内蒙古赤峰二中2022-2023学年高二上学期期末考试数学（理）试题（含答案）

赤峰二中2021级高二上学期期末测试

理科数学

一、单选题(共60分，每小题5分)

1．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（    ）

A． B． C． D．

2．已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

4．关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；

丁：的焦点在轴上. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．若直线是曲线的一条切线，则实数（    ）

A． B． C． D．

6．用数学归纳法证明：“为正整数，在到时的证明中，（    ）

A．左边增加的项为 B．左边增加的项为

C．左边增加的项为 D．左边增加的项为

7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．设，则下列关系正确的是（    ）

A．     B．   C．     D．

二、填空题(共20分，每小题5分)

13．______.

14．数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为__________.

15．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.

16．已知函数（）如果对任意，，则的取值范围为_____________ . 

三、解答题(共0分)

17．已知，命题：“，”，命题：“”.

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.

18．已知数列的前n项和为，且满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)，数列是否存在最大项，若存在，求出最大项.

19．设函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．

20．如图，已知三棱柱中，平面平面，，，，E，F分别是的中点．

(1)证明：；

(2)求二面角的正弦值．

21．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求证：               .

22．在直角坐标系中，抛物线，点P是直线上任意一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A、B，去线段AB的中点M，连接PM交C于点N．

(1)求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；

(2)求的值；

(3)当P在直线上运动时，求的面积的最小值，并求出此时P的坐标．

参考答案：

一．DDCAD   DBCAB  DC

二．                       

1．D

【分析】设，代入已知等式，利用复数相等的定义求得关系，然后判断．

【详解】设，

由已知得，即，

∴，即，对照各选项，只有D满足．

故选：D．

2．D

【分析】依题意可得，根据椭圆的定义可知顶点的轨迹是以，为焦点长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），从而求出轨迹方程.

【详解】解：∵的周长为，，

∴，，

∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），

又，，可得，

∴顶点的轨迹方程为：．

故选：D．

3．C

【分析】将命题等价转化为“”为真命题，也即，求出实数的取值，然后根据充分不必要条件的判断即可求解.

【详解】由命题“”为假命题，

则该命题的否定：“”为真命题，

也即，所以，

所以为该命题的一个充分不必要条件，

故选：C.

4．A

【分析】利用题中的条件，假设甲乙都对，根据逻辑关系可以推出矛盾，进而可以确定选项．

【详解】解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为，

椭圆的焦距为：，且焦点在轴上，

此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．

当乙，丙和丁是真命题时，，，

，

此时椭圆方程为：，符合题意，故甲是假命题．

故选：．

5．D

【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.

【详解】因为，所以，令，即，

得或（舍去），所以切点是，代入，

得，.

故选：D

6．D

【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1 时，等式的左边，比较可得所求．

【详解】当n＝k时，等式的左边为，

当n＝k+1 时，等式的左边为，

故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．

故选：D．

7．B

【分析】设直线交于点，则可得，从而可得点的纵坐标为2，则可求出的横坐标，然后利用抛物线的定义可求得结果.

【详解】由，得抛物线的焦点为，准线为直线，

设直线交于点，则为的中点，

因为∥，，

所以，

因为垂直l于点Q，

所以点的纵坐标为2，

当时，，得，

所以点的横坐标与F相同，

所以，

故选：B

8．C

【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.

【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减.

在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得.

故实数a的取值范围是.

故选：C.

9．A

【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.

【详解】由余弦定理，又，故，

由正弦定理知：，则，

所以，而，

则且，

又，当时的最大值为.

故选：A

【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.

10．B

【分析】构函数函数，根据为奇函数，得为偶函数.求导并利用已知得到在上单调递增，再根据为偶函数得到在上单调递减，利用的单调性可求出结果.

【详解】设，因为为奇函数，所以，

所以，所以为偶函数，

对求导得，

因为当时，，所以，则在上单调递增，

又因为为偶函数，则在上单调递减，

因为，

所以当时，，

当时，，

所以使得成立的x的取值范围是.

故选：B．

11．D

【分析】因为过作圆的切线，切点为，故，过作 于M，

利用得关于a,b的不对等时，从而得出关于e的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出.

【详解】

过作 于M，

,O为 的中点，

， ，

令 ，则 ，

，

在 中，

解得 ,

即 ， ，

且 与左支有交点， ，即 ，

，

.

故选：D

【点睛】充分利用题中相切的特点，以及双曲线自身的几何特征，建立关于a,b,c的不等式，得出离心率的范围，特别是切线与双曲线左支有交点这个条件的利用.

12．C

【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.

【详解】记，因为，当时，，所以在上单调递增，

则当时，，即，取，所以，

记，因为，所以在上单调递减，

则当时，，即，取，所以，故，即；

记，因为，当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，即，取，所以，即；

所以.

故选：C.

13． ##

【分析】根据定积分的运算法则以及定积分的几何意义可求出结果.

【详解】,

表示圆心为原点，3为半径的半圆的面积，

所以.

所以.

故答案为：

14．

【分析】先根据累加法求出数列的通项公式，然后利用裂项求和进行求解.

【详解】由，则，……，于是，则，故数列的前项的和为：.

故答案为：

15．

【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.

【详解】解：如图所示，

由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，

所以，，

即，，

所以双曲线的方程为：，

所以，，，

由双曲线定义得，

所以

，

当三点共线时，最小为

故.

故答案为：.

16．

【分析】由题可得函数在上单调递减，进而可得，即函数单调递减，再利用导函数与单调性的关系可得，利用二次函数的性质即求.

【详解】∵函数(),

∴函数f (x)的定义域为，，

∴函数在上单调递减，

又对任意，，

不妨假设，则，

所以等价于，即，

令，则函数单调递减，

又+4＝，

于是≤0在上恒成立，即，又，，

∴，解得.

所以的取值范围为.

故答案为：.

17．(1)；

(2).

【分析】（1）对分离参数，求得函数在区间上的最小值，即可求得参数范围；

（2）对命题，根据一元二次方程有根求得参数的范围，结合（1）中所求，分类讨论即可.

【详解】（1）∵命题：“，”，

故，对恒成立；又在上的最小值为时的函数值,

∴实数的取值范围是；

（2）由（1）可知，当命题为真命题时，，

命题为真命题时，=4a2，解得或.

∵命题“”为真命题，命题“”为假命题，

∴命题与命题必然一真一假，

当命题为真，命题为假时，，

当命题为假，命题为真时，且，解得.

综上：实数的取值范围是：.

18．(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据题意，由与的关系即可得到为等比数列，从而得到数列的通项公式；

（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列的通项公式，结合条件列出不等式，即可得到结果.

【详解】（1）①，

当时，，

当，，②

①-②得：，即，，

由知即，

所以是首项为1公比为2的等比数列，得，

所以数列的通项公式为：.

（2），

，，

令得或，即，

令得，即，

当时，

当时，又，

所以数列最大项为.

19．(1)极大值，极小值；

(2).

【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.

（2）根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征列出不等式求解作答.

【详解】（1）当时，，求导得：，

当或时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在取得极大值，在取得极小值.

（2）函数，求导得：，

当时，，当且仅当且时取等号，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意，

当时，当或时，，当时，，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，

则函数在取得极大值，在取得极小值，

因为三次函数有三个零点，从而，即，解得，

所以实数的取值范围是.

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据题意得，根据面面垂直的性质定理得平面，，根据线面垂直的判定定理得到平面，再得到；

（2）以E为原点，在平面中，过点E作的垂线为x轴，所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.

【详解】（1）连接，∵E是的中点，，∴，

又∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，因为平面，

∴，又，

∴，因为平面，平面，，

∴平面，因为平面，∴．

（2）以E为原点，在平面中，过点E作的垂线为x轴，所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

，

∴，

易知平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则,

令，∴，∴，

，

所以.

∴二面角的正弦值为.

21．(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用的导函数的正负情况去讨论函数单调性即可；

（2）构造新函数，并利用其导函数求得最小值非负，从而证明不等式成立

（1）

由题意知，

当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；

当时，令，解得，令，解得，

故函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）

当时，，令，

则.

令，则在上恒成立

所以函数在区间上是增函数，

又，

所以函数存在唯一的零点，

且当时，；当时，.

所以当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

故，

由得：，即，

两边取对数得，故.

所以，即.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

22．(1)证明见解析，定点的坐标为

(2)

(3)的最小值为4，此时的坐标为

【分析】（1）设出，，，求出导函数，得到，

写出直线PA的方程与PB的方程，从而得到直线AB的方程，得到直线AB所过定点；

（2）将直线AB的方程与C的方程联立，求出点M，N的坐标，根据求出答案；

（3）由弦长公式求出，进而求出点P到AB的距离，求出三角形面积.

（1）

设，，．

因为直线与抛物线相切，，所以，

所以直线PA的方程可表示为．

因为点P在PA上，所以，化简得．

同理可得，B点的坐标满足．

所以，直线AB的方程为，变形为，

所以直线AB过定点．

（2）

由直线AB的方程与C的方程联立得，所以，

点M的横坐标为，

所以，，所以．

（3）

由（2）得：直线AB的方程与联立得：，

所以， 直线的斜率为，

由弦长公式得，

点P到AB的距离，

所以，

所以当时，取得最小值4，此时P（2，0）