2021-2022学年广东省阳江市高二上学期期末考试数学试题含答案

广东省阳江市2021-2022学年高二上学期期末考试数学

范围：必修一.必修二.选择性必修一

注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，若，则(   )

A.-1 B.0 C.1 D.2

2.下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“________”的几何解释.(   )

A.如果，，那么

B.如果，那么

C.对任意实数a和b，有，当且仅当时等号成立

D.如果，那么

                                                                                                                                          题2图

3.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

4.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5.定义运算：.已知都是锐角，且，，则(   )

A. B. C. D.

6.已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若向量，，，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

7.若，则复数在复平面内对应的点在(   )

A.曲线上  B.曲线上 

C.直线上  D.直线上

8.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是(   )
 

A.  

B.平面平面

C.的最大值为90° 

D.的最小值为

题8图

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，平面平面ABCD，为等腰直角三角形，且，O为底面ABCD的中心，B为PD的中点， F在棱PA上，若，，则下列说法正确的有(   )

A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为

B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为

C.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则

D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为，则                                               

题9图

10.已知圆和圆的交点为A，B，则下列结论中正确的是(   )

A.公共弦AB所在的直线方程为

B.线段AB的中垂线方程为

C.公共弦AB的长为

D.若P为圆上的一个动点，则点P到直线AB距离的最大值为

11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于，两点，点P在l上的射影为P，则(   )

A.若，则

B.以PQ为直径的圆与准线l相切

C.设，则

D.过点与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条

12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则下列结论正确的是(   )

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设x，y为正数，若，则的最小值是_______，此时__________.

14.已知偶函数的部分图象如图所示，且，则不等式的解集为_________.

题14图

15.若不同的平面的一个法向量分别为，，则与的位置关系为___________.

16.已知椭圆的左、右焦点分别为、，关于原点对称的点A、B在椭圆上，且满足，若令且，则该椭圆离心率的取值范围___________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知，，且，求实数a的取值范围.

18.（12分）

一家经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花的顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.某年四月前10天，微店百合花的售价为每枝2元，从云南空运来的百合花每枝进价1.6元，本地供应商处百合花每枝进价1.8元.微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：枝）依次为：251,255,231,243,263,241,265,255,244,252.

（1）求该年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；

（2）预计该年四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（1）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250枝，还是255枝百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？

19.（12分）

在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，，.

（1）求证：平面平面PAD；

（2）若，求直线AP与BM所成角的余弦值.

题19图

20.（12分）

如图，正方体的棱长为2，E,F分别是CB,CD的中点，点M在棱上，.

（1）若三棱锥，的体积分别为，，当t为何值时，最大？最大值为多少？

（2）若平面，

证明：平面平面.

                                                                                                                                  题20图                                           

21.（12分）

如图，在正方体中，为棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的大小

题21图

22.（12分）

已知函数．

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1-8 ACDCB  CBC

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.答案：BC

10.答案：ABD

11.答案：ABC

12.答案：AD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案：4；

14.答案：

15.答案：平行

16.答案：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.答案：由题意得，.
当时，成立,
，解得.
当时，，或.
当时，，即，此时，满足;
当时，，即,此时，不满足.
综上可知，实数a的取值范围为.

18.答案：（1）由题知四月前10天订单中百合花需求量的众数为255,
平均数.
频率分布直方图如下:

（2）设订单中百合花需求量为a枝.
由（1）中频率分布直方图，
知a可能取值为235,245,255,265，相应频率分别为0.1,0.3,0.4,0.2，
20天中a取235,245,255,265相应的天数分别为2,6,8,4.
①若空运250枝，
当时，当日利润为（元），
当时，当日利润为（元），
当时，当日利润为（元），
当时，当日利润为（元），
故四月后20天百合花销售总利润为（元）.
②若空运255枝，
当时，当日利润为（元）,
当时，当日利润为（元）,
当时，当日利润为（元），
当时，当日利润为（元），
故四月后20天百合花销售总利润为（元）.
，
每天从云南固定空运250枝百合花，四月后20天百合花销售总利润更大.

19.（1）为AD的中点，且，则，

又因为，则，故四边形BCDQ为平行四边形，

因为，故四边形BCDQ为矩形，所以，

平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，

平面PAD，

因为平面MBQ，因此，平面平面PAD；

（2）连接PQ，由（1）可知，平面PAD，，Q为AD的中点，则，

以点Q为坐标原点，QA，QB，QP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，

设，

,

因为，则，解得，

，

，则.

因此，直线AP与BM所成角的余弦值为.

20.答案：（1）由题意知，，
所以，
，
所以，
所以当时，最大，最大值为.

（2）连接，交于点O，连接OM，则O为的中点，
因为平面，平面平面，
所以，所以M为的中点.
连接BD,AC，因为E,F分别为CB,CD的中点，所以.
又，所以.
因为平面ABCD,平面ABCD，所以.
又，所以平面.
又平面，所以.
同理，因为，所以平面EFM，
所以平面EFM，所以平面平面.
21.（1）证明：连接，交于点，连接，

∵在正方体中，为棱的中点，∴，

∵平面，平面，∴平面．

（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，

，，，，

，

设平面的法向量为，则，取，得，

设直线与平面所成角为，，

所以，故直线与平面所成角为．

22.（1）当时，，，

∴在单调递减，在单调递增，

，，

∴，.

（2），则，

∴在单调递增，在单调递减，

，当时，，当时，，

作出函数和得图像，

∴由图象可得，.