初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数教学设计及反思

28.1 锐角三角函数

28.1.1  正弦

一、教学目标

(一)知识与技能

使学生初步了解正弦概念

 (二)过程与方法

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

(三)情感态度与价值观

渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．

二、重、难点

重点：使学生了解正弦概念

难点：用含有几个字母的符号组sinA表示正弦

三、教学过程

(一)明确目标

1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定的．”

2．明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边与斜边的比值——正弦．

(二)整体感知

只要知道三角形任一边长，其他两边就可知．

而上节课我们发现：只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值固定．这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了．

通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

正弦概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点．

在之前研究的基础上，引入正弦，“把对边与斜边的比值称做正弦”．如图6－3：

请学生结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力．教师板书：在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA．

若把∠A的对边BC记作a，斜边AB记作c，则

引导学生思考：当∠A为锐角时，sinA的值会在什么范围内？得结论0＜sinA＜1 (∠A为锐角)．这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来．

教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点．

例1  求出图6－4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB值．

解：

 (四)总结、扩展

首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正弦值．知道任意锐角A的正弦值在0～1之间，即

0＜sinA＜1 (∠A为锐角)．

四、布置作业

教材习题中A组3．

预习下一课内容．

28.1.2  余弦、正切函数

一、教学目标

(一)知识与技能

 使学生了解余弦、正切的概念，能够正确地用cosA、tanA、表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两边的比．

 (二)过程与方法

 逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力．

 (三)情感态度与价值观

 培养学生独立思考、勇于创新的精神．

 二、重、难点

 重点：了解余弦、正切的概念， 

难点：用含有几个字母的符号组表示余弦、正切．

 三、教学步骤

 (一)明确目标

 1．什么是锐角∠A的正弦？(结合图6-8回答)．

 2．填表

 3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？

 4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？

 5．我们已经掌握一个锐角的正弦是指直角三角形中该锐角的对边与斜边的比值．那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正弦外，还有其它一些三角函数，本节课我们学习余弦、正切．

 (二)整体感知．

 余弦、正切的概念，也是本章的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要．教材在继第一节正弦后，又以同样的顺序安排第二节余弦、正切．像这样，把概念、计算和应用分成两块，每块自成一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识．

 (三)重点、难点的学习与目标完成

1．            引入余弦、正切概念

本节课我们研究邻边与斜边的比值、两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，邻边与斜边的比值、两直角边的比值是否也固定？

 因为学生在研究过余弦、正切概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“邻边与斜边的比值一定是余弦、两直角边的比值一定是正切和余切．”

如图6-10，在Rt△ABC中，把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=

对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA．

即tanA=

2. sinA与cosA的关系

Rt△ABC的两锐角∠A、∠B，sinA＝cosB，cosA＝sinB．正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”

3．锐角三角函数

把锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．

锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目．

问：锐角三角函数能否为负数？

学生回答这个问题很容易．

 (四)总结扩展

请学生小结：本节课了解了正切、余弦的概念．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．

结合

四、布置作业

1．看教材，培养学生看书习惯．

2．教材中习题A组2、3、5、6．

28.1.3  特殊角的三角函数值

一、教学目标

(一)知识与技能

熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，

 (二)过程与方法

逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

(三)情感态度与价值观

渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．

二、重、难点

重点：熟记特殊角的三角函数值．

难点：熟练应用特殊角的三角函数值

三、教学过程

让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻．

例1  求下列各式的值：

为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：

(1)sin45°+cos45；                 (2)sin30°·cos60°；

在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神．还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”为查正余弦表作准备．

三角函数/0°/30°/45°/60°/90°

请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11)

    通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正弦、余弦、正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正弦、余弦、正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想．

练习：1)请学生回答tan45°与cot45°的值各是多少？tan60°与cot30°？tan30°与cot60°呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题：tan60°与cot60°有何关系？为什么？tan30°与cot30°呢？

例1  求下列各式的值：

(1)2sin30°+3tan30°+cot45°；

(2)cos245°+tan60°·cos30°．

解：(1)2sin30°+3tan30°+cot45°

 (2)cos245°+tan60°·cos30°

=2．

练习：求下列各式的值：

(1)sin30°-3tan30°+2cos30°+cot90°；

(2)2cos30°+tan60°-6cot60°；

(3)5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°；

(4)

(5)

学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力．

四、布置作业

28.1.4  一般角的三角函数值

一、教学目标

(一)知识与技能

使学生会查“正弦和余弦表”、“正切和余切表”，即由已知锐角求正弦、余弦、正切、余切值．使学生会根据一个锐角的正弦、余弦、正切、余切值，查出这个锐角的大小．

(二)过程与方法

逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

(三)情感态度与价值观

培养学生良好的学习习惯．

二、重、难点

重点：“正弦和余弦表” 、“正切和余切表”的查法．

难点：当角度在0°～90°间变化时，正弦值、余弦值、正切值、余切值随角度变化而变化的规律．

三、教学步骤

(一)明确目标

1．复习提问

1)30°、45°、60°的正弦值和余弦值、正切值和余切值各是多少？请学生口答．

2)任意锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系怎样？一个锐角的正切(余切)与其余角的余切(正切)之间具有什么关系．

(二)整体感知

我们已经求出了30°、45°、60°这三个特殊角的正弦值和余弦值、正切值和余切值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值、正切值和余切值，为了使用上的方便，我们把0°—90°间每隔1′的各个角所对应的正弦值和余弦值、正切值和余切值(一般是含有四位有效数字的近似值)，列成表格——正弦和余弦表、正切和余切表．本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表、正切和余切表．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1．“正弦和余弦表”简介

学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解．但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”．

(1)“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角．

2)表中角精确到1′，正弦、余弦值有四位有效数字．

2．请学生观察“正切和余切表”的结构，并用语言加以概括．

答：正切表在76°～90°无修正值，余切表在0°～14°无修正值．其余与正弦和余弦表类似，对于正切值，随角度的增大而增大，随角度的减小而减小，而余切值随角度的增大而减小，随角度的减小而增大．

3.凡表中所查得的值，都用等号，而非“≈”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“≈”表示．

例1  查表求37°26′的正弦值．

学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到26′，但26′在24′～30′间而靠近24′，比24′多2′，可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案．教师这时可设问“为什么将查得的5加在0.6074的最后一个数位上，而不是0.6074减去0.0005”．通过引导学生观察思考，得结论：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)．

解：sin37°24′=0.6074．

角度增2′                   值增0.0005

sin37°26′=0.6079．

在查表中，还应引导学生查得：

sin0°=0，sin90°=1．

根据正弦值随角度变化规律：当角度从0°增加到90°时，正弦值从0增加到1；当角度从90°减少到0°时，正弦值从1减到0．

可引导学生查得：

cos0°=1，cos90°=0．

根据余弦值随角度变化规律知：当角度从0°增加到90°时，余弦值从1减小到0，当角度从90°减小到0°时，余弦值从0增加到1．

例2  已知sinA＝0.2974，求锐角A．

学生通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的经验，完全能独立查得锐角A，但教师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出0.2974，由这个数所在行向左查得17°，由同一数所在列向上查得18′，即0.2974＝sin17°18′，以培养学生语言表达能力．

解：查表得sin17°18′＝0.2974，所以

锐角A＝17°18′．

例3  已知cosA＝0.7857，求锐角A．

分析：学生在表中找不到0.7857，这时部分学生可能束手无策，但有上节课查表的经验，少数思维较活跃的学生可能会想出办法．这时教师最好让学生讨论，在探讨中寻求办法．这对解决本题会有好处，使学生印象更深，理解更透彻．

若条件许可，应在讨论后请一名学生讲解查表过程：在余弦表中查不到0.7857．但能找到同它最接近的数0.7859，由这个数所在行向右查得38°，由同一个数向下查得12′，即0.7859＝cos38°12′．但cosA＝0.7857，比0.7859小0.0002，这说明∠A比38°12′要大，由0.7859所在行向右查得修正值0.0002对应的角度是1′，所以∠A＝38°12′＋1′＝38°13′．

解：查表得cos38°12′＝0.7859，所以：

0.7859＝cos38°12′．

值减0.0002角度增1′

0.7857＝cos38°13′，

即  锐角A＝38°13′．

例2  查表求下列正切值或余切值．

(1)tan53°49′；                     (2)cot14°32′．

学生有查“正弦和余弦表”的经验，又了解了“正切和余切表”的结构，完全可自行查表．在学生得出答案后，请一名学生讲解“我是怎样查表的”，教师板书：

解：(1)tan53°48′=1.3663

角度增1′值减0.0008．

tan53°49′=1.3671；

(2)cot14°30′=3.867

角度增2′值增0.009．

cot14°30′=3.858．

在讲解示范例题后，应请学生作一小结：查锐角的正切值类似于查正弦值，应“顺”着查，若使用修正值，则角度增加时，相应的正切值要增加，反之，角度减小时，相应的正切值也减小；查余切表与查余弦表类似，“倒”着查，在使用修正值时，角度增加，就相应地减去修正值，反之，角度减小，就相应地加上修正值．

 (四)总结与扩展

1．请学生总结

本节课主要讨论了“正弦和余弦表”、“正切和余切表”的查法．了解正弦值，余弦值，正切值，余切值随角度的变化而变化的规律：当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0°～90°间变化时，余弦值、余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大．

2．“正弦和余弦表” 、“正切和余切表”的用处除了已知锐角查其正、余弦（切）值外，还可以已知正、余弦（切）值，求锐角，同学们可以试试看．

四、布置作业

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