2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期10月阳光调研数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期10月阳光调研数学试题

一、单选题

1．设等差数列的前n项和为，且，则（    ）

A．64 B．72 C．80 D．144

【答案】B

【分析】利用等差数列下标和性质，求得，再用等差数列前项和公式即可求解.

【详解】根据等差数列的下标和性质，，解得，

.

故选：B.

2．设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可.

【详解】解：对于A：若，，则或与相交，故A错误；

对于B：若，，由面面垂直的判断定理可得，故B正确；

对于C：若，，则或，故C错误；

对于D：若，，则或或与相交，故D错误．

故选：B．

3．若在 1 和 16 中间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则公比 为（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】A

【分析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.

【详解】解：成等比数列，

∴根据等比数列的通项得：，

，

故选：A.

4．等差数列的公差为d，前n项和，则“”是“数列为单调递增数列”的（    ）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据等差数列前n项和公式可得，当证得为递增数列，反之亦可.

【详解】因为，

所以，

若，则关于n的函数单调递增，

所以数列为递增数列；

若为递增数列，则，

即，解得.

所以“”是“为递增数列”的充分必要条件.

故选：A

5．记Sn为等差数列{an}的前n项和，给出下列4个条件：①a1=1；②a4=4； ③S3=9；④S5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】B

【分析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果.

【详解】设等差数列{an}的公差为，

，，，即，

即.

当，时，①③④均成立，②不成立.

故选：B

6．已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围.

【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率．

由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率，

因此直线的倾斜角的取值范围是．

故选：C

7．在公差不为0的等差数列中，，，，，成公比为4的等比数列，则（    ）

A．84 B．86 C．88 D．96

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，根据，，，，成公比为4的等比数列，由，得，再结合求解.

【详解】设等差数列的公差为．

因为，，，，成公比为4的等比数列，

所以，所以，得．

所以，所以．

即，解得．

故选：B．

8．已知数列的前项和为，，，且，若对任意都成立，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】由与的关系得，则，设，利用数列的单调性即可求解．

【详解】解：数列的前n项和为，，，且，

所以，

故，

因为，所以，

所以，，，，

则，

故，

所以，

所以，

因为对任意都成立，

所以．

设，则，

当时，，当时，，

因此

即，故的最小值为．

故选：C

【点睛】本题解答的关键利用求出数列的递推公式，再利用累加法求出的通项；

二、多选题

9．在等差数列 中，若 ，则（    ）

A．

B．

C． 的最大值为 45

D． 时， 的最大值为 19

【答案】ABC

【分析】先利用等差数列的通项公式及前项和公式求出及即可判断选项的正误；

利用数列的单调性即可判断选项的正误，解关于的不等式即可判断选项的正误.

【详解】由已知条件得，，

解得，，则, 则选项均正确；

，此数列为单调递减数列，其中，

则数列的前项和或前项和最大，即的最大值为, 则选项正确；

，解得，且, 则的最大值为，则选项不正确；

故选：.

10．已知单调递增的正项等比数列中，，，其公比为q，前n项和，则下列选项中正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由已知条件解得等比数列首项与公比后，即可得到数列的通项公式及前n项和公式，代入验证各选项即可解决.

【详解】单调递增的正项等比数列中，公比为

由，可得或（舍），

则数列的通项公式为，前n项和

选项A：.判断正确；

选项B：.判断错误；

选项C：.判断错误；

选项D：.判断正确.

故选：AD

11．关于无穷数列{an}，以下说法正确的是（　　）

A．若数列{an}为正项等比数列，则{}也是等比数列

B．若数列{an}为等差数列，则{}也是等差数列

C．若数列{an}的前n项和为Sn，且{}是等差数列，则{an}为等差数列

D．若数列{an}为等差数列，则依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列一定是等差数列

【答案】AD

【分析】利用等比数列的定义可判断A，利用特例可判断B，利用与的关系可判断C，利用等差数列的性质可判断D.

【详解】对于A，若数列{an}为正项等比数列，则＝q，则有＝，即{}也是等比数列，A正确；

对于B，设an＝n，数列{an}为等差数列，但{}不是等差数列，B错误；

对于C，数列{an}的前n项和为Sn，且{}是等差数列，不妨设，则，

当时，，

当时，，

∴当时，，

又，，不一定等于，

∴{an}不一定为等差数列，C错误；

对于D，若数列{an}为等差数列，设其公差为d，依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列为{}，

有，则组成的新数列一定是等差数列，D正确；

故选：AD．

12．下列命题正确的有（   ）

A．若等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列

B．若为等比数列，且，则

C．若等差数列的前项和为，已知，且，，则可知数列前项的和最大

D．若 ，则数列的前2020项和为4040

【答案】BCD

【分析】A.利用等差数列的性质判断；B.利用等比数列的性质判断；C.根据等比数列前n项和公式判断；D.利用数列并项求和判断.

【详解】A.等差数列的前项的和为，则，，也成等差数列，故错误；

B. 为等比数列，且，则，所以，故正确；

C. 因为，则，，则，所以，，

所以数列前项的和最大，故正确；

D. 因为，所以数列的前2020项和为：，，故正确.

故选：BCD

三、填空题

13．直线：，：，若，则________．

【答案】2

【分析】由两直线平行的判定列方程求参数，注意验证排除重合的情况.

【详解】由题设，，则，

所以或，

当，：，：重合，不合题设；

当，：，：平行，满足题设；

故.

故答案为：2

14．数列满足，则 __________.

【答案】

【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；

【详解】∵①

时，②

①-②得，

时，满足上式，.

故答案为：.

【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.

15．已加数列满足，若恒成立.则a的取值范围是_________．

【答案】

【分析】由数列的单调性列式求解

【详解】由题意得数列单调递减，则

解得，

故答案为：

四、双空题

16．已知数列的前n项和为，，（），则的值为________，的值为________.

【答案】     99     4950

【分析】利用数列的递推关系可知数列的奇数项是首项为，公差为2的等差数列，偶数项是首项为，公差为2的等差数列，利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求解.

【详解】将代入得，

由①得②，

②①得，

所以数列的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，

，

   ，

故答案为：99 ;  4950.

五、解答题

17．已知等差数列的前n项和为．公差（其中）．

(1)求m；

(2)求．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算即得；

（2）由题可得及，进而即得.

【详解】（1）∵是等差数列，，

所以，

解得，

即；

（2）由（1）可知，

∴，

∴

.

18．已知数列{an}满足*．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据递推关系式可得，再由等差数列的定义以及通项公式即可求解.

（2）利用错位相减法即可求解.

【详解】（1）（1），即，

所以数列为等差数列，公差为1，首项为1，

所以，即.

（2）令，

所以，

所以

19．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：平面AEC；

（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）连BD，设BD∩AC=O，连EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到．再利用线面平行的判定定理证明.

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量，又为平面DAE的一个法向量，然后利用公式求解.

【详解】（1）如图所示：

连BD，设BD∩AC=O，连EO，

因为E是PD的中点，O为BD的中点，

所以．

又因为平面AEC，平面AEC，

所以平面AEC；

（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，．

设为平面AEC的一个法向量，

则，

令，则，

又为平面DAE的一个法向量，

由向量的夹角公式，可得

所以二面角的平面角的余弦值为．

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.

20．已知数列的前n项和为，

(1)求的通项公式：

(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.

【答案】(1)

(2)142

【分析】（1）根据数列的前n项和进行求解即可；

（2）根据题意，结合等比数列前n项和公式进行求解即可.

【详解】（1）解：∵的前n项和为，

当n=1时，，

当时，

则

=，

经验证当n=1时，满足.

故；

（2）因为与之间插入个1，

所以在中对应的项数为

，

当k＝6时，，当k＝7时，，

所以，，且．

因此

.

21．已知正项数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求的取值范围.

【答案】（1）.（2）

【分析】（1）利用，求得数列的通项公式.

（2）由（1）求得的表达式，然后利用裂项求和法求得的前项和.利用差比较法证得数列递增，进而求得的取值范围.

【详解】（1）当时，由，得，得，

由，得，

两式相减，得，

即，

即

因为数列各项均为正数，

所以，所以

所以数列是以为首项，为公差的等差数列.

因此，，

即数列的通项公式为.

（2）由（1）知，所以，

所以，

所以，

，

，

令，则，

所以是单调递增数列，数列递增，

所以，又，

所以的取值范围为.

【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系，等差数列的定义及通项公式，求和公式以及裂项相消求和，还考查了运算求解的能力，属于难题.

22．已知数列的前n项和为，，数列是首项为3，公比为3的等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围；

(3)若，求出所有的有序数组（其中），使得依次成等差数列？（本小题给出答案即可，无需解答过程）

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）根据通项公式与前项和的关系，结合累加法求解即可；

（2）将题意转换为存在，使得成立，即求的最大值.再计算的正负区间，确定的最大项即可；

（3）逐步分析，先判断当时不满足，再分析当，时也不满足，从而得到，再分析时有两组解或，再证明当时，不成等差数列即可.

【详解】（1）∵，①

∴当时，，②

①②得：

即，

，

由累加法得：时，

，

所以，所以，

当时，亦满足上式，∴.

（2）因为数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，

因为存在，使得成立，所以存在成立，

令，则，

∵，

∴时，即，

当时，，故当或时，取得最大值，

又因为，所以.

所以实数k的取值范围为：

（3），由（2）知，因为，

且，故若，则，，

故，即不成等差数列，故.

若，则，又，

故不成等差数列，故.

当时，此时，

此时，解得.

此时或，，，为或，

当时，因为，且，故，即，

故，

即当时，.又，故，故不成等差数列.

综上所述，有序数组为或.