专题06 分式（解析版）

这是一份专题06 分式（解析版），共32页。
专题06 分式
【热考题型】

【知识要点】
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。
【判断分式的注意事项】
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：

要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
【名师点拨】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
【答案】
【提示】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】
=

故答案为
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【提示】通过探索数字变化的规律进行提示计算．
【详解】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
【详解】（1）


；
（2）



∵，
∴原式=．
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
【答案】
【提示】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
【详解】
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【提示】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式




当时，原式，
故答案是： ．
【名师点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．

第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【提示】任务一：①根据分式的基本性质提示即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：

．
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【提示】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
【名师点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】，10．
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=2(x+4)
=2x+8
当-2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
【名师点拨】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【提示】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴

故选：B
【名师点拨】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（    ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】D
【提示】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
【答案】15
【提示】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：==a(a-2)=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．
【名师点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【提示】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
【详解】解：



，
∵，
∴原式．
【名师点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，0
【提示】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
【详解】解：



；
∵，
∴原式．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【答案】，当x=2时，原分式的值为
【提示】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．
【详解】解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
【名师点拨】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
【提示】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式




，
，
，
又为满足的整数，
或，
当时，原式，
当时，原式，
综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
【答案】4
【提示】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式；
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
整数指数幂
1. am⋅an=am+n
2. amn=amn
3. abn=anbn
4. am÷an=am−n（a≠0）
5. abn=anbn
6. a−n=1an（a≠0）
7. a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
【答案】5
【提示】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【名师点拨】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
【答案】