2021益阳高二上学期期末考试数学含答案

益阳市2020年下学期普通高中期末考试

高二  数学

注意事项：

1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

试 题 卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知是公差为2的等差数列，且，则

A.  3     B.  9     C.  18     D.  24

2．命题“R，” 的否定是

A. R，        B. R，

C. R，      D. R，

3．如图，在半径为2的圆中进行随机撒一粒黄豆的重复实验，在1000次实验中，黄豆有280次落到了阴影部分中，将频率视为概率，依此估计阴影部分的面积是

A.      B.       

C.   D.

4．如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在[6，14)内的频数为

A.  68     B.  170           

C.  204     D.  240

5．若是第二象限的角，，则的值是

A.     B.    C.  D.

6．已知，则是的

A. 充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

7．已知函数  的部分图象

如图所示，则的解析式为

A.  B.

C.  D.

8．已知椭圆C：的两个焦点为， ，， 点为C上一点，若，， 则C的离心率为

A.     B.     C.    D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知函数 ，则下列结论正确的是

A．是奇函数     B．是偶函数

C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增

10．若，，且，则下列不等式成立的是

A．  B． C． D．

11．已知双曲线C：，它的焦点为，则下列结论正确的是

A．C的虚轴长为4

B．C的渐近线方程为

C．C上的任意点P都满足

D．C的一个顶点与抛物线的焦点重合

12．已知数列，满足，，且a1=1，是数列的前n项和，则下列结论正确的有

A．N+，  B．N+，

C．N+，    D．N+，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．抛物线(a>0)的焦点到准线的距离为，则的值为      .

14．现有编号为A、B、C、D的四本书，将这四本书平均分给甲、乙两位同学，则A，B两本书被同一位同学分到的概率为       .

15．已知实数x，y满足不等式组，则z＝3x－2y的最大值是      .

16．在中，，，M是所在平面上的

动点，则w =的最小值为      .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数.

(1)求及的最小正周期；

(2)当时，求的取值范围.

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，

AA1＝4，D是BC的中点.

(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；

(2)求直线AB1与平面ADC1所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

在①，②，③ C=75° 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答.

问题：已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；(2)若     ，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20．（本小题满分12分）

随着我国中医学的发展，药用昆虫的使用越来越多，每年春暖以后至寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采集各种药用昆虫．已知某种药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：)有关，于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究，收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表：

(1)从这5天中任选2天，记这2天的药用昆虫的产卵数分别为，求事件“均不小于26”的概率；

(2)科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立y关于x的线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．

①若选取的是3月2日和30日这两组数据，请根据7日、15日、22日这3组数据，求出y关于x的线性回归方程；

②若由线性回归方程得到的估计产卵数与所选出的检验数据的误差不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的．按照此标准①中得到的线性回归方程是否可靠？说明理由．

参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：，．

21．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和Sn=n2．等比数列的前n项和为Tn，公比且

，T4=30．

(1)求数列，的通项公式；

(2)记，是否存在正整数m，k( 1<m<k)，使得是与的

等差中项？若存在，求出所有m，k的值；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为，且过点.

(1)求C的方程；

(2)设点M为C上的动点，求的取值范围；

(3)设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l：R)与C交于P，Q两点，PQ的中点为E，若, 求证：直线经过定点，并求出定点坐标.

益阳市2020年下学期普通高中期末统考

高二数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

  1．B   2．D   3．D   4．C   5．A   6．A   7．C   8．C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

   9．BC   10．ABC   11．BD   12．BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

 13．5      14．       15．9      16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

解：(1)∵，………………………3分

∴=，…………………………………………5分

∴函数的最小正周期T=.……………………………………6分

  (2)当时，，

∴当时，，……………………………………8分

当时，，

∴在区间上的取值范围是………………………10分

18．（本小题满分12分）

解：（1）证明：∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，…………2分

      在直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，且AD平面ABC，∴CC1⊥AD，

      ，∴AD⊥平面B1BC C1, …………………………4分

又AD平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面B1BC C1. ………………6分

（2）以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立如图空间直角坐标系，……7分

则，………………………………8分

设平面ADC1的法向量，

则

即 可取.……………………………………………10分

设AB1与平面ADC1所成的角为，

则.……12分

19．（本小题满分12分）

解：(1)∵，由正弦定理可得，……2分

又，∴，又，∴，…4分

∴.……………………………………………………………………6分

(2)①若，由余弦定理得：,……8分

∴，,……………………………………………………10分

∴.……………………………………12分

② 若，由余弦定理得：

，……………………8分

整理得：，解得： ，或（舍去）……10分

. ……………………12分

（注：若利用正弦定理解可减少计算量）

③ 若 C=75°，则

由正弦定理得： ，………………………9分

.…12分

20．（本小题满分12分）

解：(1)从5天中任选两天共有10种选法, 这两天的产卵数均不小于26，只能选择15日和22日，即只有一种选法, 故所求概率.……………………………………3分

(2)①, ……………………5分

,

,

∴,

∴y关于x的线性回归方程为.…………………………………9分

②对于2日数据，将代入线性回归方程得,其误差为,

对于30日数据，将代入线性回归方程得,其误差为,

∴所求线性回归方程是可靠的. ……………………………………………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）当时，，

     当时， ，

     当时，等式也成立，

     所以，数列的通项公式为.…………………………………3分

在等比数列中，，即, 又，

∴q=2,∴，∴. …………………………6分

（2） ……①

 ① 2得：2……②

 ②-①得：     ，…………………………………………………9分

，，，

若，即，

∴，∴……③

又1<m<k ，∴，，

∴③式不成立，故不存在这样的正整数m,k使是 与的等差中项.…12分

22．（本小题满分12分）

解：(1)离心率，∴……①

将点代入椭圆方程得……②

联立①②解得，所以椭圆C的方程为……3分

(2)设M点的坐标为，则，由(1)可知，

∴

=，又, ∴.………………………6分

另解：∴，

设，则w ==

∴.…………………………………………………6分

(3)∵，∴，∴，…………………7分

设，又

由得，

，

∴，

，………………………………………8分

，

，

∴，∴，

因为直线l不过点A，所以，，∴，………10分

∴直线的方程为，即，

∴直线过定点.……………………………………………………12分

注：其他解法请参照给分.