2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学朝阳学校高二下学期数学期中测试数学试题 解析版

这是一份2021-2022学年北京市中国人民大学附属中学朝阳学校高二下学期数学期中测试数学试题 解析版，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京人朝分校高二（下）期中
数 学
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．（5分）已知物体的运动方程为是时间，是位移），则物体在时刻时的速度为　　
A． B． C． D．
2．（5分）甲、乙、丙、丁4名同学和1名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为　　
A．12 B．24 C．48 D．120
3．（5分）某市2016年至2020年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号
0
1
2
3
4
年销量
10
15

30
35
若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为　　
A．22 B．20 C．30 D．32.5
4．（5分）已知100个产品中，有83个产品长度合格，90个产品质量合格，80个产品长度和质量都合格．现任取一个产品，若它的质量合格，则它长度合格的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）若甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，，的平均数为4，则下列说法错误的是　　
A．的值为
B．乙组样本数据的方差为36
C．两组样本数据的样本中位数一定相同
D．两组样本数据的样本极差不同
6．（5分）某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩近似服从正态分布（试卷满分150分），且，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为　　
A．2800 B．4200 C．5600 D．7000
7．（5分）已知函数和的导函数，图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是　　

A．有3个极大值点
B．有3个极小值点
C．有1个极大值点和2个极小值点
D．有2个极大值点和1个极小值点
8．（5分）已知可导函数的定义域为，且，若，则　　
A．（a）（b）
B．（a）（b）
C．（a）（b）
D．（a），（b）的大小关系不能确定
9．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则　　
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
10．（5分）在下列函数①；②；③；④中，满足在定义域内恒成立的函数个数是　　
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）
11．（5分）的展开式中各项二项式系数之和为32，则　　，展开式中的常数项为　　．
12．（5分）下表记录了某地区一年之内的月降水量．
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
月降水量
58
48
53
46
56
56
51
71
56
53
64
66
根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是　　；分位数是　　．
13．（5分）如图为某校1000名高一学生的体育测试成绩的频率分布直方图，如果要按照分层抽样方式抽取200名学生进行分析，则要抽取的，之间的学生人数是　　；估计这1000名学生的体育测试平均成绩为　　．

14．（5分）若函数在，上的最大值为，则的值为　　．
15．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．随机变量表示在3次活动中甲获胜的次数，则　　；　　．
16．（5分）记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．已知，函数与，给出下列四个结论：
①存在正数，使得与恰有1个“点”；
②存在正数，使得与恰有2个“点”；
③存在负数，使得与恰有1个“点”；
④存在负数，使得与恰有2个“点”．
其中所有正确结论的序号是　　．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（14分）2018年8月16日，中共中央政治局常务委员会召开会议，听取关于吉林长春长生公司问题疫苗案件调查及有关问责情况的汇报，中共中央总书记习近平主持会议并发表重要讲话．会议强调，疫苗关系人民群众健康，关系公共卫生安全和国家安全．因此，疫苗行业在生产、运输、储存、使用等任何一个环节都容不得半点瑕疵．国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床实验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如下：

未感染病毒
感染病毒
总计
未注射疫苗
40


注射疫苗
60


总计
100
100
200
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为．
（Ⅰ）求列联表中的数据，，，的值；
（Ⅱ）能否有把握认为注射此种疫苗有效？请说明理由；
（Ⅲ）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病例分析，然后从这五只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，记为3只中未注射疫苗的小白鼠的只数，求的分布列和期望．
附：，．

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
18．（13分）北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位：元）如下：
四惠

3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
四惠东


3
3
3
4
4
4
5
5
5
5
5
高碑店



3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
传媒大学




3
3
3
4
4
4
4
5
5
双桥





3
3
3
4
4
4
4
4
管庄






3
3
3
3
4
4
4
八里桥







3
3
3
3
4
4
通州北苑








3
3
3
3
3
果园









3
3
3
3
九棵树










3
3
3
梨园











3
3
临河里












3
土桥














四惠
四惠东
高碑店
传媒大学
双桥
管庄
八里桥
通州北苑
果园
九棵树
梨园
临河里
土桥
（Ⅰ）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；
（Ⅱ）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为元，求的分布列；
（Ⅲ）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）
19．（15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）当时，求函数在区间，上的最小值．
20．（14分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）证明：当时，函数在区间内存在唯一零点．
21．（14分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”．
（1）已知数列为4，3，1，2，数列为1，2，6，24，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列为单调递增的等差数列，且，，求证：为“等比源数列”．

参考答案
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1．【分析】根据位移的导数是速度，求出的导函数即速度与时间的函数，将2代入求出物体在时刻时的速度．
【解答】解：物体的运动速度为
所以物体在时刻时的速度为（2）
故选：．
【点评】本题考查导数在物理上的应用：对物体位移求导得到物体的瞬时速度．
2．【分析】根据题意，分2步进行分析：先将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，再将老师安排在中间，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁4名同学全排列，有种排法，
老师必须站在中间，有1种安排方法，
则有种站法；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
3．【分析】根据已知条件，求出，的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解．
【解答】解：由表中数据可得，，，
用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，
，解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．
4．【分析】由题意可得100个产品中，质量合格的产品有90个，其中质量合格的产品有80个，再结合古典概型及其概率计算公式求解即可．
【解答】解：由题意可得100个产品中，质量合格的产品有90个，其中质量合格的产品有80个，
则任取一个产品，若它的质量合格，则它长度合格的概率为，
故选：．
【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属基础题．
5．【分析】对于，结合平均数公式，即可求解，
对于，结合方差公式，即可求解，
对于，结合中位数的定义，即可求解，
对于，结合极差的定义，即可求解．
【解答】解：甲组样本数据，，，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，
又乙组样本数据，，，的平均数为4，
，解得，故正确，
乙组样本数据方差为，故正确，
设甲组样本数据的中位数为，
则乙组样本数据的中位数为，
两组样本数据的样本中位数不一定相同，故错误，
甲组数据的极差为，
则甲组数据的极差为，
两组样本数据的样本极差不同，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于基础题．
6．【分析】利用正态分布的对称性可得，可得，即可得出结论．
【解答】解：近似服从正态分布（试卷满分150分），且，
，
，
这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数，
故选：．
【点评】本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．【分析】由已知结合函数的单调性与极值的关系进行分析即可求解．
【解答】解：结合函数图象可知，当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
当时，，此时，函数单调递减，
故函数在，处取得极大值，在处取得极小值．
故选：．

【点评】本题主要考查了函数极值的判断，属于基础试题．
8．【分析】令，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：令，
则，
，
，在递增，
若，则（a）（b），
即，即（a）（b），
故选：．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想，是中档题．
9．【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可．
【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，，
两点数和为7的所有可能为，，，，，，
（甲，（乙，（丙，（丁，
（甲丙）（甲（丙，
（甲丁）（甲（丁，
（乙丙）（乙（丙，
（丙丁）（丙（丁，
故选：．
【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于中档题．
10．【分析】分别求得给出的函数的导数，结合因式分解和导数的运用，求得最值，可判断结论．
【解答】解：对于①，，

，
即，故①不满足题意；
对于②，导数为，
设，
，当时，，递增；
当时，，递减．
所以在处取得最小值0，即，
故②符合题意；
对于③，导数为，
设，
，由，可得有无数个解，故③不符合题意；
对于④，导数为，

，
即，故④满足题意．
故选：．
【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）
11．【分析】由已知即可求出的值，再求出展开式的通项公式，令的指数为0，进而可以求解．
【解答】解：由已知可得，则，
所以二项式的的这款是的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故答案为：5；10．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．【分析】把表中数据按照从小到大顺序排列，再求中位数和百分位数．
【解答】解：把表中数据按照从小到大顺序排列为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71；
计算中位数是；
因为，所以分位数是第10个数据，是64．
故答案为：56；64．
【点评】本题考查了中位数和百分位数的计算问题，是基础题．
13．【分析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及平均数公式，即可求解．
【解答】解：抽取的，之间的频率为，
抽取的，之间的学生人数是，
估计这1000名学生的体育测试平均成绩为．
故答案为：40，73．
【点评】本题主要考查频率与频数的关系，以及平均数公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
14．【分析】由已知得，由，得或，由此利用导数性质求出函数在，上的最大值为，由此能求出的值．
【解答】解：，
，
由，得或，
，
，
，
，
函数在，上的最大值为，
解得．
故答案为：2．
【点评】本题考查函数的最值的求法，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．
15．【分析】首先根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，进而可计算在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解．根据二项分布的方差公式求．
【解答】解：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为，
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为；
根据题意可知，，
所以，
故答案为：；．
【点评】本题考查了独立重复实验概率的计算与方差的求解，属于基础题．
16．【分析】根据题意得到方程组，消去后得到，通过研究的单调性得到国像，进而通过与的交点情况得到答案．
【解答】解：函数与，
假设是函数与的一个“点”，
则有：，②①得：
，令，，当时，，
当时，，
当时，，
故在时取得极小值，，当时，，
当时，，画出图象如下：

当时，与有且只有一个交点，所以存在正数，使得与恰有1个“点”，①正确，②错误；
当，时，与有一个交点，故存在负数，使得与恰有1个“点”，③正确；
当（时，与有两个交点，存在负数，使得与恰有2个“点”，④正确．
故答案为：①③④．

【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，用到了数形结合的思想，属于难题．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【分析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，以及列联表之间的数据关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，从中抽取3只，则的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
【解答】解：从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为，
，解得，
则，，．
，
没有把握认为注射此种疫苗有效．
由于在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，
故抽取的5只小白鼠中，有3只未注射疫苗，2只已注射疫苗，
从中抽取3只，
则的可能取值为1，2，3，
，，，
故的分布列为：

1
2
3




故．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
18．【分析】（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件中基本事件数为．由此能求出两站间票价不足5元的概率．
（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元．的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）记两站间票价不足5元为事件，
在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，
事件中基本事件数为．
所以两站间票价不足5元的概率（A）．（3分）
（Ⅱ）记甲乙花费金额分别为元，元．
的所有可能取值为6，7，8，9，10．（4分）
，（5分）
，（6分）
，（7分）
，（8分）
．（9分）
所以的分布列为

6
7
8
9
10






（10分）
（Ⅲ）甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元，
乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．
和的方差和大小相等，．（13分）
【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．【分析】（Ⅰ）根据导数的集合意义求解；
（Ⅱ）转化成讨论导数的符号；
（Ⅲ）利用（Ⅱ），讨论极值点与定区间的关系，再数形结合得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）时，，，
（1），（1），曲线在，（1）处的切线方程为：；
（Ⅱ），，
①当时，，仅有单调增区间，其为：；
②当时，，当时；当时，，
的单调减区间为：，单调增区间为：；
③当时，，当时；当时，，
的单调减区间为：，单调增区间为：，
综合得：当时，仅有单调增区间，其为：；
当时，的单调减区间为：，单调增区间为：；
当时，的单调减区间为：，单调增区间为：．
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）中③知在上单调单调递减，在上单调递增，
①当，即时，在，上单调递增，，
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，，
③当，即时，在，上单调递减，．
．
【点评】本题考查导数的几何意义，导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，分类讨论思想，属中档题．
20．【分析】（Ⅰ）当时，利用导数可得在递减，在递增，即可得的最小值．
（Ⅱ）当时，．，
可得存在，使得，且，（1），即可证明在存在唯一零点．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
，令，可得，
当时，，当时，．
在递减，在递增，
（1）．
（Ⅱ）当时，．
，
单调递增，且，（1）
存在，使得，
在递减，在，递增，
且，（1），
在存在唯一零点．
【点评】本题考查了导数的应用，属于中档题．
21．【分析】（1）根据题中定义判断
（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解
（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解
【解答】解：（1）是“等比源数列”，不是“等比源数列”．
中“1，2，4”构成等比数列，所以是“等比源数列”；
中“1，2，6“，“1，2，24”，“1，6，24”，2，6，24”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列””．
（2）不是“等比源数列”．
假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，
即中存在的，，三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是“等比源数列”．
（3）证明：因为等差数列单调递增，所以．
因为则，且，所以数列中必有一项．
为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项，
使得成立，即，
即成立．
当，时，上式成立．所以中存在，，成等比数列．
所以，数列为“等比源数列“．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．