2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期期末考试数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年内蒙古赤峰二中高二上学期期末考试数学（理）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，代入已知等式，利用复数相等的定义求得关系，然后判断．
【详解】设，
由已知得，即，
∴，即，对照各选项，只有D满足．
故选：D．
2．已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，根据椭圆的定义可知顶点的轨迹是以，为焦点长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），从而求出轨迹方程.
【详解】解：∵的周长为，，
∴，，
∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），
又，，可得，
∴顶点的轨迹方程为：．
故选：D．
3．命题“”为假命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将命题等价转化为“”为真命题，也即，求出实数的取值，然后根据充分不必要条件的判断即可求解.
【详解】由命题“”为假命题，
则该命题的否定：“”为真命题，
也即，所以，
所以为该命题的一个充分不必要条件，
故选：C.
4．关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】利用题中的条件，假设甲乙都对，根据逻辑关系可以推出矛盾，进而可以确定选项．
【详解】解：当甲乙为真命题时，椭圆方程为，
椭圆的焦距为：，且焦点在轴上，
此时丙和丁都是假命题，不符合题意，因此甲和乙有一个是假命题．
当乙，丙和丁是真命题时，，，
，
此时椭圆方程为：，符合题意，故甲是假命题．
故选：．
5．若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.
【详解】因为，所以，令，即，
得或（舍去），所以切点是，代入，
得，.
故选：D
6．用数学归纳法证明：“为正整数”，在到时的证明中，（ ）
A．左边增加的项为B．左边增加的项为
C．左边增加的项为D．左边增加的项为
【答案】D
【分析】根据式子的结构特征，求出当n＝k时，等式的左边，再求出n＝k+1 时，等式的左边，比较可得所求．
【详解】当n＝k时，等式的左边为，
当n＝k+1 时，等式的左边为，
故从“n＝k到n＝k+1”，左边所要添加的项是．
故选：D．
7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，垂直l于点Q，与y轴交于点T，O为坐标原点，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】设直线交于点，则可得，从而可得点的纵坐标为2，则可求出的横坐标，然后利用抛物线的定义可求得结果.
【详解】由，得抛物线的焦点为，准线为直线，
设直线交于点，则为的中点，
因为∥，，
所以，
因为垂直l于点Q，
所以点的纵坐标为2，
当时，，得，
所以点的横坐标与F相同，
所以，
故选：B
8．函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.
【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减.
在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得.
故实数a的取值范围是.
故选：C.
9．△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可.
【详解】由余弦定理，又，故，
由正弦定理知：，则，
所以，而，
则且，
又，当时的最大值为.
故选：A
【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值.
10．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构函数函数，根据为奇函数，得为偶函数.求导并利用已知得到在上单调递增，再根据为偶函数得到在上单调递减，利用的单调性可求出结果.
【详解】设，因为为奇函数，所以，
所以，所以为偶函数，
对求导得，
因为当时，，所以，则在上单调递增，
又因为为偶函数，则在上单调递减，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以使得成立的x的取值范围是.
故选：B．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】因为过作圆的切线，切点为，故，过作 于M，
利用得关于a,b的不对等时，从而得出关于e的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出.
【详解】
过作 于M，
,O为 的中点，
， ，
令 ，则 ，
，
在 中，
解得 ,
即 ， ，
且 与左支有交点， ，即 ，
，
.
故选：D
【点睛】充分利用题中相切的特点，以及双曲线自身的几何特征，建立关于a,b,c的不等式，得出离心率的范围，特别是切线与双曲线左支有交点这个条件的利用.
12．设，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.
【详解】记，因为，当时，，所以在上单调递增，
则当时，，即，取，所以，
记，因为，所以在上单调递减，
则当时，，即，取，所以，故，即；
记，因为，当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，即，取，所以，即；
所以.
故选：C.
二、填空题
13．______.
【答案】 ##
【分析】根据定积分的运算法则以及定积分的几何意义可求出结果.
【详解】,
表示圆心为原点，3为半径的半圆的面积，
所以.
所以.
故答案为：
14．数列满足，且对任意的都有，则数列的前100项的和为__________.
【答案】
【分析】先根据累加法求出数列的通项公式，然后利用裂项求和进行求解.
【详解】由，则，……，于是，则，故数列的前项的和为：.
故答案为：
15．已知双曲线方程为，焦距为8，左､右焦点分别为，，点A的坐标为，P为双曲线右支上一动点，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由焦距为8，求得，即可得双曲线方程，进而可得，结合图形，只有当三点共线时，取最小值为，求出即得答案.
【详解】解：如图所示，
由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8，
所以，，
即，，
所以双曲线的方程为：，
所以，，，
由双曲线定义得，
所以
，
当三点共线时，最小为
故.
故答案为：.
16．已知函数（）如果对任意，，则的取值范围为_____________ .
【答案】
【分析】由题可得函数在上单调递减，进而可得，即函数单调递减，再利用导函数与单调性的关系可得，利用二次函数的性质即求.
【详解】∵函数(),
∴函数f (x)的定义域为，，
∴函数在上单调递减，
又对任意，，
不妨假设，则，
所以等价于，即，
令，则函数单调递减，
又+4＝，
于是≤0在上恒成立，即，又，，
∴，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题
17．已知，命题：“，”，命题：“”.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）对分离参数，求得函数在区间上的最小值，即可求得参数范围；
（2）对命题，根据一元二次方程有根求得参数的范围，结合（1）中所求，分类讨论即可.
【详解】（1）∵命题：“，”，
故，对恒成立；又在上的最小值为时的函数值,
∴实数的取值范围是；
（2）由（1）可知，当命题为真命题时，，
命题为真命题时，=4a2，解得或.
∵命题“”为真命题，命题“”为假命题，
∴命题与命题必然一真一假，
当命题为真，命题为假时，，
当命题为假，命题为真时，且，解得.
综上：实数的取值范围是：.
18．已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)，数列是否存在最大项，若存在，求出最大项.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意，由与的关系即可得到为等比数列，从而得到数列的通项公式；
（2）根据题意，由（1）中的结论即可得到数列的通项公式，结合条件列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）①，
当时，，
当，，②
①-②得：，即，，
由知即，
所以是首项为1公比为2的等比数列，得，
所以数列的通项公式为：.
（2），
，，
令得或，即，
令得，即，
当时，
当时，又，
所以数列最大项为.
19．设函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)极大值，极小值；
(2).
【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.
（2）根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征列出不等式求解作答.
【详解】（1）当时，，求导得：，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在取得极大值，在取得极小值.
（2）函数，求导得：，
当时，，当且仅当且时取等号，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意，
当时，当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在取得极大值，在取得极小值，
因为三次函数有三个零点，从而，即，解得，
所以实数的取值范围是.
20．如图，已知三棱柱中，平面平面，，，，E，F分别是的中点．
(1)证明：；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据题意得，根据面面垂直的性质定理得平面，，根据线面垂直的判定定理得到平面，再得到；
（2）以E为原点，在平面中，过点E作的垂线为x轴，所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.
【详解】（1）连接，∵E是的中点，，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，因为平面，
∴，又，
∴，因为平面，平面，，
∴平面，因为平面，∴．
（2）以E为原点，在平面中，过点E作的垂线为x轴，所在直线分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
，
∴，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则,
令，∴，∴，
，
所以.
∴二面角的正弦值为.
21．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用的导函数的正负情况去讨论函数单调性即可；
（2）构造新函数，并利用其导函数求得最小值非负，从而证明不等式成立
【详解】（1）由题意知，
当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，令，
则.
令，则在上恒成立
所以函数在区间上是增函数，
又，
所以函数存在唯一的零点，
且当时，；当时，.
所以当时，；当时，.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
故，
由得：，即，
两边取对数得，故.
所以，即.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．在直角坐标系中，抛物线，点P是直线上任意一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A、B，去线段AB的中点M，连接PM交C于点N．
(1)求证：直线AB过定点，且求出定点的坐标；
(2)求的值；
(3)当P在直线上运动时，求的面积的最小值，并求出此时P的坐标．
【答案】(1)证明见解析，定点的坐标为
(2)
(3)的最小值为4，此时的坐标为
【分析】（1）设出，，，求出导函数，得到，
写出直线PA的方程与PB的方程，从而得到直线AB的方程，得到直线AB所过定点；
（2）将直线AB的方程与C的方程联立，求出点M，N的坐标，根据求出答案；
（3）由弦长公式求出，进而求出点P到AB的距离，求出三角形面积.
【详解】（1）设，，．
因为直线与抛物线相切，，所以，
所以直线PA的方程可表示为．
因为点P在PA上，所以，化简得．
同理可得，B点的坐标满足．
所以，直线AB的方程为，变形为，
所以直线AB过定点．
（2）由直线AB的方程与C的方程联立得，所以，
点M的横坐标为，
所以，，所以．
（3）由（2）得：直线AB的方程与联立得：，
所以，
直线的斜率为，
由弦长公式得，
点P到AB的距离，
所以，
所以当时，取得最小值4，此时P（2，0）．
【点睛】抛物线相关的切线方程问题，通常结合导函数，利用导函数的几何意义求出切线方程，再利用题目信息进行相关的求解.