备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题03 一元一次方程

重点分析

中考中多以选择题、填空题、解方程的形式考查方程的解法，结合社会关注的热点，考查列方程解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．

难点解读

难点一、等式及方程的有关概念

1．等式及其性质

(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．

(2)等式的性质：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边乘(或除以)同一个数(除数不能是0)，所得结果仍是等式．

2．方程的有关概念

(1)含有未知数的等式叫做方程．

(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方的解，也叫它的根．

(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程．

难点二、一元一次方程

1．只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于零的整式方程叫做一元一次方程，其标准形式为ax＋b＝0(a≠0)，其解为x＝.

2．解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母；

(2)去括号；

(3)移项；

(4)合并同类项；

(5)未知数的系数化为1.

真题演练

1．（2021·江苏南通市）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．

【答案】20

【分析】

设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，

依题意，得：240x=150（x+12），

解得：x=20，

∴快马20天追上慢马，

故答案为：20．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

2．（2021·江苏无锡市）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；木长=绳长+1，据此可列方程组求解．

【详解】

解：设木长x尺，绳长y尺，

依题意得，

故选：D．

【点睛】

此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．

3．（2021·江苏苏州市）方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据加减消元法，即可求解．

【详解】

解：，

①+②，得：2x=8，解得：x=4，

①-②，得：2y=2，解得：y=1，

∴方程组的解为：，

故选 C．

【点睛】

本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法，是解题的关键．

4．（2021·江苏扬州市）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可．

【详解】

设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架

∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，

∴

∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架

∴

联立可得：

故选：D．

【点睛】

本题考查实际问题与二元一次方程组．关键在于找到题中所对应的等量关系式．

5．（2021·江苏泰州市）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？

【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米

【分析】

设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可．

【详解】

解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得，

解得，

答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米

【点睛】

本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．

6．（2021·江苏常州市）解方程组和不等式组：

【答案】

【分析】

利用加减消元法，即可求解；

【详解】

解：，

①+②，得3x=3，解得：x=1，

把x=1代入①得：y=-1，

∴方程组的解为：；

【点睛】

本题主要考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式组，掌握加减消元法以及解不等组的基本步骤，是解题的关键．

7．（2021·江苏苏州市）解方程组：.

【答案】 .

【详解】

分析: （1）根据代入消元法，可得答案.

详解:

由②得：x=-3+2y  ③，

把③代入①得，3（-3+2y）-y=-4，

解得y=1，

把y=1代入③得：x=-1，

则原方程组的解为：.

点睛: 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

8．（2021·江苏扬州市）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．

【答案】

【分析】

求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出a的值．

【详解】

解：方程组，

把②代入①得：，

解得：，代入①中，

解得：，

把，代入方程得，，

解得：．

【点睛】

此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．

9．（2021·江苏连云港市）为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．

（1）这两种消毒液的单价各是多少元？

（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．

【答案】（1）种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元；（2）购进种消毒液67瓶，购进种23瓶，最少费用为676元

【分析】

（1）根据题中条件列出二元一次方程组，求解即可；

（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．

【详解】

解：（1）设种消毒液的单价是元，型消毒液的单价是元．

由题意得：，解之得，，

答：种消毒液的单价是7元，型消毒液的单价是9元．

（2）设购进种消毒液瓶，则购进种瓶，购买费用为元．

则，

∴随着的增大而减小，最大时，有最小值．

又，∴．

由于是整数，最大值为67，

即当时，最省钱，最少费用为元．

此时，．

最省钱的购买方案是购进种消毒液67瓶，购进种23瓶．

【点睛】

本题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．

10．（2021·江苏常州市）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知A，B，C的坐标分别为(0，2)，(﹣1，﹣1)，(1，﹣2)，将ABC绕着点C顺时针旋转90°得到．在图中画出并写出点、点的坐标．

【答案】见解析，(5，﹣1)，(2，0)

【分析】

将点A、B分别绕点C顺时针旋转90°得到对应点，再与点C首尾顺次连接即可，根据点A、B、C坐标建立平面直角坐标系，从而得出点A′、B′的坐标．

【详解】

解：如图所示，△A′B′C即为所求，

由△ABC绕点C旋转90°得△A′B′C

则△ABC ≌△A′B′C

BC=B′C，AC=A′C

设A′（m,n）,B′（）

-1=-1-(-2), =2；-(-2)=1-(-1)，=0，B′（2，0）

m-1=2-(-2),m=5，n-（-2）=1-0，n=-1，A′（5，-1）．

【点睛】

本题考查画旋转图形，求旋转后坐标，利用全等构造等式是解题关键

11．（2021江苏连云港市）若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大1，百位数字比个位数字大1，我们称这个数为“多一数”．将“多一数”m各数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数，我们称为“少一数”m' ，记．例如：m=2413，∴m'=3142，则

（1）计算F（5342）=____________；

（2）若p和q为两个“多一数”，其中p的十位数字为4，q的个位数字为3，且满足F（p）+2F（q）-27=0，求满足条件的所有“多一数”p．

【答案】（1）27；（2）5140、5342、5544、5746、5948

【分析】

（1）根据代入数值计算即可；

（2）设p为，q为，求出和得到a和b的关系，代入b的数值依次列举即可求解．

【详解】

解：（1）；

（2）设p为，q为，

∴，

，

∴，

整理可得，

∵a和b都是0-9的数字，

∴当时，，此时p为5140，q为2413；

当时，，此时p为5342，q为3423；

时，，此时p为5544，q为4433；

时，，此时p为5746，q为5443；

时，，此时p为5948，q为6453；

综上，满足条件的所有“多一数”p为p为5140、5342、5544、5746、5948．

【点睛】

本题考查新定义问题，理解题意，掌握分情况讨论的思想是解题的关键．

12．（2021·江苏扬州市）为减少疫情对农产品销售的影响，年轻党员干部晓辉借助“学习强国”平台直播活动，向网友们大力推介自己乡镇的特色农产品，让原本面临滞销、亏损的农户迎来了新的转机．在帮助某农户推广滞销乳鸽的直播中，晓辉计划首月销售1000只乳鸽，每只乳鸽定价30元．

（1）经过首月试销售，晓辉发现单只乳鸽售价每降低0.5元，销量将增加50只，若计划每月乳鸽的销售总量为1500只，则每只乳鸽售价应定为多少元？

（2）随着疫情的好转和直播的推广作用，乳鸽的线下销售也终于迎来了复苏，在线上、线下销售单价一致的情况下，11 月线上、线下的销售总额为37500元．受寒流影响，12 月价格进行了一定调整，线下单价与（1）间中的售价保持一-致，线上单价在（1）问的售价基础上提高了，但12月整体月销售总量仍比（1）问中的计划销售总量上涨，其中线下销售量占到了12月总销售量的，最终12月总销售额比11月增加了495a元，求a的值．

【答案】（1）25元；（2）40

【分析】

（1）设应降低x元，根据题意列出方程，求解即可；

（2）根据题意可得2月份的销售总量为，12月份的线上单价为，线下单价为25元，根据“12月总销售额比11月增加了495a元”列出方程，求解即可．

【详解】

解：（1）设应降低x元，根据题意可得：，

解得，

∴每只乳鸽售价应定为（元），

答：每只乳鸽售价应定为25元；

（2）12月份的销售总量为，

12月份的线上单价为，线下单价为25元，

根据题意可得：

，

解得或（舍）．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．

13．（2021·江苏徐州市）列方程解应用题

如图是一个窗户的框架图，下面部分窗户的高是上面窗户部分的高的二倍，窗户的宽比窗户下面部分的高要多0.4m．

（1）若窗户的面积是4.8m2，请求出窗户的宽和高；

（2）若一根铝合金料的长是4m，要做成上面的窗户需要准备几根这样的铝合金料？若是6m长的话又用几根？

【答案】（1）窗户的高是2.4m，宽是2m；（2）4m长的铝合金要准备四根，6m长的铝合金则要两根．

【分析】

（1）设窗户是上部分高是xm，则整个窗户的高是3m，宽是（2+0.4）m，根据面积列式计算即可；

（2）4m长的铝合金要准备三根，6m长的铝合金则要两根．

【详解】

（１）如图，设窗户是上部分高是xm，

则整个窗户的高是3m，宽是（2+0.4）m，

根据题意，列方程得：3（2x+0.4）=4.8，

解得：x=0.8，

∴3x=2.4（m），2x+0.4=2（m），

∴窗户的高是2.4m，宽是2m，

（2）∵整个窗户的周长为：2×2.4+2×3+0.8=11.6（米）≈12（米），

∴12÷4=3，12÷6=2，

∴4m长的铝合金要准备三根；6m长的铝合金则要两根．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确布列方程是解题的关键．

14．（2021·江苏常州市）有人患了流感，若每轮传染中平均一人能传染相同数目的若干人，经过两轮传染后共有人患了流感．

求平均一个人传染多少人?

如果按照这样的传染速度，经过三轮后共有多少人患流感?

【答案】6人；1029人

【分析】

（1）设一个人传染x个人，根据题意中的两轮传染后患流感的人数，得到对应的方程，求解即可.
（2）根据（1）中所求的数据，进而表示出经过三轮传染后患流感的人数.
 

【详解】

解：平均一个人传染人         

根据题意，可列方程为：

解得，      

答：平均一个人传染人                

按照这样的传染速度，经过三轮后共有人被感染，

或人                      

答：经过三轮后共有人被感染．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解两轮传染，从而可设方程求解.

15．（2021·江苏连云港·九年级期末）如图，小明家在处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路 ，是到的小路，现新修一条路到公路，小明测量出，，．请你帮他计算出他家到公路的距离的长度(结果保留根号)．

【答案】的长度为m．

【分析】

由题意得，由正切三角函数定义可得， ，求出BD与CD， 由，列方程得即求出AD的值即可．

【详解】

解：由题意得，

， ，

，，

，，，

，

即，

，

答：的长度为m．

【点睛】

本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义与性质，关键是利用CD-BD=50构造方程是解题关键．

16．（2021·江苏九年级一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是___．

【答案】2022

【分析】

把x=-1代入方程可以得到-a+b的值，从而得到所求答案．

【详解】

解：∵x=-1，

∴a-b+1=0，

∴-a+b=1，

∴2021-a+b=2022，

故答案为2022 ．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义、等式的性质和代数式求值的方法是解题关键．

17．（2021·江苏盐城·九年级期末）关于的一元二次方程有一个根是，则__________．

【答案】2

【分析】

把x=1代入方程，得到关于m的方程，即可求解．

【详解】

∵关于的一元二次方程有一个根是，

∴，解得：m=2，

故答案是：2．

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的意义，是解题的关键．

18．（2021·江苏徐州）如果方程与的解相同，那么____．

【答案】

【分析】

根据同解方程定义，先解得方程的解，再将结果代入中，解关于字母的一元一次方程即可解题．

【详解】

解：方程，

解得：，

把代入中得：，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查同解方程、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

19．（2021·江苏扬州）若的解是，则____．

【答案】1．

【分析】

根据方程的解的定义，将代入，解关于字母的一元一次方程即可．

【详解】

解：把代入得：

，

解得：．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

20．（2021·全国九年级专题练习）如果关于的方程的解是，那么关于的方程的解是____．

【答案】3．

【分析】

把代入得出m的值，再解即可

【详解】

解：由题意，得

，

解得，

将代入，得

，

解得．

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，准确求出m的值是解题的关键