2022-2023学年北京市牛栏山第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市牛栏山第一中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则等于（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】根据集合的包含关系即可求解.

【详解】解：因为，且，

则或.

故或.

故选：D.

2．如果，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、C、D；

【详解】解：对于A：若，，满足，但是，故A错误；

对于B：因为，所以，故B错误；

对于C：因为，所以，故C正确；

对于D：因为，所以，故D错误；

故选：C

3．若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系

【详解】，，，

故.

故选：B

4．设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】由，可知．

“”是“”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．

5．下列函数中,既是偶函数又在区间（0,+ ∞）上单调递减的是

A．y=cosx

B．

C．

D．

【答案】C

【详解】A，C，D为偶函数，排除B；A在区间上不是单调函数，D在区间上是单调递增，

故选：C．

【解析】函数的奇偶性、单调性．

6．已知函数，则的（    ）

A．图象关于原点对称，且在上是增函数

B．图象关于轴对称，且在上是增函数

C．图象关于原点对称，且在上是减函数

D．图象关于轴对称，且在上是减函数

【答案】A

【分析】由奇偶性定义可知为奇函数，结合指数函数单调性可确定的单调性，由此可得结果.

【详解】定义域为，，

为奇函数，图象关于原点对称；

当时，为增函数，为减函数，为增函数.

故选：A.

7．下列三个函数中具有性质：，当时，的函数个数（    ）

①；②；③（，为常数）.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【分析】由题意，根据二次函数，三角函数，一次函数，指数函数的单调性，可得答案.

【详解】对于①，函数，开口向上，令，解得，故当时，，故①符合题意；

对于②，函数，由当时，，则不存在，当时，，故②不符合题意；

对于③，函数，当时，在上恒成立；当时，该函数的定义域为，取且，在上恒成立；故③符合题意.

故选：C.

8．已知函数的图象沿轴向左平移个单位后与函数的图象关于轴对称，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数对称关系、函数图象平移的基本方法可求得，由可求得结果.

【详解】关于轴对称的函数为，，

，.

故选：C.

9．已知点与点，关于轴对称，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得，，从而得到，即可求出、，最后利用二倍角公式求出与即可；

【详解】解：由已知可知：，，所以．

所以，，

，

，

故选：D．

10．设集合中至少两个元素，且满足：①对任意，若，则 ，②对任意，若，则，下列说法正确的是（    ）

A．若有2个元素，则有3个元素

B．若有2个元素，则有4个元素

C．存在3个元素的集合，满足有5个元素

D．存在3个元素的集合，满足有4个元素

【答案】A

【解析】不妨设，由②知集合中的两个元素必为相反数，设，由①得，由于集合中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素，分集合有个元素和多于个元素分类讨论，即可求解.

【详解】若有2个元素，不妨设，

以为中至少有两个元素，不妨设，

由②知，因此集合中的两个元素必为相反数，故可设，

由①得，由于集合中至少两个元素，故至少还有另外一个元素，

当集合有个元素时，由②得：，则或.

当集合有多于个元素时，不妨设，

其中，

由于，所以，

若，则，但此时，

即集合中至少有这三个元素，

若，则集合中至少有这三个元素，

这都与集合中只有2个运算矛盾，

综上，，故A正确；

当集合有个元素，不妨设，

其中，则，所以，

集合中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合中至少个元素，与矛盾，排除C，D.

故选：A.

【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

二、填空题

11．计算：____________.

【答案】1

【分析】利用对数运算法则及换底公式运算即可

【详解】，

故答案为：1

12．已知函数，当时，取最小值，则____________.

【答案】

【分析】利用基本不等式及其取等条件可求得，加和可得结果.

【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），

，，.

故答案为：.

13．已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，则___________.

【答案】

【分析】先由三角函数的定义求得，再利用诱导公式求得，进而求得.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，则，

又因为角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，故，

所以，

故.

故答案为：.

14．写出一个满足函数在上单调递增的值_____________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】分段讨论函数的单调性，画出，的图象，结合函数图象即可得到参数的取值范围，即可得解.

【详解】解：因为，

当时在定义域上单调递增，

当时，

画出，的图象如下所示：

要使函数在上单调递增，

由图可知当时均可满足函数在上单调递增；

故答案为：（答案不唯一）

15．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，（，不重合），设直线，分别与轴交于点A，B，则下列结论中正确的序号为______________.

①点不可能是坐标原点；②两点的横坐标之积为定值；

③线段AB的长度为定值；④三角形ABP面积的最大值为1.

【答案】①②③

【分析】设点、的横坐标分别为，且，分析可知当时，利用导数的几何意义及斜率公式可判断②的正误；求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可判断③的正误；求出点的横坐标可判断③的正误；利用三角形的面积公式可判断④的正误.

【详解】对于②，因为，

所以，当时，；当时，，

不妨设点、的横坐标分别为，且，

若时，直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意；

若时，则直线、的斜率分别为、，此时，不合乎题意.

若，则直线、的斜率分别为，，

由题意可得，可得，合乎题意，故②正确；

易知点、，

对于③，直线的方程为，令可得，即点，

直线的方程为，令可得，即点，

所以，，故③正确；

对于①，联立可得，

因为，故，所以点不可能是坐标原点，故①正确；

对于④，令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，则当时，，

所以，，故④错误，

故答案为：①②③

【点睛】方法点睛：本题主要考查了导数的几何意义的综合问题，需要根据题意设切点横坐标，并根据题意列式分析横坐标满足的关系式，同时也需要构造函数分析所求的式子的单调性与最值，属于难题.

三、解答题

16．已知函数

(1)求的定义域；

(2)设是第四象限的角，且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）函数要有意义需满足，解得；

（2）由由得，代入函数即可.

【详解】(1)由，得，

所以的定义域为

(2)因为是第四象限的角，且，

由，得，又∵，

.

∵α是第四象限的角，∴，

又

，

所以.

17．已知的周长为，且.

(1)求边的长；

(2)若的面积为，求角的度数.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解；

（2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解．

【详解】(1)解：由正弦定理知，

，

，

的周长为，

，

．

(2)解：的面积，

，

由（1）知，，，

由余弦定理知，

，

．

18．已知函数.

（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；

（2）当时，求证：；

（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）（2）证明见解析（3）

【解析】（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明；

（3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.

【详解】解：（1）因为，

所以.

由题知，

解得.

（2）当时，，

所以.

当时，，在区间上单调递减；

当时，，在区间上单调递增；

所以是在区间上的最小值.

所以.

（3）由（1）知，.

若，则当时，，在区间上单调递增，

此时无极值.

若，令，

则.

因为当时，，所以在上单调递增.

因为，

而，

所以存在，使得.

和的情况如下：

因此，当时，有极小值.

综上，a的取值范围是.

【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.

19．设函数.

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)判断函数的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)1个

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，计算出切点的纵坐标，即可求得切线方程

（2）根据导数求出函数的单调区间，再结合零点存在定理说明零点的分布即可

【详解】(1)解：由得

∴切线方程为：

(2)解：

令

解得：或

当或时，，递增

当时，，递减

，

在与没有零点，

又时

使得

如下图所示：其中是函数的渐近线

综上，函数的零点个数为1个

【点睛】本题解题的关键是求出函数的单调区间与极值，借助函数图像的直观性判断出零点的个数，再用零点存在定理表达出零点的分布，易错点为容易忽略函数的定义域．

20．已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若对任意恒有，求的最大值.

【答案】(1)在，，上单调递增，在上单调递减

(2)

【分析】（1）首先确定的定义域，求导后，根据的正负即可得到的单调性；

（2）当时，由和可知满足题意；当时，由恒成立可知，满足题意；当时，由（1）中结论可知不合题意；综合三种情况可得的最大值.

【详解】(1)由得：，的定义域为；

；

令，当时，，

令，解得：，，

当时，；当时，；

在，，上单调递增，在上单调递减.

(2)由（1）知：，，

①当时，当时，，，

，满足题意；

②当时，，，即恒成立，

，满足题意；

③当时，由（1）知：在上单调递减，此时，不合题意；

综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.

21．已知向量，其中，，是两两不相等的正整数.记，，其分量之间满足递推关系，，，.

(1)当时，直接写出向量；

(2)证明：不存在，使得中；

(3)证明：存在，当时，向量满足.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析

【分析】（1）利用并结合题意写出，，，，，，发现规律即可得到答案；

（2）假设存在，使得中，通过推导可得到，能得到，以此类推能得到，与题意矛盾，故可证；

（3）设三个数中最大的为，能得到，因为，故存在，使得，结合题目中的定义可得中三个数中必有0，故可证

【详解】(1)因为，根据题意可得，，，，，

观察到，所以从开始，周期为3，所以；

(2)假设存在，使得中，

设，所以，，，

不妨设，则由，，，

由可得，解得，即，

以此类推，可得，，，这与，，是两两不相等的正整数矛盾，

故假设不成立，所以不存在，使得中；

(3)设三个数中最大的为，记作，

因为，，，，

所以，

因为，所以不可能单调递减，即存在，使得，

根据的定义，可得中三个数中必有0，

假设三个数中有两个为0，显然，

不妨设，则，，即，这与矛盾，舍去；

假设三个数中有三个为0，显然，通过（2）已经证明不成立；

故三个数中只有一个数为0，

不妨设，则，

设，所以，即

，，

故，则，，

所以存在，当时，向量满足

【点睛】关键点点睛:本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义,在第（3）问中讨论三个数中有两个为0或三个为0的情况并不满足题意，故三个数中只有一个数为0