备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题04 二元一次方程组

重点分析

中考中多以选择题、填空题、解方程(组)的形式考查方程(组)的解法，结合社会关注的热点，考查列方程(组)解决实际问题的能力．同时还注重对方程思想、转化思想以及分析问题和解决问题能力的考查．

难点解读

难点一、二元一次方程组的有关概念

1．二元一次方程

(1)概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程．

(2)一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．

(3)使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．

(4)解的特点：一般地，二元一次方程有无数个解．

2．二元一次方程组

(1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

(2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)．

(3)二元一次方程组的解

一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

难点二、二元一次方程组的解法

1、代入法的定义：在二元一次方程组中，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．

2、代入法解二元一次方程组的基本思想是：通过代入达到消元的目的，从而将解二元一次方程组转化为解一元一次方程．其步骤为：

①变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程化为用含一个字母的代数式表示另一个字母．例如y，用含x的代数式表示出来，得y＝ax＋b.

②代入：将y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程．

③解元：解所得的一元一次方程，求出x的值．

④求值：把求得的x的值代入y＝ax＋b中，求出y的值，从而得到方程组的解．

⑤把求得的x，y的值联立起来就是方程组的解．

取的原则是：

①选择未知数的系数是1或－1的方程；

②常数项为0的方程；

③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入没有变形的方程中去．这样就把二元一次方程组转化为一元一次方程了．总之，用代入消元法解二元一次方程组时，一定要使变形后的方程比较简单或代入消元后化简比较容易，这样不但避免错误，还能提高运算速度．

1、加减法的定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．

2、加减法的基本思想是：解二元一次方程组时，使方程组中同一个未知数的系数相等或是互为相反数，再将所得两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，从而转化为一元一次方程．其步骤为：

①变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就要用适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相等或互为相反数．

②加减：当同一个未知数的系数互为相反数时，用加法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程；当同一个未知数的系数相等时，用减法消去这个未知数，得到关于另一个未知数的一元一次方程．

③解元：解所得的一元一次方程，求出未知数的值．

④求值：把求出的未知数的值代入原方程组中的任一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．

⑤求得的两个未知数的值联立起来就是方程组的解．

谈重点  加减消元法解二元一次方程组

当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘以某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再加减消元求解，但必须注意，在方程两边同乘以某个数时，每一项都要乘，尤其常数项不要漏乘．

难点三、列方程(组)解应用题

步骤：(1)设未知数；(2)列出方程(组)；(3)解方程(组)；(4)检验求得的未知数的值是否符合实际意义；(5)写出答案(包括单位名称)．

真题演练

1．（江苏省泰州市·2021年中考）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）

A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间

C．点C在A、B两点之间 D．无法确定

2．（江苏省盐城·2020年中考）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（  ）

A． B． C． D．

3．（江苏省南通市·2021年中考）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（    ）

A． B． C． D．

4．（江苏省无锡市·2021年中考）方程组的解是（    ）

A． B． C． D．

5．（江苏省苏州市·2021年中考）某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架．已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机架，乙种型号无人机架．根据题意可列出的方程组是（    ）

A． B．

C． D．

6．（江苏省南通市·2019年中考）已知a、b满足方程组，则a+b的值为(    )

A．2 B．4 C．—2 D．—4

7．（江苏省扬州市·2021年中考）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．

8．（江苏省无锡市·2020年中考）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺．

9．（江苏省南通市·2019年中考）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为_____________．

10．（江苏省南通市·2018年中考）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__．

11．（江苏省南京市·2020年中考）已知x、y满足方程组，则的值为__________．

12．（江苏省常州市·2019年中考）若，是关于、的二元一次方程的解，则_____．

13．（江苏省宿迁市·2019年中考）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为_____．

14．（江苏省无锡市·2018年中考）方程组的解是_____．

15．（江苏省淮安市·2018年中考）若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=_____．

16．（江苏省无锡市·2020年中考）小李·2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），·2014年底到·2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）

（1）表格中________；

（2）请把下面的条形统计图补充完整：（画图后标注相应的数据）

（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

17．（江苏省镇江市·2019年中考）学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．在相距个单位长度的直线跑道上，机器人甲从端点出发，匀速往返于端点、之间，机器人乙同时从端点出发，以大于甲的速度匀速往返于端点、之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

（观察）

①观察图，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为   _____个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为   _____个单位长度；

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．兴趣小组成员发现了与的函数关系，并画出了部分函数图象（线段，不包括点，如图所示）．

①＝   _____；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图中补全函数图象；

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离为个单位长度．若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离不超过个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点之间的距离的取值范围是   _____．（直接写出结果）

18．（江苏省镇江市·2018年中考）小李读一本名著，星期六读了36页，第二天读了剩余部分的，这两

19．（江苏省泰州市·2021年中考）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？

20．（江苏省常州市·2021年数学中考真题）解方程组和不等式组：

（1）     

（2）

21．（江苏省扬州市·2021年中考）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．