2023重庆长寿区高二上学期期末考试数学（A卷）含解析

长寿区2022年秋期期末质量监测

  高二年级数学 试题（A卷）

注意事项：

1．考试时间：120分钟，满分：150分。试题卷总页数：4页。

2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。

3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑。需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写。

4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（原创）直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

2．（原创）若直线：与直线互相平行，则实数的值为（    ）

A．2或0 B．1 C．0 D．0或1

3.（改编）在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

4.（改编）下列椭圆中最接近于圆的是（    ）

A．  B．

C．  D．

5.（改编）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（  ）

A．561  B．595 

C．630  D．666

6. （改编）已知直线与圆相交于两点，当面积最大时，实数的值为（    ）

A． B． C． D．

7.（改编）已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆相交于四点，从左往右依次为，若成等差数列，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

8.（改编）如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 则下列结论正确的是（    ）

A. 棱上一定存在点，使得

B. 设点在平面内，且平面，则与平面

   所成角的余弦值的最大值为

C. 过点 作正方体的截面，则截面面积为

D. 三棱锥的外接球的体积为

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. （改编）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．数列是递增数列 B． 

C．当时， D．当或时，取得最大值

10.（改编）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且，则下列说法中正确的有（    ）A．

B．

C.  

D．直线与所成角的余弦值为

11.（改编）已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．的最小值为8

B．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是

C．使为整数的直线共有11条

D．若点为圆上任意一点，则的最小值为

12．（改编）双曲线的两个焦点为,，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（原创）经过点且与直线垂直的直线方程是____.（用一般式表示）

14.（原创）已知双曲线的右焦点为，则到渐近线的距离为___________.

15．（原创）已知空间三点坐标分别为,点在平面内,则实数的值为___________.

16.（改编）已知数列的前项和为，且满足，若，则______；若使不等式成立的最大整数为10，则的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分.）

四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（改编）已知圆经过点,，且______．从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答．①过直线与直线的交点②圆恒被直线平分；③与轴相切；

（1）求圆的方程；

（2）求过点的圆的切线方程．

18. （12分）（原创）如图，已知平面，底面为矩形，，

，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离；

19.（12分）（改编）已知双曲线经过点，.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知点，过点的直线与双曲线交于不同两点，若直线，满足，求直线的方程.

20. （12分）（改编）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形， .

（1）求证：;

（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.

21.（12分）（改编）已知数列的前项和为，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若不存在，说明理由.

22. （12分）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，动直线交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，圆的半径为，是圆的两条切线，切点分别为．求的最小值及的最大值．

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  高二年级数学 答案（A卷）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13.     14. 1    15.    16.

四、解答题

17.选择①

解：（1）由，………………………………1分

设圆的方程为

三点均在圆上

 ………………………………………4分

圆的方程为，即……………5分

    选择②

解：（1）直线的方程可化为

上式恒成立，

直线恒过定点，且为圆心………………………………………………2分

 ……………………………………………………2分

圆的方程为 ………………………………………………5分

选择③

解：（1）设圆的方程为

由题可得…………………………………列式3分

故圆的方程为…………………………………………………5分

（2）①当直线的斜率不存在时， ………………………………………6分

     ②当直线的斜率存在时，设，即

直线与圆相切，

圆心到直线的距离

  ………………………………………………………………………………9分

直线的方程为 …………………………………………………10分

综上可得：直线的方程为或

18. （1）证明：取中点，连接

为中点，

四边形为矩形，且为中点

四边形为平行四边形……………………………………………………………3分

平面，平面 （未写扣1分）

平面  …………………………………………………………………6分

（2）解：以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示坐标系

，，，

,

设平面的法向量为

，令，则

 ……………………………………………………………………………9分

到平面的距离…………………………………12分

19. 解：（1）设双曲线方程为

两点在双曲线上，

双曲线的方程为 ……………………………………………………4分

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨令

不成立，舍去.  ……………………………………………………………5分

②当直线的斜率存在时，设

由

……………………6分

设

 ……………………………………………………8分

以为直径的圆经过点，

……………………………………9分

即

 ………………………………………………………………………10分

或，符合题意 ……………………………………………………………11分

直线的方程为或 ………………………………………12分

20. 证明：（1）取中点，连接，，

在和中，，，，

，…………………………3分

，且，

平面………………………………………4分

平面，…………………………5分

（2）解：在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，.

由（1）得平面，平面 

   平面……………………………………………………6分

在中，，，由余弦定理可得

在中，

在中，

在中，，可得，………………………………………………………………………………7分

则以为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，

设平面的法向量为，，，

则，令，则，

……………………………………………………………………………………………9分

设平面的法向量为，，，

则，令，则，

………………………………………………………………………………………11分

记设平面与平面的夹角，

则…………………………………………………12分

21. 解：（1）

①当时，，……………………………………………………1分

②当时，

，即………………………………………………………3分

数列是以3为首项，2为公比的等比数列

………………………………………………………………………………6分

（2）

…………………………………7分

…………………………………………………………………………9分

，为递增数列，且……………………………………10分

对任意的恒成立

①当为正奇数时，即对任意的恒成立

为递减数列，且，………………………………………………11分

②当为正偶数时，即对任意的恒成立

为递增数列，且，……………………………………………12分

综上可得，

22. 解：（1）由题意知，，∴，，

∴椭圆的方程为：…………………………………………………………………………4分

（2）设，，联立方程

得

由题意知，，………………………………………6分

∴

∴圆的半径………………………………………7分

联立得：

∴，，∴…………………………8分

又，∴，∴…………………………9分

令，则，

∴………………………………10分

当即时等号成立

∴，………………………………………………11分

∴

…………………………………………………………………12分

综上所得：的最小值为2，的最大值为