二次函数三角形存在性问题练习题-学生及教师版

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一、二次函数动点产生的等腰三角形
【知识点】
代数法：设点坐标，利用两点间距离公式表示出两条腰长度的平方，构造：；
几何法：利用两线一圆分析点的存在情况，利用几何关系或公式法求解；
方法：分类讨论：
①当A为顶点时，即AB=AC时，以A为圆心，AB为半径画圆
②当B为顶点时，即BA=BC时，以B为圆心，BA为半径画圆
③当C为顶点时，即CA=CB时，作线段AB的垂直平分线
【例题讲解】
★★☆例题1．如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△PAC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝4，OB＝1，
∴A（4，0），B（﹣1，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把C（0，4）代入得a•1•（﹣4）＝4，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+3x+4；
（2）作PD∥y轴，如图，
易得直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，﹣x+4），
∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PAC•PD•4＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
当x＝2时，S△PAC有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（2，6）；
（3）存在．
∵OA＝OC＝4，
∴AC＝4，
∴当QA＝QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；
当CQ＝CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（﹣4，0）；
当AQ＝AC＝4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4﹣4，0），
综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）．
★★☆练习1.如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，，
解得，，
∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，
设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴


，
∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为；
当时，，
此时，点E坐标为；
（3）如图2，连接AC，
①当CA＝CD时，此时CO为底边的垂直平分线，
满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，
点D1坐标为（﹣1，0）；
②当AD＝AC时，在Rt△ACO中，
∵OA＝1，OC＝3，
由勾股定理得，AC，
以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点，
此时它们的坐标分别为，；
③当DA＝DC时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，
设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P，过AC中点Q，
∵∠AOC＝∠BOC＝∠PQC＝∠PQA＝90°，∠D4PO＝∠CPQ，
∴∠ACO＝∠OD4P，
∴△D4AQ∽△CAO，
∴，
即，
∴D4A＝5，
∴OD4＝D4A﹣OA＝4，
∴点D4的坐标为（﹣4，0）；
综上所述，存在符合条件的点D，其坐标为D1（﹣1，0）或或或D4（﹣4，0）．
★★☆练习2．如图甲，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，
∴B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为x＝2，P（2，﹣1），
设M（2，t），且C（0，3），
∴MC，MP＝|t+1|，PC2，
∵△CPM为等腰三角形，
∴有MC＝MP、MC＝PC和MP＝PC三种情况，
①当MC＝MP时，则有|t+1|，解得t，此时M（2，）；
②当MC＝PC时，则有2，解得t＝﹣1（与P点重合，舍去）或t＝7，此时M（2，7）；
③当MP＝PC时，则有|t+1|＝2，解得t＝﹣1+2或t＝﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；
（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，
设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），
∵0＜x＜3，
∴EF＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∴S△CBE＝S△EFC+S△EFBEF•ODEF•BDEF•OB3（﹣x2+3x）（x）2，
∴当x时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），
即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．
二、二次函数动点产生的直角三角形
【知识点】
利用勾股定理构造三边关系；
利用两直线垂直，斜率之积关系代数求解；
利用两线一圆几何方法求解；
方法：分类讨论：
当∠A=时，过点A作线段AB的垂线
当∠B=时，过点B作线段AB的垂线
当∠C=时，以AB为直径作圆
【例题讲解】
★★☆例题1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2x+n与x轴的两个交点分别为A（﹣3，0），B（1，0），C为顶点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝mx2﹣2x+n得，，
解得：；
故m的值为﹣1，n的值为3；
（2）存在，
理由：过C作CE⊥y轴于E，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∴y＝﹣（x+1）2+4，
∴C（﹣1，4），
∴CE＝1，OE＝4，
设D（0，a），
则OD＝a，DE＝4﹣a，
∵△ACD是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴∠CDE＝∠DAO，
∴△CDE∽△DAO，
∴，
∴，
∴a1＝1，a2＝3，
∴点D的坐标为（0，1）或（0，3）．
★★☆练习1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1，t2；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，） 或（﹣1，）．
★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是直线AC上一动点，过点D作DE垂直于y轴于点E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点D的坐标；
（3）在AC上方的抛物线上是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（4，0），B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知：
当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝OA＝4，
∴AC＝4．
又∵D为AC的中点．
∴DF∥OC，
∴DFOC＝2，
∴点D的坐标为（2，2）；
（3）假设存在，设点P的坐标为（m，﹣m2+3m+4）．
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，4），
∴AP2＝（m﹣4）2+（﹣m2+3m+4﹣0）2＝m4﹣6m3+2m2+16m+32，CP2＝（m﹣0）2+（﹣m2+3m+4﹣4）2＝m4﹣6m3+10m2，AC2＝（0﹣4）2+（4﹣0）2＝32．
分两种情况考虑，．
①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2，
即m4﹣6m3+2m2+16m+32＝m4﹣6m3+10m2+32，
整理得：m2﹣2m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴点P的坐标为（2，6）；
②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2，
即m4﹣6m3+10m2+m4﹣6m3+2m2+16m+32＝32，
整理得：m（m3﹣6m2+6m+8）＝0，
∴m（m﹣4）（m2﹣2m﹣2）＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），（舍去），，
∴点P的坐标为（1，3）．
综上所述，假设成立，
即存在点P（2，6）或（1，3），使得△ACP是直角三角形．
三、二次函数动点产生的等腰直角三角形
【知识点】
按照等腰直角三角形的边角特征分情况讨论；
利用构建三垂直模型证明三角形全等的思路来证明等腰直角三角形
【例题讲解】
★★★例题1.如图，在等腰直角三角形中，，点在轴上，点在轴上，点，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式；
（2）把沿轴正方向平移，当点落在抛物线上时，求扫过区域的面积；
（3）在抛物线上是否存在异于点的点，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1）点在二次函数的图象上，
，解得：，
二次函数的解析式为
（2）作轴，垂足为．
为等腰直角三角形，
．
又，
．
又，
．
在和中，，，，
．
，．
，．
当点平移到点时，，则，解得（舍去）或．
．
扫过区域的面积
（3）当时，过点作轴，垂足为．
为等腰直角三角形，
，．
．
又，
．
在和中，，，，
．
，，
．
当时，，
点不在抛物线上．
当，过点作轴，垂足为．
同理可知：，
，，
．
当时，，
点在抛物线上．
★★★练习1．如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点的坐标为，点在抛物线上．
（1）点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）抛物线的解析式为 ；
（3）设（2）中抛物线的顶点为，求的面积；
（4）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1），，
，
；
过点作轴，垂足为，
，，，
在与中，
，
，
，，
，
的坐标为，
故答案为：，；
（2）把代入得：
，
解得，
抛物线解析式为：．
故答案为：；
（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点，，
设直线的关系式为，将点、的坐标代入得：
，
解得．
的关系式为．
设直线和 轴交点为，则点，，．
；
（4）假设存在点，使得仍然是以为直角边的等腰直角三角形：
①若以点为直角顶点；
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，
，，，
△．
，，
；
②若以点为直角顶点；则过点作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴，同理可证△，
，，
，
经检验，点与点都在抛物线上，
故点的坐标为与．
★★★例题2．如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，已知对称轴．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求的取值范围；
（3）设点是抛物线上任一点，点在直线上，能否成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1）抛物线的对称轴，，
抛物线过点
当时，．
又抛物线过点，
，
抛物线的解析式为：；
（2），，
直线解析式为，
，
顶点坐标为
对于直线，当时，，
将抛物线向下平移个单位长度，
当时，抛物线顶点落在上；
当时，抛物线顶点落在上，
将抛物线向下平移个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），
则；
（3）设，，
①当点在轴上方时，过点作垂直于轴，交轴与点，过点作垂直于的延长线于点，如图所示：
，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
则，，
在和中，，
，
，
，根据点坐标可得，且，
，
解得：或，
或．
②当点在轴下方时，过点作垂直于于点，过点作垂直于的延长线于点，
同理可得，
，
，，
则，
解得或．
，或，．
综上可得，符合条件的点的坐标是，，，和，．
★★★练习1.如图，抛物线与直线交于点、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于、作于，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示的长；
②设的周长为，求与的函数关系式，并求的最大值及此时点的坐标；
（3）点在抛物线上，点在轴上，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1）由题意，知：
，
解得
故抛物线的解析式为．
（2）①在上，可设，；
则；
②在中，令得，
直线与轴交于，，
，
的周长为；
轴，
，
，
当时，，此时．
（3）以点在轴左侧为例，如右图；
过作轴的垂线，设垂足为；若点作的垂线，设垂足为；
在与中，
，
，
；
当点在轴左侧时，与上相同，所以可设；
当点的坐标为时，有：
，解得：；
当点的坐标为时，有：
，解得：；
综上，点的坐标为，，，，，，，．
【课后练习】
★★☆1．如图，已知抛物线yx2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0）代入yx2+bx+4中，
得，
解得：b，
∴抛物线的解析式为yx2x+4；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4），
当y＝0时，x2x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝6，
∴点B的坐标为（6，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
将点B （6，0），点C （0，4）代入解析式y＝kx+n，得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为yx+4；
（3）∵抛物线yx2x+4与x轴相交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x，
假设存在点P，设P（2，t），
则AC，
AP，
CP，
∵△ACP为等腰三角形，
故可分三种情况：
①当AC＝AP时，，
解得：t＝±2，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）；
②当AC＝CP时，，
解得：t＝0或t＝8，
∴点P的坐标为（2，0）或（2，8），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣2，0）、C （0，4）代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
当x＝2时，y＝4+4＝8，
∴点（2，8）在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点（2，8）应舍去；
③当AP＝CP时，，
解得：t，
∴点P的坐标为（2，）；
综上可得，符合条件的点P存在，点P的坐标为：（2，2）或（2，﹣2）或（2，0）或（2，）．
★★☆2如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴PO＝PC，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，﹣4），
∴D（0，﹣2），
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x（小于0，舍去）或x，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵B（4，0），C（0，﹣4），
∴直线BC解析式为y＝x﹣4，
∴F（t，t﹣4），
∴PF＝（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S△PBC＝S△PFC+S△PFBPF•OEPF•BEPF•（OE+BE）PF•OB（﹣t2+4t）×4＝﹣2（t﹣2）2+8，
∴当t＝2时，S△PBC最大值为8，此时t2﹣3t﹣4＝﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的最大面积为8．
★★☆3．在平面直角坐标系中有Rt△AOB，O为原点，OB＝1，OA＝3，将此三角形绕点O顺时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A，B，C三点．
（1）求此抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线交于M，N两点，若S△PMN＝2，求k的值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q使得△DCQ为直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，且点A的坐标是（0，3），
∴点C的坐标为（3，0），
∵B点坐标为（0，﹣1），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），
∴此抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴点P（1，4）；
（2）直线l：y＝kx﹣k+3与抛物线的对称轴交点F的坐标为（1，3），
交抛物线于M（，），N（，），
∴PF＝1
由得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0，
∴+＝2﹣k，＝﹣k，
∵S△PMN＝2，
∴|﹣1||﹣1|＝2
∴1﹣+﹣1＝4，
∴-＝﹣4，
∴（+）2﹣4＝16，
∴k＝±2；
（3）存在t＝﹣1或t＝2或t＝4或t＝﹣5；
理由如下：
设点Q（1，t），
∴CD2＝10，CQ2＝22+t2，DQ2＝12+（t﹣1）2，
若∠DQC＝90°，则有22+t2+12+（t﹣1）2＝10，
∴t＝﹣1或t＝2；
若∠QDC＝90°，则有22+t2＝12+（t﹣1）2+10，
∴t＝4；
若∠DCQ＝90°，则有22+t2+10＝12+（t﹣1）2，
∴t＝﹣6；
综上所述：t＝﹣1或t＝2或t＝4或t＝﹣6．
★★☆4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a＝2，解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝3x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），
∵MB＝MB′，
∴MB+MD＝MB′+MD＝DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y＝x+3，
当x＝0时，y＝x+3＝3，
∴点M的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，
∵直线AC的解析式为y＝3x+3，
∴直线PC的解析式可设为yx+b，
把C（0，3）代入得b＝3，
∴直线PC的解析式为yx+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线AP的解析式可设为yx+b，
把A（﹣1，0）代入得b＝0，解得b，
∴直线AP的解析式为yx，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，），
★★☆5.如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，连结，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形面积关于的函数表达式及的最大值；
（3）若为抛物线的顶点，点在直线上，点在直线上，，，三点构成以为底边的等腰直角三角形，求点的坐标．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1）当时，，
，
，
当时，，
，
，
，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
，
；
（2）如图1，过作轴于，
，
，，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值是；
（3），
，
设直线的解析式为：，
把，代入得：，
解得：，
直线的解析式为：，
设，，
分两种情况：
①当在射线上时，如图2，
过作轴，分别过、作轴的平行线，交于、，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，，
解得：，
当时，，
，
②当在射线上时，如图3，
同理作辅助线，得，
，，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或．
★★☆6.在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点．
（1）直接写出：的值为 ；的值为 ；点的坐标为 ；
（2）点是线段上的一动点，动点在直线下方的二次函数图象上．设点的横坐标为．
①如图1，过点作于点，求线段关于的函数关系式，并求线段的最大值；
②若为等腰直角三角形，直接写出点的坐标 ．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
则点、的坐标为：、，
将点、的坐标代入抛物线表达式并解得：，，
故抛物线的表达式为：①，点；
故答案为：，，；
（2）①如图1，过点作轴的平行线交于点，
设点，点，
则，，则；
，
，故有最大值；
设点、的坐标分别为：，，；
②（Ⅰ）当时，如图2左图，
过点作轴的平行线交过点于轴的垂线于点，交轴于点，
则，
，，
即，，
解得：，
故点，；
（Ⅱ）当时，如图2右图，
同理可得：，
故点，；
（Ⅲ）当时，
则直线的表达式为：②，
联立①②并解得：或，
故点，不在线段的下方，舍去；
综上，点坐标为：，或，．
2.【拔高练习】
★★★1．练习4．（2017•潍坊）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F．点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：
（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC＝AD＝2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x＝1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y＝kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为yx，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，t），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（t）＝﹣t2t，
∴S△PEF＝S△PFM+S△PEMPM•FNPM•EHPM•（FN+EH）（﹣t2t）（3）（t）2，
∴当t时，△PEF的面积最大，其最大值为，
∴最大值的立方根为；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE＝90°或∠APE＝90°，
①当∠PAE＝90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴∠PAG＝∠APG＝45°，
∴PG＝AG，
∴t＝﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t＝0，解得t＝1或t＝0（舍去），
②当∠APE＝90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK＝﹣t2+2t+3，AQ＝t，KE＝3﹣t，PQ＝﹣t2+2t+3﹣3＝﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE＝∠APQ+∠PAQ＝90°，
∴∠PAQ＝∠KPE，且∠PKE＝∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1＝0，解得t或t（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
★★★2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点，经过点的直线与抛物线的另一交点为，与轴交点为，点是直线下方的抛物线上的一个动点（不与点，重合）．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）过点作，垂足为点，作轴交直线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与的函数关系式．
（3）点在抛物线的对称轴上运动，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．
【答案】答案见解析
【解答】解：（1）抛物线经过点，，
，解得：，分
该抛物线的解析式为：；分
（2）当时，，
解得：，，
，
设直线的解析式为：，
直线经过点，，
则，解得：，
直线的解析式为：；分
，，
由勾股定理得：，
设，则，
，分
轴，
，
，
，
，
，
，
，
；分
（3），
则抛物线的对称轴是，
分4种情况：
①当以为斜边，在轴下方，如图1和图2，过作轴于，
是等腰直角三角形，，
，
易得，
，
当时，，
解得：，，
，或，；
②当以为斜边，在轴上方，如图3和图4，过作轴于，
是等腰直角三角形，，
，
易得，
，
当时，，
解得：，（此时点在直线的上方，不符合题意，舍），
，；
③如图5，以为斜边，当在对称轴的左侧时，设，
过作轴于，对称轴于，
同理得：，
，
解得：，（舍，
，，
④如图6，以为斜边，当在对称轴的右侧时，设，
过作轴，过作，
同理得：，
，
解得：（舍，，
，，
综上所述，点的坐标为，或，或，或，或，分