北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识测试题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.1 空间图形基本位置关系的认识测试题

【精选】3.1 空间图形基本位置关系的认识-2练习一．填空题1．如图，在中，，，，点为边上一个动点，将沿翻折，使得点到达的位置，且平面平面.当______时，取到最小值.2．已知在直四棱柱，，，，，则异面直线与所成角的大小为___________3．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为___________.4．将正方形沿对角线折成直二面角，给出下列四个结论：①，所成的角为；②为等边三角形；③；④与平面所成角.其中真命题是______.（请将你认为是真命题的序号都填上）5．已知三棱柱侧棱底面分别是的中点，且，过点作一个截面与平面平行﹐则截面的周长为________________________．6．如图是正方体平面展开图，在这个正方体中：①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直.以上四种说法中，正确说法的序号是_____________.7．若三个不重合的平面两两相交，则交线有______条8．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是___________.9．沿正方形的对角线将折起，使点到达的位置，且为正三角形，已知点为的中点，为的中点，直线与所成的角为，则______．10．已知两条异面直线a．b所成角为，P是空间一点，过P作与a．b所成的角都是的直线，这样的直线共有______条．11．已知是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到的是________．（填入条件的序号即可）①；②；③；④；⑤．12．在如图棱长为的正方体中，点．在棱．上，且，在棱上，为过．．三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则．．三条直线交于一点．13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足______时，PC⊥平面BDM(只填写一个认为正确的条件即可)．14．在正方体中，与所成的角为_______．15．已知正方体，则二面角的正弦值为___________.参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：设，，作交或的延长线于点，作交或的延长线于点，用表示各边长，即可求得，得出最值.详解：设，，作交或的延长线于点，作交或的延长线于点，则.∵，，，，∴.∵，∴当，即时，取最小值，此时平分.在中，，，由角平分线定理得，即，所以.故答案为：.2．【答案】【解析】分析：连接，则∥，所以为异面直线与所成角，然后在中求解即可详解：解：连接，则∥，所以为异面直线与所成角，因为在直四棱柱中，，，，所以，，因为，所以，所以为等边三角形，所以，所以异面直线与所成角的大小为，故答案为：3．【答案】【解析】分析：作图，分别取的中点，则，，为异面直线AC与BD所成角，然后解三角形即可得出答案.详解：如图所示，分别取的中点，则 ，，是异面直线AC与BD所成角.设，则，，，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键.4．【答案】①②③【解析】分析：在①中，设，取中点，中点，中点，推导出是等边三角形，从而得到，所成的角为；在②中，由，且，由此能得到为等边三角形；在③中，推导出面，从而；在④中，推导出是与平面所成角，从而得到与平面所成角为．详解：解：在①中：将正方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，设，取中点，中点，中点，连结，，，，，则，且，，由三角形中位线定理得，，且，，是，所成的角，，是等边三角形，，，所成的角为，故①正确；在②中：，且，，，为等边三角形，故②正确；在③中：，是中点，，，又，面，面，，故③正确；在④中：是直二面角，，平面，是与平面所成角，，，与平面所成角为，故④错误．故答案为：①②③．5．【答案】【解析】分析：如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，连接，可得平面即为所需截面，求出其周长即可.详解：如图，取AF中点G，分别在，上取点H，M，使，连接，又分别是中点，，又，，四边形为平行四边形，，，平面，，平面，又，平面平面，又平面ABC，，分别是的中点，，，，，，在中，，，，，所求截面的周长为.故答案为：.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是根据线面平行的性质得出截面与各棱的交点.6．【答案】④【解析】由正方体的平面展开图定点原正方体，然后利用空间中直线与直线的位置关系判断.详解：由正方体的平面展开图可得原正方体如图：由图可知，与异面，故①错误；与平行，故②错误；为与所成角，为，故③错误；∵，且，∴与垂直，故④正确.故答案为：④.【点睛】本题主要考查正方体的平面展开图还原几何体，还考查了空间想象的能力，属于中档题.7．【答案】1或3【解析】分析：首先，对平面内的三个平面的放置情形进行分类，然后，确定它们的交线的条数．详解：解：当三个平面有公共的一条交线时，显然满足题意，此时交线只有一条；当该三个平面为三棱锥的三个侧面时，此时，交线则有3条，故答案为：1或3.8．【答案】【解析】分析：连接，并取其中点为，连接，，则就是异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成的角．详解：解：取的中点，连接，则就是异面直线与所成的角.由得，，，即异面直线与所成角的大小为故答案为：【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．9．【答案】【解析】分析：先作出异面直线所成角：取的中点，连接，，则或它的补角为直线与所成的角．然后在中利用余弦定理可求得结果.详解：如图所示：取的中点，连接，，则或它的补角为直线与所成的角．因为为正三角形，设，，，，在中，由余弦定理可得．又，所以．故答案为：.【点睛】本题考查了用定义求异面直线所成角，考查了学生的逻辑推理．直观想象与数学运算等数学核心素养．属于中档题.10．【答案】2【解析】分析：把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，直线从向两边转到时与，所成角单调递增，必有经过，由此能求出结果．详解：解：把异面直线，平移到相交，使交点为，此时，过点作直线平分，这时与，所成角为，过点作直线垂直和，这时与，所成角为，直线从向两边转到时与，所成角单调递增，必有经过，由题意满足条件的直线有2条．故答案为：2.11．【答案】①④⑤（或②③⑤）【解析】分析：由面面平行．线面平行结合线不在面内得结论（或由面面垂直，线面垂直结合线不在平面内得结论）.详解：由，，，得；由，，得，故答案为：①④⑤（或②③⑤）12．【答案】①②④【解析】分析：让从开始逐渐向运动变化，观察所得的截面，从而可得正确的选项．详解：由题设可得为所在棱的中点.当时，如图（1），直线 分别交与，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确.当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故B正确.当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误.如图（4），在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面即．．三条直线交于一点.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：平面的性质有3个公理及其推理，注意各个公理的作用，其中公理2可用来证明三点共线或三线共点，公理3及其推理可用来证明点共面或线共面，作截面图时用利用公理2来处理.13．【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】分析：根据题意可得BD⊥AC．根据线面垂直的性质定理，可得BD⊥PA．根据线面垂直的判定定理，即可得答案.详解：连接BD，AC．∵四边形ABCD各边都相等，即四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．又PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA．∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC或BM⊥PC时，PC⊥平面BDM．故答案为：（或）14．【答案】【解析】分析：根据异面直线所成角的定义即可求出．详解：如图所示：，因为，所以（或其补角）即为与所成的角，而为等边三角形，所以．故答案为：．15．【答案】【解析】分析：先通过观察找出二面角的平面角，再通过解三角形中的余弦定理求出平面角的余弦值，结合角的范围得出平面角的正弦值，即可得出答案.详解：如图,连接,取中点,连接,由于都是正方体的面对角线，所以，所以是等腰三角形，又是中点，所以,同理,所以是二面角的平面角，不妨设正方体边长为，则易得在中，根据余弦定理得又,所以即二面角的正弦值为，故答案为: