2022-2023 数学华师大版中考考点经典导学 考点10一次函数

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真题演练
一、单选题
1．（2021·山东济南·中考真题）反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．
【详解】
反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，
∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．
观察选项只有D选项符合．
故选D
2．（2021·山东潍坊·中考真题）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
分别画出函数的图像，然后根据min|x1，x2，…，xn|＝﹣1即可求得．
【详解】
如图所示，分别画出函数的图像，
由图像可得， ，
故选：B．
3．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先证明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，ACD都是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．
如图1，当0≤x≤1时，AQ=2x，AP=x，
作PE⊥AB于E，
∴，
∴，
故D选项不正确；
如图2，当1＜x≤2时，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，
作PF⊥BC与F，作QH⊥AB于H，
∴，
，
∴，
故B选项不正确；
当2＜x≤3时，CP=x-2，CQ=2x-4，
∴PQ=x-2，
作AG⊥CD于G，
∴，
∴，
故C不正确．
故选：A
4．（2020·山东济南·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】
解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
5．（2020·山东日照·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ）
A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）
【答案】A
【分析】
直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【详解】
解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，
∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．
故选：A．
6．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】
当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，
故选：D．
7．（2020·山东潍坊·中考真题）若定义一种新运算：例如：；．则函数的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据，可得当时，，分两种情况当时和当时，分别求出一次函数的关系式，然后判断即可．
【详解】
解：当时，，
∴当时，，
即：，
当时，，
即：，∴，
∴当时，，函数图像向上，随的增大而增大，
综上所述，A选项符合题意，
故选：A．
8．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】
由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
9．（2020·山东济宁·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）
A．x=20B．x=5C．x=25D．x=15
【答案】A
【分析】
两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】
解：由图可知：
直线y=x+5和直线y=ax+b交于点P（20，25），
∴方程x+5=ax+b的解为x=20．
故选：A．
10．（2020·山东郓城·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：当时，如图，
则，为常数；
当时，如下图，
则，为一次函数；
故选：D．
二、填空题
11．（2021·山东济南·中考真题）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．
【答案】15
【分析】
由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．
【详解】
解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，
设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：
，解得：，
∴水位与时间的函数解析式为，
∴当=8时，则有，解得：，
故答案为15．
12．（2021·山东潍坊·中考真题）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 _______．
【答案】y=-x+1（答案不唯一）．
【分析】
设一次函数解析式为y=kx+b，根据函数的性质得出b=1，k＜0，从而确定一次函数解析式，本题答案不唯一．
【详解】
解：设一次函数解析式为y=kx+b，
∵函数的图象经过点（0，1），
∴b=1，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，取k=-1，
∴y=-x+1，此函数图象不经过第三象限，
∴满足题意的一次函数解析式为：y=-x+1（答案不唯一）．
13．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．

【答案】
【分析】
先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】
解：如图所示，∵D（0，4），
∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），
∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），
∴EF=HG，EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EH=FG，
∴FG =ED，
∵B（-4，6），
∴BD=，
又∵EF＝3，
∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，
而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），
∴，
∴，
∴，
当y=0时，，
∴，
∴
故答案为：．
14．（2020·山东东营·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过A（1，﹣1），B（﹣1，3）两点，则k 0（填“＞”或“＜”）
【答案】＜.
【分析】
根据A（1，-1），B（-1，3），利用横坐标和纵坐标的增减性判断出k的符号．
【详解】
∵A点横坐标为1，B点横坐标为-1，
根据-1＜1，3＞-1，
可知，随着横坐标的增大，纵坐标减小了，
∴k＜0．
故答案为＜．
15．（2020·山东临沂·中考真题）点和点在直线上，则m与n的大小关系是_________．
【答案】m＜n
【分析】
先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．
【详解】
解：∵直线中，k=2＞0，
∴此函数y随着x的增大而增大，
∵＜2，
∴m＜n．
故答案为：m＜n．
三、解答题
16．（2021·山东滨州·中考真题）甲、乙两车沿同一条笔直的道路匀速同向行驶，车速分别为20米/秒和25米/秒．现甲车在乙车前500米处，设x秒后两车相距y米，根据要求解答以下问题：
（1）当（秒）时，两车相距多少米？当（秒）时呢？
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在给出的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中所求函数的图象．
【答案】（1）当x=50（秒）时，两车相距250米，当x=150（秒）时，两车相距250米；（2）；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意，可以先计算出两车相遇需要的时间，然后即可计算出当x=50和x=150时，两车的距离；
（2）先计算出两车相遇需要的时间，然后根据x的取值范围不同，写出相应的函数解析式即可；
（3）根据（2）中的函数解析式和两点确定一次函数的图象的方法，可以画出相应的函数图象．
【详解】
解：（1）∵500÷（25-20）=500÷5=100（秒），
∴当x=50时，两车相距：20×50+500-25×50=1000+500-1250=250（米），
当x=150时，两车相距：25×150-（20×150+500）=3750-（3000+500）=3750-3500=250（米），
答：当x=50（秒）时，两车相距250米，当x=150（秒）时，两车相距250米；
（2）由题意可得，乙车追上甲车用的时间为：500÷（25-20）=500÷5=100（秒），
∴当0≤x≤100时，y=20x+500-25x=-5x+500，
当x＞100时，y=25x-（20x+500）=25x-20x-500=5x-500，
由上可得，y与x的函数关系式是；
（3）在函数y=-5x+500中，当x=0时，y=-5×0+500=500，当x=100时，y=-5×100+500=0，
即函数y=-5x+500的图象过点（0，500），（100，0）；
在函数y=5x-500中，当x=150时，y=250，当x=200时，y=500，
即函数y=5x-500的图象过点（150，250），（200，500），
画出（2）中所求函数的图象如图所示．
17．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．
（1）求抛物线的关系式及点的坐标；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标；
（3）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．
【答案】（1），；（2）或；（3）证明见解析．
【分析】
（1）先根据直线求出点的坐标，再将点和原点坐标代入抛物线的解析式即可得；
（2）如图（见解析），先求出直线与抛物线的另一个交点的坐标为，再设点的坐标为，从而可得点的坐标为，然后分和两种情况，分别利用三角形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得；
（3）如图（见解析），先根据一次函数图象的平移规律求出直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式可得的长，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得证．
【详解】
解：（1）对于函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
将点和原点代入得：，
解得，
则抛物线的关系式为，
将化成顶点式为，
则顶点的坐标为；
（2）设直线与抛物线的另一个交点为点，
联立，解得或，
则，
过点作轴的平行线，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，
则，
，
因此有，
解得或，均符合题设，
当时，，即，
当时，，即；
②如图，当时，
则，
，
因此有，
解得或，均不符题设，舍去，
综上，点的坐标为或；
（3）由题意得：，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
如图，过点作于点，
可设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得，即，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，，
由三角形的外角性质得：，
．
18．（2021·山东潍坊·中考真题）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
【答案】（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由见解析；（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.
【分析】
（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较结果即可．
【详解】
解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；
（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.一次函数的相关概念
（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.
例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,
2.一次函数的性质
k，b
符号
K＞0，
b＞0
K＞0，
b＜0
K＞0，b=0
k<0，
b>0
k<0，
b<0
k<0，
b＝0
（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.
（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.
例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．
大致
图象
经过象限
一、二、三
一、三、四
一、三
一、二、四
二、三、四
二、四
图象性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
3.一次函数与坐标轴交点坐标
(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,k)，0))，与y轴的交点是(0，b)；
(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
例：
一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.
知识点二 ：确定一次函数的表达式
4.确定一次函数表达式的条件
（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：
①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；
②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；
③解：求出k与b的值，得到函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；
③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.
(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.
(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.
5.一次函数图象的平移
规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.
例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．
知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系
6.一次函数与方程
一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
例：
（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.
（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．
7.一次函数与方程组
y=k2x+b
y=k1x+b

二元一次方程组 的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.
8.一次函数与不等式
（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
知识点四 ：一次函数的实际应用
9.一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围；
（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
10.常见题型
（1）求一次函数的解析式.
（2）利用一次函数的性质解决方案问题.
…
1
2
3
5
…
…
2.4
2.8
3.4
4
…
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3