2021-2022学年北京市首师大附中昌平学校高一（下）第一次月考数学试卷（4月份）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市首师大附中昌平学校高一（下）第一次月考数学试卷（4月份）（含答案解析），共12页。试卷主要包含了 sin的值是， sincs=等内容，欢迎下载使用。

A. 12B. −12C. 32D. −32
2. 已知角α的终边经过点P(3,−4)，那么sinα=( )
A. 35B. −45C. 34D. −34
3. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )
A. πB. 2πC. 4πD. 6π
4. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1−m)，且a⊥b，那么实数m的值为( )
A. −2B. 1C. 2D. 4
5. 如果向量a=(0,1)，b=(−2,1)，那么|a+2b|=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
6. sin(π2−α)cs(−α)=( )
A. tanαB. −tanαC. 1D. −1
7. 已知函数y=sinx和y=csx在区间Ⅰ上都是减函数，那么区间Ⅰ可以是( )
A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)
8. 已知a，b为单位向量，且a⋅b=−22，那么向量a，b的夹角是( )
A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4
9. 设α∈[0,2π),则使sinα>12成立的α的取值范围是( )
A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)
10. 已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)，g(x)=A2sin(ω2x+φ2)，其图象如图所示．为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )
A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位
11. 函数y=tan(2x+π3)的最小正周期是______，定义域是______.
12. 若sinα+csαsinα−csα=2，则sinαcsα的值是______.
13. 在半径为5的扇形中，圆心角为2rad，则扇形的面积是______ .
14. 已知平面向量a，b的夹角为60∘，a=(1,3)，|b|=1，则a⋅b= (1) ；|a−2b|= (2) .
15. 在菱形ABCD中，若BD=3，则CB⋅DB的值为______.
16. 关于下列命题：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cs2(π4−x)是偶函数；
③函数y=sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6,0)；
④函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上是增函数；
写出所有正确的命题的题号：______ .
17. 已知函数f(x)=2sin(2x+π3).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)在给定的坐标系中作出函数f(x)(x∈[−π6,−π6+T])的简图，并直接写出函数f(x)在区间[π6,23π]上的最大值和最小值，并写出取得最值时对应x的值．
18. 已知|sinα|=23，|csβ|=34，在下面四个条件中选择一个：
(1)α，β都是第一象限角；
(2)α，β都是锐角；
(3)α，β都是第二象限角；
(4)α，β都是钝角．
求sin(α+β)和cs(α−β)的值．
19. 已知点A(2,0)，B(0,2)，C(csα,sinα)(其中0<α<π)，O为坐标原点．若|OA+OC=|7，OB与OC的夹角．
20. 求函数y=3−4sinx−4cs2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
21. 设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0,A>0)，使得对于任意x∈R，f(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(Ⅰ)判断函数y=x和y=csx具有性质P？(结论不要求证明)
(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T=π，A=2.已知当x∈(0,π]时，f(x)=sinx，求函数f(x)在区间[−π,0]上的最大值；
(Ⅲ)若函数g(x)具有性质P，且直线x=m为其图像的一条对称轴，证明：g(x)为周期函数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sin(−π3)=−sinπ3=−32，
故选：D.
由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论．
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由于角α的终边经过点P(3,−4)，∴x=3，y=−4，r=|OP|=5，∴sinα=yr=−45，
故选：B.
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为：T=2π12=4π.
故选：C.
直接利用三角函数的周期求解即可．
本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
根据a⊥b即可得出a⋅b=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【解答】
解：∵a⊥b，
∴a⋅b=2+2(1−m)=0，
∴m=2.
故选：C.
5.【答案】B
【解析】解：由向量a=(0,1)，b=(−2,1)，
所以a+2b=(−4,3)，
由向量的模的运算有：|a+2b|=(−4)2+33=5，
故选：B.
本由向量加法的坐标运算有：a+2b=(−4,3)，由向量的模的运算有|a+2b|=(−4)2+33=5，得解．
本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题．
6.【答案】C
【解析】解：sin(π2−α)cs(−α)=csαcsα=1.
故选：C.
利用诱导公式化简即可计算得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：A：y=sinx在(0,π2)上是增函数；
C：y=csx在(π,3π2)上是增函数；
D：y=csx在(3π2,2π)上是增函数．
故选：B.
依次分析四个选项可得结果．
本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵a,b为单位向量，且a⋅b=−22；
∴a⋅b=|a||b|cs=cs=−22；
又0≤≤π；
∴=3π4.
故选：D.
根据条件即可求出cs=−22，根据向量夹角的范围即可求出向量a,b的夹角．
考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，是基础题．利用正弦函数的图象和性质直接求解.
【解答】
解：∵α∈[0,2π),sinα>12,
∴π6<α<5π6.
∴设α∈[0,2π),则使sinα>12成立的α的取值范围是(π6,5π6).
故选：B.

10.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)，g(x)=A2sin(ω2x+φ2)，其图象如图所示，
可见f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)，在g(x)的图象上对应(π6,0)，
为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
在向右平移π6个单位，
故选：A.
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．
11.【答案】π2 {x|x≠π12+kπ2,k∈Z}
【解析】解：函数y=tan(2x+π3)的最小正周期是：π2，
因为2x+π3≠kπ+π2，解得x≠π12+kπ2，k∈Z，
所以函数的定义域：{x|x≠π12+kπ2,k∈Z}.
故答案为：π2；{x|x≠π12+kπ2,k∈Z}.
直接利用正切函数的周期以及定义域求解即可．
本题考查三角函数的周期以及正切函数的定义域的求法，是基础题．
12.【答案】310
【解析】解：sinα+csαsinα−csα=2，
所以sinα=3csα，
sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=3cs2α9cs2α+cs2α=310.
故答案为：310.
利用已知条件求出正弦函数与余弦函数的关系，通过“1”的代换，化简求解所求表达式的值．
本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力、
13.【答案】25
【解析】解：扇形的圆心角为2rad，半径为5，扇形的弧长为：l=10，
所以扇形的面积为：S=12lr=12×10×5=25，
故答案为：25.
直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．
本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．
14.【答案】1
2

【解析】解：平面向量a，b的夹角为60∘，a=(1,3)，|b|=1，
则a⋅b=|a||b|cs60∘=1+3×1×12=1，
|a−2b|=a2−4a⋅b+4b2=4−4+4×1=2；
故答案为：1；2.
利用向量的数量积公式化简求解以及向量的模的运算法则求解即可．
本题考查平面向量的数量积公式的应用，向量的模的求法，考查计算能力．
15.【答案】32
【解析】解：菱形ABCD中，BD=3，
则CB⋅DB=BC⋅BD=|BC|×|BD|×cs∠CBD=|BO|×|BD|=32×3=32.
故答案为：32.
根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．
本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．
16.【答案】③
【解析】
【分析】
本题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、以及它们的图象的对称性，属于中档题.
由条件利用三角函数的奇偶性、单调性、以及它们的图象的对称性，得出结论．
【解答】
解：①函数y=tanx在第一象限是增函数，错误，例如A=60∘和B=420∘，显然B>A，且它们都是第一象限角，但tanA=tanB.
②由于函数y=cs2(π4−x)=sin2x是奇函数，故②错误；
③令x=π6，求得y=0，可得函数y=sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6,0)，故③正确；
④函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上，x+π4∈[−π4,3π4]，
故函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上不是增函数，故④错误，
故答案为：③．
17.【答案】解：(Ⅰ)T=2π2=π.
(Ⅱ)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
可得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是：[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z.
(Ⅲ)列对应值表如下：
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数f(x)(x∈[−π6,−π6+T])的简图如图所示：
可得当x=π6时，函数f(x)在区间[π6,23π]上的最大值为3；
当x=7π12时，函数f(x)在区间[π6,23π]上的最小值为−2.
【解析】(Ⅰ)利用正弦函数的周期公式即可计算得解；
(Ⅱ)利用正弦函数的单调性即可求解；
(Ⅲ)利用五点作图法即可画出函数f(x)在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：选择条件(1)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是第一象限角，
所以sinα=23，csβ=34，所以csα=1−sin2α=53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×34+53×74=6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=53×34+23×74=35+2712.
选择条件(2)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是锐角，
所以sinα=23，csβ=34，所以csα=1−sin2α=53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×34+53×74=6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=53×34+23×74=35+2712.
选择条件(3)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是第二象限角，
所以sinα=23，csβ=−34，所以csα=−1−sin2α=−53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×(−34)+(−53)×74=−6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=(−53)×(−34)+23×74=35+2712.
选择条件(4)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是钝角，
所以sinα=23，csβ=−34，所以csα=−1−sin2α=−53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×(−34)+(−53)×74=−6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=(−53)×(−34)+23×74=35+2712.
【解析】根据α，β所在象限的三角函数符号，结合同角三角函数的平方关系，可得对应的三角函数值，再由两角和差公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得OA=(2,0)，OB=(0,2)，OC=(csα,sinα)，
则|OA|=2，|OB|=2，|OC|=1，
若|OA+OC|=7，则(OA+OC)2=7，即有OA2+OC2+2OA⋅OC=7，
即4+1+4csα=7，即有csα=12，
由0<α<π，则α=π3，
即OC=(12,32)，
则cs=OB⋅OC|OB|⋅|OC|=2×322×1=32，
由0≤≤π，
可得OB与OC的夹角为π6.
【解析】运用向量的平方即为模的平方，化简可得csα=12，求出向量OC的坐标，再由向量的夹角公式和夹角的范围，计算即可得到．
本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的夹角公式和夹角的求法，属于中档题．
20.【答案】解：y=3−4sinx−4cs2x
=3−4sinx−4(1−sin2x)
=4sin2x−4sinx−1
=4(sinx−12)2−2.
当sinx=12，即x=π6+2kπ，k∈Z或x=5π6+2kπ，k∈Z时函数取得最小值，
最小值为−2；
当sinx=−1，即x=−π2+2kπ,k∈Z时函数取得最大值，
最大值为4×(−1)2−4×(−1)−1=7.
【解析】本题考查了三角函数的最值，考查了二次函数最值的求法，考查了正弦函数最值的求法，是基础题．
化余弦为正弦，然后利用二次函数最值的求法求得函数的最值，并求得使函数取得最值的x的取值．
21.【答案】解：(Ⅰ)函数y=x不具有性质P；函数y=csx具有性质P.
(Ⅱ)设x∈(−π,0],则x+π∈(0,π].
由题意，得f(x+π)=2f(x)=sin(x+π)，
所以当f(x)=−12sinx，x∈(−π,0]
由f(−π+π)=2f(−π)，f(0+π)=2f(0)，得f(−π)=14f(π)=0.
所以当x∈[−π,0]时，f(x)=−12sinx.
故当x=−π2时，f(x)在区间[−π,0]上有最大值f(−π2)=12.
(Ⅲ)证明：当g(x)=0，x∈R时，结论显然成立；
下面考虑g(x)不恒等于0的情况，即存在x0，使得g(x0)≠0，
由于直线x=m为函数g(x)图象的一条对称轴，所以g(2m−x0)=g(x0)≠0，
由题意，存在T0，A0，(T0>0,A0>0)，使得g(x+T0)=A0g(x0)成立，
所以g(2m−x0)=A0g(2m−x0−T0)，即g(2m−x0−T0)=1A0g(x0)，
由直线x=m是函数g(x)图像的一条对称轴，
得g(2m−x0−T0)=g(x0+T0)，
又因为g(x0+T0)=A0g(x0)，g(x0)≠0，
所以1A0g(x0)=A0g(x0)，即A0=1，
故对于任意x∈R，g(x+T0)=g(x)成立，其中T0>0.
综上，g(x)为周期函数．
【解析】本题为函数创新型题目，考查函数周期性的应用，需要对知识有一定的运用能力，为中等题目．
(Ⅰ)由函数y=x在R上单调递增，不具有性质P；函数y=csx的周期为2π，当A=1时，满足f(x+2π)=f(x)，具有性质P.
(Ⅱ)由性质P，得当x∈[−π,0]时，f(x)=−12sinx，求得最大值；
(Ⅲ)当g(x)=0，x∈R时，结论显然成立；g(x)不恒等于0的情况，即存在x0，使得g(x0)≠0，根据题中给出的性质p的定义，结合函数周期性进行判断．
2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
x
−π6
π12
π3
7π12
5π6
f(x)
0
2
0
−2
0