG，
设DE＝x，EF＝y，
可得DC＝CF﹣EF﹣DE＝10﹣x﹣y，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝10﹣x﹣y，BE＝BD﹣DE＝10﹣2x﹣y…①，
∵FG＝CG＝5，
∴EG＝FG﹣EF＝5﹣y…②，
∵MG是Rt△MFC斜边上的中线，
∴∠FGM＝2∠BCM＝∠ACB，∠FGM＝∠B，又ME⊥BG，
∴BE＝EG，
∴由①、②得10﹣2x﹣y＝5﹣y，
∴．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，角平分线平分角．
11．（2019•顺庆区校级自主招生）已知△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线与直线AC相交形成的锐角是50°，则∠BAC＝　40°或140°　．
【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，当∠A为钝角时，正确画图可得结论．
【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：
①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠BAC＝40°，

②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠1＝40°，
∴∠BAC＝140°，

故答案为：40°或140°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．
12．已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）
（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点　M，P，N　；
（2）分别延长DM，EP，FN至　点G，H，I　，使　MG　＝　DM　，　PH　＝　EP　，　NI　＝　FN　；
（3）顺次连接　GH　，　HI　，　IG　，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．

【分析】作轴对称图形就是从图形的各顶点向轴引垂线并延长相同长度找对应点，顺次连接所成的图形．根据这个做法填空．
【解答】解：依据轴对称的性质得：
（1）M，P，N；
（2）点G，H，L
MG＝DMPH＝EPNL＝FN；
（3）GH，HL，LG．
【点评】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
13．（2008•合肥开学）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有　5　个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．


【分析】根据轴对称图形的性质，可先确定对称轴，不同的对称轴有不同的对称图形，找出这样的5个．
【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形如图：

共5个．
【点评】本题主要考查了对称图形的定义，及实际做题能力．
三．解答题（共4小题）
14．（2021秋•寻乌县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3）C（﹣1，﹣1）
（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1　（3，2）　；B1，　（4，﹣3）　；C1　（1，﹣1）　；
（2）△ABC的面积为　6.5　；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）割补法求解可得；
（3）连接B1C，交y轴于点P．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，

A1（3，2）、B1（4，﹣3）、C1（1，﹣1），
故答案为：（3，2）、（4，﹣3）、（1，﹣1）；

（2）△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×2×3＝6.5，
故答案为：6.5；

（3）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义得出对应点及割补法求三角形的面积、轴对称最短路线问题．
15．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．
（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；
（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．

【分析】（1）由等边三角形的性质得出AE＝BE，∠BCE＝30°，再根据ED＝EC，得出∠D＝∠BCE＝30°，再证出∠D＝∠DEB，得出DB＝BE，从而证出AE＝DB；
（2）作辅助线得出等边三角形AEF，得出AE＝EF，再证明三角形全等，得出DB＝EF，证出AE＝DB．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，AE＝BE，
∴∠BCE＝30°，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠BCE＝30°．
∵∠ABC＝∠D+∠BED，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝∠BED，
∴BD＝BE．
∴AE＝DB．
（2）解：AE＝DB；
理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：

∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF．
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF，
∴AE＝BD．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形的外角以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
16．（2021秋•木兰县期末）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为（﹣5，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的A1B1C1；
（2）通过画图在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB并直接写出点Q的坐标．Q的坐标为　（﹣3，0）　．

【分析】（1）分别找出A、B、C关于y轴的对应点位置，再连接即可；
（2）作出点B关于x轴的对应点，再连接A、B′，与x轴的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；


（2）如图所示，点Q即为所求，点Q的坐标为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，作图时要先找到图形的关键点，再找对称点的对应点位置，再连接即可．
17．（2021秋•开封期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 　BM+NC＝MN　；此时＝　　；
（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．
（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

【分析】（1）由DM＝DN，∠MDN＝60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC是等边三角形，CD＝BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，此时 ；
（2）在CN的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，易证得∠CDN＝∠MDN＝60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM＝DM1，然后证得∠CDN＝∠MDN＝60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC﹣BM＝MN．
【解答】解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC＝MN，
此时 ，
理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°，
∵DM＝DN，BD＝CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，
∴DM＝2BM，DN＝2CN，
∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；
∴AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∵AB＝AM+BM，
∴AM：AB＝2：3，
∴＝；

（2）猜想：结论仍然成立，
证明：在NC的延长线上截取CM1＝BM，连接DM1，
∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，
∴＝；

（3）证明：在CN上截取CM1＝BM，连接DM1，
可证△DBM≌△DCM1，
∴DM＝DM1，
可证∠M1DN＝∠MDN＝60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN＝M1N，
∴NC﹣BM＝MN．


【点评】此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．

分层提分

题组A 基础过关练
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•普兰店区期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（　　）

A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF
【分析】根据线段垂直平分线的性质求解判断即可．
【解答】解：如图，连接BD，

∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，
∴DA＝DB，DB＝DC，
∴DA＝DC，
故选：C．
【点评】此题考查了性质的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键．
2．（2021秋•细河区期末）如图，已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（在B，C不与点O重合）连接AB，连AC交射线OE于点D，且AB∥ON，当△OCD是等腰三角形时，则∠OAC＝（　　）

A．60°或40°或120° B．80°或40°
C．60°或120° D．70°或120°
【分析】分两种情况：①当∠COD＝∠OCD，即∠BAD＝∠ABD时，②当∠OCD＝∠CDO，即∠BAD＝∠BDA时，运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠ABO的度数，根据∠ABO、∠BAD的度数以及△AOB的内角和即可求解．
【解答】解：∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，
∴∠AOB＝∠BON＝20°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝20°，
①当∠COD＝∠OCD，即∠BAD＝∠ABD时，
∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝20°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAB＝140°，
∴∠OAC＝120°；
②当∠OCD＝∠CDO，即∠BAD＝∠BDA时，
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°，
∴∠BAD＝80°，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°，
∴∠OAC＝60°；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和平行线的性质的应用，利用平行线以及角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用．
3．（2022•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为（　　）

A．3 B．3 C．2 D．4
【分析】连接BE，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝DC＝3，证明∠BEC＝90°，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：连接BE，
∵AE＝EC，
∴∠ECA＝∠EAC，
∴∠DEC＝2∠EAC，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝DC＝3，
∴EB＝EC，
∴EB＝EA，
∴∠EBA＝∠EAB，
∴∠DEB＝2∠EAB，
∴∠BEC＝2∠BAC＝90°，
∴CE＝BC＝3，
故选：B．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角性质、勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
4．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝，则AB的长为（　　）

A． B．2 C．4 D．6
【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长．
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，

∵CA＝CB，∠ACB＝110°，
∴∠ACH＝∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，
∵∠ECD＝15°．
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，
∴∠ACH＝∠ACF＝55°，
∴CA平分∠HCF，
∵AF⊥CE，CH⊥AB，
∴AH＝AF＝，
∴AB＝2AH＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF．
5．（2021秋•雁江区期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（　　）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3＝7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
【分析】由△ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出∠BAC＝60°，BC＝AB＝4，结合∠BAD＝30°，可得出∠CAD＝30°＝∠BAD，进而可得出AD为∠BAC的角平分线，再利用等边三角形的三线合一可得出AD为BC的中线，结合BC＝4即可求出CD的长．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，BC＝AB＝4．
∵∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴AD为∠BAC的角平分线，
∴AD为BC的中线，
∴CD＝BC＝×4＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，利用等边三角形的三线合一，找出AD为BC的中线是解题的关键．
二．解答题（共6小题）
7．（2021秋•定陶区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠C＝35°，求∠BAE的度数．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠C＝35°，根据直角三角形的性质求出∠BAC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝90°−∠C＝55°，
∴∠BAE＝∠BAC−∠EAC＝55°﹣35°＝20°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2021秋•濮阳期末）如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC，∠BAC＝28°，求∠D的度数．

【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，根据平行线的性质得出∠DBC＝∠D，求出∠C＝2∠D，求出∠C即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABD+∠DBC＝∠C，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D，
∴∠C＝2∠D，
∵∠BAC＝28°，
∴∠ABC＝∠C＝76°，
∴∠D＝38°．
【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
9．（2021秋•岑溪市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，∠C＝75°．
（1）求∠A的度数；
（2）求∠CBD的度数．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠A，∠ABC；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝30°，计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠C＝75°（已知），
∴∠C＝∠ABC＝75°（等边对等角），
∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°（三角形内角和定理）．
故∠A的度数是30°；

（2）∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴DA＝DB（线段垂直平分线性质），
∴∠ABD＝∠A＝30°（等边对等角），
又由（1）知∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD
＝75°﹣30°
＝45°．
故∠CBD的度数是45°．
【点评】本题考查线段垂直平分线、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2021秋•嘉鱼县期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，且AC＝BC，求∠C的度数．

【分析】（1）根据三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．由AB＝AD＝DC可得∠DAC＝∠C，易求解；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵∠BAD＝20°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝80°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠ADB＝40°，
∴∠C＝40°．
故∠C的度数是40°；
（2）设∠B＝x°，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠CAB＝x°，
∵AB＝AD＝DC，
∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，
在△ABC中，x+x+x＝180，
解得：x＝72，
∴∠C＝×72°＝36°．
故∠C的度数是36°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角与外角性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解．
11．（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（2，﹣1），C（4，4）．
（1）请在所给的坐标系中画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点）．

【分析】（1）根据A（0，1），B（2，﹣1），C（4，4），即可在所给的坐标系中画出△ABC；
（2）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

（2）如图，△A′B′C′即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
12．（2021秋•利通区校级期末）如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标．试求出△ABC的面积．

【分析】首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点，然后再连接即可画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得△A2B2C2的各点坐标．利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可得到△ABC的面积．
【解答】解：如图，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
如图，△A1B1C1即为所求；

如图，△A2B2C2的各点坐标为A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
△ABC的面积为3×5﹣×1×5﹣×2×3﹣×3×2＝6.5．
【点评】本题考查的是轴对称变换作图，点的平移及三角形面积的求法，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2021秋•望城区期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（　　）

A．62° B．58° C．52° D．46°
【分析】先由等腰△ABC中∠ABC＝116°求得∠A＝∠C＝32°，进而结合垂直平分线的性质求得∠A＝∠ABE＝32°，∠C＝∠CBQ＝32°，最后得到∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°．
【解答】解：∵等腰△ABC中，∠ABC＝116°，
∴∠A＝∠C＝32°，
∵AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，
∴EA＝EB，QB＝QC，
∴∠ABE＝∠A＝32°，∠CBQ＝∠C＝32°，
∴∠EBQ＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBQ＝116°﹣32°﹣32°＝52°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线的性质．
2．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
【分析】设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，可得∠ABC＝2x+y，根据MN＝BN，有∠BMN＝∠MBN＝y，故∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，又AB＝AC，得∠C＝∠ABC＝2x+y，根据∠A+∠ABC+∠C＝180°，得（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得x+y＝60°，故∠MBC＝60°．
【解答】解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，
∴∠ABC＝2x+y，
∵MN＝BN，
∴∠BMN＝∠MBN＝y，
∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x+y，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，
∴3x+3y＝180°，
∴x+y＝60°，
∴∠CBN+∠MBN＝60°，
即∠MBC＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形性质及应用，解题的关键是用含x、y的式子表示相关角的大小，用三角形内角和列方程解决问题．
3．（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（　　）种涂法．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个．

故选：C．
【点评】本题考查利用轴对称图形设计图案，解题的关键是连接轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
二．填空题（共6小题）
4．（2021秋•鹿邑县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，CD⊥AD，CB⊥AB，AC的延长线与∠ADC、∠ABC相邻的两个角的平分线交于点E，若CD＝CB，则∠CED的度数为 　15°　．

【分析】根据角平分线的性质和三角形内角和定理以及三角形外角性质解答即可．
【解答】解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，CD＝CB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，
在△ADC与△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴AD＝AB，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠BAD＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∵AC的延长线与∠ADC、∠ABC相邻的两个角的平分线交于点E，
∴∠CDE＝∠CBE＝45°，
∴∠DEB＝120°﹣45°﹣45°＝30°，
在△ADE与△ABE中，
，
∴△ADE≌△ABE（SAS），
∴∠CEB＝∠＝∠CED，
∴∠CEB＝∠DEB＝15°，
故答案为：15°．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°．
5．（2021秋•钢城区期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 　9.6　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故AC的长为9.6，
故答案为：9.6．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6．（2022•鼓楼区校级开学）如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是 　（m﹣60）°　．

【分析】如图连接AE．证明△ADC≌△ADE（SAS），求出∠ABE＝∠AEB＝m即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠ABC＝60°，
∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，
∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∵AD＝AD，DC＝DE，
∴△ADC≌△ADE（SAS），
∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DBA，
∴∠BDE＝∠BAE＝180°﹣2m，
∵AE＝AC＝AB，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣180°+2m）＝m，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝（m﹣60）°，
故答案为：（m﹣60）°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2021秋•道县期末）如图，已知∠MON＝30°，A、B、C、D在射线ON上，点E、F、G在射线OM上，△ABE、△BCF、△CDG均为等边三角形，若OA＝1，则△CDG的周长为 　12　．

【分析】根据等边三角形的性质得到AE＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，求得∠OAE＝120°，求得∠BEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，得到BE＝1，根据平行线的性质得到∠AEO＝∠OFB＝∠OGC＝30°，∠BEF＝∠CFG＝90°，根据直角三角形的性质得到BF＝2BE，CG＝2CF，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴∠OAE＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠AEO＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠AEB＝60°，
∴∠BEF＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠AEO＝30°，
∴OA＝AE＝1，
∴BE＝1，
∵△BCF、△CDG均为等边三角形，
∴∠DCG＝∠CBF＝60°，∠BCF＝60°，
∵∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴AE∥BF∥CG，BE∥CF，
∴∠AEO＝∠OFB＝∠OGC＝30°，∠BEF＝∠CFG＝90°，
∴BF＝2BE，CG＝2CF，
∴CG＝4BE＝4，
∴△CDG的周长为12，
故答案为：12．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据掌握等边三角形的性质是解题的关键．
8．（2021春•城阳区期末）（1）已知：线段a，∠α，∠β．
求作：△ABC，使AB＝a，∠A＝α，∠B＝β．
（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

结论：　△ABC即为所求　．
（2）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．
结论：　△A'B'C'即为所求　．

【分析】（1）根据线段a，∠α，∠β．即可作出△ABC；
（2）根据轴对称的性质即可作出△A'B'C'．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

故答案为：△ABC即为所求；
（2）如图，△A'B'C'即为所求．

故答案为：△A'B'C'即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，作图﹣复杂作图，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作图．
9．（2021春•大洼区月考）在4×4的方格中，有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中的小正方形A到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．这样的移法共有 　13　种．

【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【解答】解：如图所示：

故一共有13种移法，
故答案为：13．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
三．解答题（共4小题）
10．（2021秋•道县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 　130°　．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．

【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB＝50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（2）过点P分别作△ABC的垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质即可得到结论；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，根据角平分线的定义得到∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，推出△PGC为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°；

（2）答：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：
过点p分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，

∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，

∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11．（2021秋•安庆期末）教材呈现，如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：如图②，△ABC的周长是10，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，求△ABC的面积．

【分析】定理证明：利用AAS判定△OEP≌△ODP可得PE＝PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，利用角平分线的性质可得EO＝DO，OF＝DO，然后再利用面积的计算方法可得答案．
【解答】定理证明：证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△OEP和△ODP中，
，
∴△OEP≌△ODP（AAS），
∴PE＝PD；

定理应用：解：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO＝DO，OF＝DO，
∵OD＝3，
∴EO＝FO＝3，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∴△ABC的面积：AB•EO+AC•FO+CB•DO＝（AB+AC+BC）＝×10＝15．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．
12．（2021秋•宜州区期末）如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE．
（1）判断△CEF的形状，并说明理由；
（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．

【分析】（1）利用平行线的性质，证明∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答；
（2）连接BD，根据已知易证BD是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD平分ABC，最后根据角平分线和平行证明△BDE是等腰三角形即可解答．
【解答】解：（1）△CEF是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，
∵AB∥DE，
∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，
∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF
∴△CEF是等边三角形；
（2）连接BD，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵AD＝CD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BD平分ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥DE
∴∠ABD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BE＝DE，
∴BC＝BE+EC＝DE+CF
∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行证明等腰三角形是解题的关键．
13．（2022•黄陂区模拟）在8×6的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：
（1）在线段AC上取点E，使DE＝CD；
（2）画格点F，使EF∥AB；
（3）画点E关于AB的对称点G；
（4）在射线AG上画点P，使∠PDE与∠GAE互补．

【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）取格点F，连接EF即可；
（3）取格点N，连接EN，取格点K，L，连接KL交NE于点G，点G即为所求（通过计算得到EG＝，利用平行线分线段成比例定理作出图形）；
（4）取格点M，连接CM，延长AG交CM于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，点E即为所求；
（2）如图，线段EF即为所求；
（3）如图，点G即为所求；
（4）如图，点P即为所求．

【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，余角补角的定义，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

题组C 培优拔尖练

一．解答题（共12小题）
1．（2021秋•仓山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．

【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C＝90°．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
又∵∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴BE⊥AC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
2．（2021秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【分析】（1）在Rt△ADE中，求出∠EAD即可解决问题；
（2）只要证明AE＝AC，利用等腰三角形的性质即可证明；
【解答】（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．

（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．

【点评】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE＝AC．
3．（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　15°　．
（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝　20°　．
（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．

【分析】（1）等腰三角形三线合一，所以∠DAE＝30°，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝75°，所以∠DEC＝15°；
（2）同理，易证∠ADE＝70°，所以∠DEC＝20°；
（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，
进而得出∠BAD＝2∠CDE．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠EDC＝15°；

（2）∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC上的高，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CAD＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠EDC＝20°；

（3）∠BAD＝2∠EDC（或∠EDC＝∠BAD）；理由如下：
∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE．
故答案为：15°；20°．
【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，三角形的外角性质进行推理的能力，熟记性质是解题的关键．
4．（2021秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，点E，F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，∠EAF＝90°，BC＝12，EF＝5．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求S△EAF．

【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得出∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，再由三角形内角和定理得出∠BEA+∠CAF＝45°，由∠BAC＝∠BEA+∠EAF+∠CAF即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得出EB＝EA，FA＝FC，根据EA•FA的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵EM垂直平分AB，
∴∠B＝∠BAE．
∵FN垂直平分AC，
∴∠C＝∠CAF．
∵∠B+∠BAE+∠EAF+∠C+∠CAF＝180°，∠EAF＝90°，
∴2∠BEA+2∠CAF＝90°，
∴∠BEA+∠CAF＝45°，
∴∠BAC＝∠BEA+∠EAF+∠CAF＝45°+90°＝135°；

（2）∵EM垂直平分AB，
∴EB＝EA．
∵FN垂直平分AC，
∴FA＝FC．
∵BC＝12，EF＝5，
∴EA+FA＝12﹣5＝7．
∵EF＝5，∠EAF＝90°，
∴EA2+FA2＝（EA+FA）2﹣2EA•FA＝EF2＝25，
∴EA•FA＝6，
∴S△EAF＝6．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
5．（2021秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．

【分析】（1）分别以点A、C为圆心，以大于AC长度为半径画弧，两弧在AC两边相交于，然后过这两点作直线DE即可；
（2）连接CE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝CE，设∠A＝x，然后根据等边对等角的性质以及等腰三角形两底角相等表示出∠ACB，然后列出方程求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；

（2）如图，连接CE，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
设∠A＝x，
则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，
在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，
解得x＝20°，
即∠A＝20°．

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，线段垂直平分线的作法，难度中等，熟记性质是解题的关键．
6．（2021秋•黄石期末）如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在边长为1的正方形在顶点上．
（1）求△AOB的面积；
（2）若点B关于y轴的对称点为C，点A关于x轴的对称点为D，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解；
（2）利用四边形所在的矩形的面积减去四周2个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△AOB的面积＝3×3﹣×3×1﹣×3×2﹣×2×1
＝9﹣1.5﹣3﹣1
＝3.5．
故△AOB的面积是3.5；
（2）如图，由题意得C（﹣1，3），D（3，﹣2），
四边形ABCD的面积＝5×4﹣×5×4﹣×2×1
＝20﹣10﹣1
＝9．
故四边形ABCD的面积是9．

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
7．（2021秋•尚志市期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出点B1的坐标；
（2）在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹）

【分析】（1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）作点C关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于点P，则点P即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1即为所求；

（2）∵C（﹣1，3），
∴C′（﹣1，﹣3）．
设直线B1C′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵B1（4，2），
∴，解得，
∴直线B1C′的解析式为y＝x﹣2，
∴当y＝0时，x＝2，
∴P（2，0）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
8．（2021秋•垦利区期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
（3）分别写出点A′、B′、C′的坐标．

【分析】（1）根据题意画出坐标系即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点作出△A′B′C′即可；
（3）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′、C′的坐标即可．
【解答】解：（1）、（2）如图所示；

（3）由图可知，A′（4，5）、B′（2，1）、C′（1，3）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
9．（2020秋•澄海区期末）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；
（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．

【分析】（1）在△CDF中，求出∠CFD即可解决问题；
（2）先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD＝∠CDF＝45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE＝DB，②BD＝BE，③DE＝BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【解答】解：（1）根据翻折不变性可知：∠AFE＝∠DFE＝65°，
∴∠CFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠C＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣50°＝40°．

（2）∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝45°，
设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE，
∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°，
分类如下：
①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x，
解得：x＝22.5°．此时∠B＝2x＝45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x，
解得x＝37.5°，此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°．
图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°．
③DE＝BE时，则∠B＝（）°，
由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+，
此方程无解．
∴DE＝BE不成立．
综上所述∠B＝45°或30°．

【点评】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，有一定的综合性，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用．
10．（2021秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．
（1）如图（1），求证：DE＝DF；
（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝BC．
（3）如图（3），若BE＝AE，则CF＝　　BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝　　BC．

【分析】（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，只要证明△DME≌△DNF；
（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，想办法证明∠DFB＝90°，求出CF即可解决问题；
（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．只要证明△EDK≌△FDC，即可解决问题；②如图4中，由（1）可知EM＝FN，设AE＝a，则BE＝4a，AB＝BC＝AC＝5a，AM＝CN＝，EM＝FN＝a，可得CF＝FN+CN＝a，由此即可 解决问题；
【解答】证明：（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，

∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠MDN＝∠EDF＝120°，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，
∴∠DBA＝∠DBC，
∴DM＝DN，
∴△DME≌△DNF，
∴DE＝DF．

（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，

∵AD＝DC，DK∥CB，
∴AK＝BK＝2a，DK＝BC＝2a＝AD＝AK，
∴AE＝EK＝a，
∴DE⊥AK，
∴∠BED＝90°，
∵∠BED+∠BFD＝180°，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△CDF中，∵∠C＝60°，
∴CF＝CD＝a，
∴CF＝BC．

（3）①如图3中，作DK∥BC交AB于K．

设BE＝a，则AE＝3a，AK＝BK＝2a，△ADK是等边三角形，
∴∠ADK＝60°，∠EDF＝∠KDC，
∴∠KDE＝∠CDF，
∵DK＝DC，DE＝DF，
∴△EDK≌△FDC，
∴EK＝CF＝a，∵BC＝4a，
∴CF＝BC．
②如图4中，由（1）可知EM＝FN，

设AE＝a，则BE＝4a，AB＝BC＝AC＝5a，AM＝CN＝a，EM＝FN＝a，
∴CF＝FN+CN＝a，
∴CF：BC＝a：5a＝3：10，
∴CF＝BC．
故答案为，．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（2020秋•大足区期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．
（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想．
（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）．


【分析】（1）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；
（2）分四种情形画出图形分别求解可得结论．
【解答】解：（1）结论：∠BAD＝2∠CDE．理由如下：
设∠B＝x，∠ADE＝y，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝x，
∵∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝y，
∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，
∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），
∴∠BAD＝2∠CDE；

（2）当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，
分两种情况：
当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；
当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，

∵∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝AE′，
∴∠ADE＝∠AE′D，
由①知，∠CDE′＝12.5°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，
∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，
∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，
∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．
如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′＝12.5°，∠CDE＝77.5°

综上所述：∠CDE的度数为12.5°或102.5°或77.5°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
12．（2021秋•常州期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．请同学们利用网格线进行画图：
（1）在图1中，画一个顶点为格点、面积为5的正方形；
（2）在图2中，已知线段AB、CD，画线段EF，使它与AB、CD组成轴对称图形；（要求画出所有符合题意的线段）
（3）在图3中，找一格点D，满足：①到CB、CA的距离相等；②到点A、C的距离相等．

【分析】（1）结合勾股定理以及正方形的性质得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出答案；
（3）直接利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：正方形即为所求；
（2）如图2，红色线段有2条都是符合题意的答案；
（3）如图3，点D即为所求．

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案以及线段垂直平分线的性质等知识，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．