2022-2023 数学华师大版中考考点经典导学 考点02整式于因式分解

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真题演练
一、单选题
1．（2021·山东日照·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【详解】
解：A．由合并同类项的法则，得，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得，故B不符合题意．
C．由同底数幂的除法，得，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得，故D符合题意．
故选：D．
2．（2021·山东日照·中考真题）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】D
【分析】
利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值．
【详解】
解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第2项可能是2，也可能是16．
当变换中的第2项是2时，第1项是4；当变换中的第2项是16时，第1项是32或5，
则的所有可能取值为4或32或5，一共3个，
故选：D．
3．（2021·山东滨州·中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据单项式加单项式和合并同类项的方法可以判断A，根据同底数幂的乘法可以判断B，根据单项式乘单项式可以判断C，根据幂的乘方可以判断D．
【详解】
解：2a+3a=5a，故选项A不符合题意；
a2•a3=a5，故选项B不符合题意；
2a•3a=6a2，故选项C符合题意；
（a2）3=a6，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．（2021·山东潍坊·中考真题）下列运算正确的是 ．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式、负数指数幂、分式的化简、根式的化简分别计算解答即可．
【详解】
解：A、，选项运算正确；
B、，选项运算错误；
C、是最简分式，选项运算错误；
D、，选项运算错误；
故选：A．
5．（2021·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
分别根据积的乘方和幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法、完全平方公式以及合并同类项的运算法则对各项进行计算后再判断即可．
【详解】
解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. 原选项计算正确 ，符合题意；
C. ，原选项计算错误，不符合题意；
D. ，原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
6．（2021·山东济宁·中考真题）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
7．（2021·山东诸城·二模）若，则代数式的值是（ ）
A．0B．C．20D．
【答案】C
【分析】
由得到，再将分组进行因式分解得到，最后代入求值即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵
=
∴原式==25-5=20，
故选：C．
8．（2021·山东临沂·一模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据同底数幂的乘法、完全平方公式、利用公式法进行因式分解逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误，不符题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符题意；
D、，此项正确，符合题意；
故选：D．
9．（2021·山东冠县·一模）分解因式结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可得出结论．
【详解】
解：．
故选：A．
10．（2021·山东·武城县四女寺镇明智中学一模）已知方程组，则的值为（ ）
A．-1B．0C．2D．-3
【答案】D
【分析】
先分别利用加、减法求出x＋y与x−y的值，原式分解后代入计算即可求出值．
【详解】
解：，
①＋②得：，即，
①−②得：，
．
故选：D．
二、填空题
11．（2021·山东淄博·中考真题）分解因式：________．
【答案】
【分析】
根据因式分解的方法可直接进行求解．
【详解】
解：；
故答案为．
12．（2021·山东威海·中考真题）分解因式：________________．
【答案】
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式即可分解．
【详解】
解：．
故答案为：
13．（2021·山东东营·中考真题）因式分解：________．
【答案】
【分析】
先提取公因式b，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可．
【详解】
解：
故答案为：
14．（2020·山东烟台·中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为_____．
【答案】18
【分析】
根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值．
【详解】
解：∵﹣3＜﹣1，
∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18，
故答案为：18．
15．（2020·山东威海·中考真题）如图①，某广场地面是用．．三种类型地砖平铺而成的，三种类型地砖上表面图案如图②所示，现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块（型）地砖记作，第二块（型）地时记作…若位置恰好为型地砖，则正整数，须满足的条是__________．
【答案】m、n同为奇数或m、n同为偶数
【分析】
几何图形，观察A型地砖的位置得到当列数为奇数时，行数也为奇数，当列数为偶数，行数也为偶数的，从而得到m、n满足的条件．
【详解】
解：观察图形，A型地砖在列数为奇数，行数也为奇数的位置上或列数为偶数，行数也为偶数的位置上，
若用（m，n）位置恰好为A型地砖，正整数m，n须满足的条件为m、n同为奇数或m、n同为偶数，
故答案为：m、n同为奇数或m、n同为偶数．
三、解答题
16．（2021·山东日照·中考真题）（1）若单项式与单项式是一多项式中的同类项，求、的值；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）m=2，n=-1；（2），
【分析】
（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得和的值；
（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】
解：（1）由题意可得，
②①，可得：，
解得：，
把代入①，可得：，
解得：，
的值为2，的值为；
（2）原式
，
当时，
原式．
17．（2021·山东青岛·中考真题）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
【答案】问题探究：见解析；问题解决：（1）12；（2）当为奇数时，整数边三角形个数为；当为偶数时，整数边三角形个数为；（3）4160；拓展延伸：295
【分析】
问题探究：
根据（1）（2）（3）（4）的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；
问题解决：
（1）由最长边长分别为1，2，3，4，5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的三角形的个数；
（2）分两种情况讨论：当为奇数，当为偶数，再从具体到一般进行推导即可；
（3）当最长边长时，为偶数，再代入进行计算，即可得到答案；
拓展延伸：
分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：个，当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，底边三角形共有：个，从而可得答案.
【详解】
解：问题探究：
问题解决：
（1）最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，
所以最长边长为6的三角形有：个，
故答案为：
（2）由（1）得：
最长边长为1的三角形有：个，
最长边长为3的三角形有：个，
最长边长为5的三角形有：个，

所以当为奇数时，整数边三角形个数为；
最长边长为2的三角形有：个，
最长边长为4的三角形有：个，
最长边长为6的三角形有：个，
所以当为偶数时，整数边三角形个数为.
（3）当最长边长时，为偶数，
可得此时的三角形个数为：
故答案为：
拓展延伸：
当9是底边的棱长时，
最长边长为9的三角形个数有：个，
而直三棱柱的高分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，
所以这样的直三棱柱共有：个，
当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1，2，3，4，5，6，7，8，
底边三角形共有：个，
所以这样的直三棱柱共有：个，
综上，满足条件的直三棱柱共有个.
故答案为：
18．（2021·山东阳谷·一模）先化简：，再从不等式组中选取一个合适的整数，代入求值．
【答案】，-1
【分析】
先将括号内的异分母分式通分，除式的分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分，结果化为最简分式或整式；求出不等式的整数解，从中选择符合条件的x值，代入求得化简后的分式或整式的值．
【详解】
解：原式
．
不等式组的整数解为-2，-1，0，1，2，
其中时，原式都没有意义，知识点一：代数式及相关概念
关键点拨及对应举例
1.代数式
（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．
（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．
求代数式的值常运用整体代入法计算.
例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.
2.整式 （单项式、多项式）
（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.
（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.
（3）整式：单项式和多项式统称为整式.
（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.
例：
（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.
（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是 __1 .
知识点二：整式的运算
3.整式的加减运算
(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．
(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.
(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.
失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.
4.幂运算法则
(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；
(2)幂的乘方：(am)n＝amn；
(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；
(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n (a≠0).
其中m,n都在整数
(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.
（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.
5.整式的乘除运算
(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．
(2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.
(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.
(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.
(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．
失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.
（6）乘法
公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式：
a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2
6.混合运算
注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．
例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.
知识点五：因式分解
7.因式分解
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.
(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；
(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
1
1个1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
1
2个1
2
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
1
2个2
2
，
2
3
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
1
3个2
2
，
2
3
，
2
4
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
3
，，
3
3个3