人教版七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组课后测评

2022-2023学年人教版初中下册数学七年级经典题精练---实际问题与二元一次方程组综合题

一．选择题（共6小题）

1．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；⑤43m＝n+2．

其中正确的是（　　）

A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④

2．学校组织师生共360人参观机器人中心，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达机器人中心的租车方案有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

3．已知某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，若女生人数的2倍比男生多140人，则可列二元一次方程为（　　）

A．2n＝m+140 B．2n＝m﹣140 C．2n＝m﹣n+140 D．2n＝m﹣n﹣140

4．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）

6．一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（　　）

A．26 B．62 C．71 D．53

二．填空题（共6小题）

7．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，可列方程为：　   　．

8．设A、B为自然数，且满足＝，A+B＝　   　．

9．已知甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元．某人买了x个甲种面包和y个乙种面包，共花了30元、请列出关于x，y的二元一次方程　   　．

10．如图，长方形ABCD是由m个完全相同的小长方形组成，上下各有3个水平放置的小长方形，中间竖放若干个小长方形．若宽AB是长BC的，则m的值为　   　．

11．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 　   　．

12．某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0与2：1的积分不同），积分均为正整数．

根据如表回答问题：

（1）当B队的总积分＝6时，如表中m处应填 　   　；

（2）写出C队总积分P的所有可能值为 　   　．

三．解答题（共3小题）

13．一个数的2倍与另一个数的3倍的差等于5，若设这两个数分别为x，y，请依据条件列出方程．

14．根据题意列出方程：

（1）买5千克苹果和3千克梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价，设苹果的单价为x元/千克，梨的单价为y元/千克；

（2）七年级一班男生人数的2倍比女生人数的多7人，求男生、女生的人数，设男生人数为x，女生人数为y．

15．阅读下列材料：

我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．

例：由2x+3y＝12，得y＝＝4﹣x，（x、y为正整数）

∴则有0＜x＜6

又y＝4﹣x为正整数，则x为正整数．

从而x＝3，代入y＝4﹣×3＝2

∴2x+3y＝12的正整数解为．

利用以上方法解决下列问题：

七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

2022-2023学年人教版初中下册数学七年级经典题精练---实际问题与二元一次方程组综合题

参考答案（解析）

一．选择题（共6小题）

1．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；；⑤43m＝n+2．

其中正确的是（　　）

A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④

【分析】分别由乘客人数不变及客车的数量不变，可列出关于m，n的二元一次方程，此题得解．

【解答】解：由乘客人数不变，可列出方程40m+10＝43m﹣2，43m＝n+2；

由客车的数量不变，可列出方程；

∴正确的方程有①③⑤．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

2．学校组织师生共360人参观机器人中心，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达机器人中心的租车方案有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【分析】设租用A种型号的客车x辆，B种型号的客车y辆，根据租用的客车可乘坐360人，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出师生一次性全部到达机器人中心的租车方案有5种．

【解答】解：设租用A种型号的客车x辆，B种型号的客车y辆，

依题意得：45x+30y＝360，

∴y＝12﹣x．

又∵x，y均为自然数，

∴或或或或，

∴师生一次性全部到达机器人中心的租车方案有5种．

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

3．已知某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，若女生人数的2倍比男生多140人，则可列二元一次方程为（　　）

A．2n＝m+140 B．2n＝m﹣140 C．2n＝m﹣n+140 D．2n＝m﹣n﹣140

【分析】利用男生人数＝总人数﹣女生人数，可得出该校八年级有男生（m﹣n）人，结合女生人数的2倍比男生多140人，即可得出关于m，n的二元一次方程，此题得解．

【解答】解：∵某校八年级学生总人数为m人，其中女生n人，

∴男生有（m﹣n）人，

又∵女生人数的2倍比男生多140人，

∴2n＝m﹣n+140．

故选：C．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

4．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y的值为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】根据图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出x﹣y的值．

【解答】解：∵图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，

∴x﹣2+0＝﹣2+y+6，

∴x﹣y＝6．

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

5．我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十七文钱，甜果苦果买九十九个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于x、y的二元一次方程组中符合题意的是（　　）

【分析】根据甜果苦果买九十九个，可以得到方程想x+y＝99，再根据九十七文钱购买甜果苦果，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，即可得到方程3x+y＝97，然后即可写出相应的方程组．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：C．

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．

6．一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（　　）

A．26 B．62 C．71 D．53

【分析】设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，则两位数可表示为10y+x，对调后的两位数为10x+y，根据题中的两个数字之和为8及对调后的等量关系可列出方程组，求解即可．

【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得：

，

解得：，

则这个两位数为6×10+2＝62．

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

二．填空题（共6小题）

7．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，若将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，设十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意，可列方程为：　　．

【分析】根据“十位上的数字比个位上的数字大1，将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：∵十位上的数字比个位上的数字大1，

∴x﹣y＝1；

∵将个位与十位上的数字对调，得到的新数比原数大9，

∴10y+x﹣（10x+y）＝9．

∴所列方程组为：．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8．设A、B为自然数，且满足＝，A+B＝　3　．

【分析】原方程可变形为3A+11B＝17，结合A，B均为自然数即可求出A，B的值，再将其代入A+B即可求出结论．

【解答】解：∵＝，

∴3A+11B＝17．

又∵A，B均为自然数，

∴，

∴A+B＝2+1＝3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据A，B之间的关系及A，B均为自然数，求出A，B的值是解题的关键．

9．已知甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元．某人买了x个甲种面包和y个乙种面包，共花了30元、请列出关于x，y的二元一次方程　2x+2.5y＝30　．

【分析】本题的等量关系有：甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元，共花了30元，故能列出二元一次方程．

【解答】解：设买了x个甲种面包和y个乙种面包，

由题意可以列出二元一次方程，

2x+2.5y＝30．

故答案是：2x+2.5y＝30．

【点评】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

10．如图，长方形ABCD是由m个完全相同的小长方形组成，上下各有3个水平放置的小长方形，中间竖放若干个小长方形．若宽AB是长BC的，则m的值为　15　．

【分析】设小长方形的长为x，宽为y，由宽AB是长BC的，即可得出关于x，y的二元一次方程，进而可得x＝3y，再将其代入（m＝+6）中即可求出结论．

【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，

依题意，得：x+2y＝×3x，

∴x＝3y，

∴m＝+6＝15．

故答案为：15．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

11．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 　　．

【分析】根据“每一间客房住5人，那么有3人无房可住；每一间客房住6人，那么就空出2间客房”，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：∵每一间客房住5人，那么有3人无房可住，

∴5x+3＝y；

∵每一间客房住6人，那么就空出2间客房，

∴6（x﹣2）＝y．

∴根据题意可列出方程组．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

12．某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0与2：1的积分不同），积分均为正整数．

根据如表回答问题：

（1）当B队的总积分＝6时，如表中m处应填 　0：2　；

（2）写出C队总积分P的所有可能值为 　9或10　．

【分析】（1）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案；

（2）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可．

【解答】解：（1）由题可知：每场比赛的结果有四种：

0：2，1：2，2：1，2：0，

根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且

a＜b＜c＜d，

根据E的总分可得：a+c+b+c＝9，

∴a＝1，b＝2，c＝3，

根据A的总分可得：c+d+b+d＝13，

∴d＝（13﹣c﹣b）÷2

＝（13﹣3﹣2）÷2

＝4，

设m对应的积分为x，

当y＝6时，b+x+a+b＝6，即2+x＝1+2＝6，

∴x＝1，

∴m处应填0：2；

（3）∵C队胜2场，

∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时，

p＝1+4+3+2＝10；

当C、B的结果为2：1时，

p＝1+3+3+2＝9；

∴C队总积分p的所有可能值为9或10．

故答案为：9或10．

【点评】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键．

三．解答题（共3小题）

13．一个数的2倍与另一个数的3倍的差等于5，若设这两个数分别为x，y，请依据条件列出方程．

【分析】根据一个数的2倍﹣另一个数的3倍的差＝5，进而得出等式．

【解答】解：由题意可得：2x﹣3y＝5．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．

14．根据题意列出方程：

（1）买5千克苹果和3千克梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价，设苹果的单价为x元/千克，梨的单价为y元/千克；

（2）七年级一班男生人数的2倍比女生人数的多7人，求男生、女生的人数，设男生人数为x，女生人数为y．

【分析】（1）根据买5千克苹果和3千克梨共需23.6元，即可得出关于x，y的二元一次方程；

（2）根据七年级一班男生人数的2倍比女生人数的多7人，即可得出关于x，y的二元一次方程．

【解答】解：（1）依题意，得：5x+3y＝23.6；

（2）依题意，得：2x﹣y＝7．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

15．阅读下列材料：

我们知道方程2x+3y＝12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解．

例：由2x+3y＝12，得y＝＝4﹣x，（x、y为正整数）

∴则有0＜x＜6

又y＝4﹣x为正整数，则x为正整数．

从而x＝3，代入y＝4﹣×3＝2

∴2x+3y＝12的正整数解为．

利用以上方法解决下列问题：

七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

【分析】设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m、n的二元一次方程，结合m、n均为正整数即可求出结论．

【解答】解：设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支，

根据题意得：3m+5n＝35，其中m、n均为正整数，

∴n＝＝7﹣m，

∴，

解得：0＜m＜．

∵n＝7﹣m为正整数，

∴m为正整数，即m为5的倍数，

∴当m＝5时，n＝4；当m＝10时，n＝1．

答：有两种购买方案，方案一：购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；方案二：购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键