重庆市涪陵第二中学2022-2023学年高一数学上学期期中考试试卷（A卷）（Word版附解析）

涪陵二中2022年秋期高一年级期中数学试题(A卷)

第I卷（选择题）

一、单选题(共40分，每题5分.每题只有一个选项符合题意)

1. 命题“，”的否定是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】将特称命题否定为全称命题即可.

【详解】命题“，”的否定是“，”，

故选：D

2. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出，再求即可.

【详解】因为集合，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

3. 下列图形能表示函数的图象的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数的定义判断即可.

【详解】由函数的定义：对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为A→B从集合到集合的一个函数可知，只有B选项能表示函数的图象.

故选：B

4. “”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

由必要不充分条件的定义判断即可．

【详解】由不能推出，而可以推出

所以“”是“”的必要而不充分条件

故选：C

5. 已知函数，则 （  　）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】首先计算，再计算即可.

【详解】因为，所以.

故选：A

6. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据开平方时被开平方数要大于等于0及分式中分母不能为0列不等式求解即可.

【详解】函数意义的满足且，

解得，

故选：C.

7. 校门外有两个摊点卖瓜子，但价格不同，由于不清楚哪一处好吃一些，于是，同学甲在每个摊点都买了元钱的瓜子，同学乙在每个摊点都买了斤瓜子，总的来看，你认为他俩谁买得便宜？（  ）

A. 同学甲 B. 同学乙 C. 一样的 D. 由于价格不知道，没办法确定

【答案】A

【解析】

【分析】设校门外两个摊点所卖瓜子的价格分别为、（单位：元/斤），计算出两个同学所买瓜子的价格，作差可得出结论.

【详解】设校门外两个摊点所卖瓜子价格分别为、（单位：元/斤），其中，

则甲同学所买瓜子的重量为斤，价格为（元/斤），

乙同学所买瓜子的总重量为斤，总花费为元，价格为（元/斤），

因为，

所以，甲同学买的瓜子便宜些.

故选：A.

8. 已知函数，则函数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用换元法求函数解析式即可.

【详解】令，因为，所以，则，

所以，

即.

故选：D.

二、多选题(共20分，每题5分.每题有两个以上选项符合题意，全部选出得5分，选出部分得2分，但若含有错误选项得0分)

9. 下列函数在区间上单调递增的有（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据各选项中的函数，分析在上的单调性即可判断作答.

【详解】二次函数在上单调递增，A是；

反比例函数在上单调递减，B不是；

一次函数在上单调递增，C是，

函数在上单调递减，D不是.

故选：AC

10. 下列结论中错误的是（     ）

A. 若a>b，c>d，则a-d >b-c B. 若a>b，则 C. 若a>b，c>d，则ac>bd              D. 若a >b，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用不等式性质推理判断A；举例说明判断B，C，D作答.

【详解】对于A，因c>d，则-d>-c，而a>b，因此a-d >b-c，A正确；

对于B，a>b，当时，有，B不正确；

对于C，取，显然满足a>b，c>d，而，C不正确；

对于D，取，满足a >b，而，D不正确.

故选：BCD

11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（     ）

A.  B.

C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据给定的解集，借助根与系数的关系用a表示b，c，再逐项判断作答.

【详解】因关于的不等式的解集为，则是方程的二根，且，

于是得，即有，

，即，A正确；

，B不正确；

不等式化为：，解得，即不等式的解集为，C不正确；

不等式化为：，即，解得，

所以不等式的解集为，D正确.

故选：AD

12. 函数的图象可能是　　

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，分、以及三种情况讨论函数的图象，分析选项即可得答案．

【详解】解：根据题意，

当时，，，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，，其图象在第一象限先减后增，在区间上，为减函数，其图象与选项对应，

当时，，在区间上，为增函数，在区间上，，其图象在第二象限先减后增，其图象与选项对应，

故选：．

第II卷（非选择题）

三、填空题(共20分，每题5分.直接写出解答结果)

13. 为庆祝“二十大”成功召开，学校举办了“永远跟党走”文艺汇演活动 . 高一某班选派了部分同学参演了两个节目，已知有20名同学合唱了歌曲《没有共产党就没有新中国》，15名同学表演了诗朗诵《党的赞歌》， 其中同时参加了两个节目有7名同学. 则这一个班参演了节目的共有______ 人．

【答案】28

【解析】

【分析】分别得到只合唱和诗朗诵、以及都参加的人数，然后相加即可.

【详解】由题可知：只参加合唱的同学又人

只参加诗朗诵的同学有：人，

都参加了的同学有：7人

所以这个班表演节目的共有人

故答案为：28.

14. 已知是一个偶函数，当时，则时，y的最小值是_____

【答案】

【解析】

【分析】根据偶函数的性质结合已知条件可求得结果.

【详解】因为是一个偶函数，当时，

所以当时，

所以当时，y的最小值是，

故答案为：.

15. 函数在区间上递增，则的取值范围是________

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的对称轴，根据函数在区间上的单调性，即可得到不等式，解得即可.

【详解】解：因为的对称轴为，开口向下，

又函数在区间上递增，

所以，解得，即的取值范围是.

故答案为：

16. 设函数，若函数，则____

【答案】-1

【解析】

【分析】变形给定的函数式，构造函数并探讨其奇偶性即可计算作答.

【详解】函数，令，

显然有，即函数是奇函数，

又，所以.

故答案：-1

四、填空题(共70分.请写出解答的主要过程及必要的文字说明)

17. （1）求不等式的解集；

（2）设（1）中不等式解集为，，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）将式子变形为，即可求出不等式的解集；

（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】解：（1）由，即，即，解得，

所以不等式的解集为.

（2）由（1）可得，又，

因为，所以，

所以，解得，所以的取值范围为.

18. 已知函数二次函数的图像过点，.

（1）求函数的解析式;

（2）若的定义域为， 求的最大值和最小值.

【答案】（1）   

（2）最大值为3，最小值为-6.

【解析】

【分析】（1）将所过点代入解析式，可得答案.

（2）由（1）可得对称轴，后结合单调性可得答案.

【小问1详解】

由题，，.则，

解得，故.

【小问2详解】

由（1），图像开口向上，其对称轴为.

又的定义域为，则在单调递减，在上单调递增.

则，.

19. 已知都是正实数，解决下列问题：

（1）若，求的最小值.

（2）若，求 的最小值.

（3）若,求的取值范围.

【答案】（1）5.    （2）18.   

（3）.

【解析】

【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案；

（2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案；

（3）利用基本不等式将化，换元后结合解一元二次不等式即可得答案.

【小问1详解】

由题意，知，

所以，

（当且仅当 ，即取等号），

故的最小值为5.

【小问2详解】

因为都是正实数，，

所以

 ，

当且仅当 即时取等号，

故 的最小值为18；

【小问3详解】

由都是正实数,得，

当且仅当时取等号，

即有，

设 ，则，解得(舍去)或，

∴的范围为.

20. 已知函数，.

（1）判定函数的单调性，并用函数单调性的定义进行证明；

（2）若实数满足，求的取值范围.

【答案】（1）减函数，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用对勾函数的单调性可得出结论，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；

（2）根据函数的单调性与定义域结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【小问1详解】

解：函数在上为减函数，证明如下：

任取、且，则，，

所以，，

则，故函数在上为减函数.

【小问2详解】

解：因为函数是定义在上的减函数，

由可得，解得.

所以，实数的取值范围是.

21. 已知函数的定义域为的奇函数，若当时，

（1）求解析式；

（2）若不等式对任意实数都成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由奇函数的性质可得出，当时，可得出，综合可得出函数的解析式；

（2）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.

【小问1详解】

解：因为函数的定义域为的奇函数，则，

当时，.

综上所述，.

【小问2详解】

解：由可得对任意的恒成立，

当时，则有，解得，不合乎题意；

当时，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

22. 已知函数的定义域为R，且满足下列两个条件:

①对任意实数，成立，

②当时，.

（1）求；

（2）判定的奇偶性并证明；

（3）设，试求的最大值

【答案】（1），   

（2）奇函数，证明见解析，   

（3）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）令，代入已知等式可求出，

（2）令，代入已知等式化简结合奇偶性的定义进行判断，

（3）先利用单调性的定义结合已知判断的单调性，然后分，和三种情况求出的最小值，从而可求出的最大值.

【小问1详解】

令，则，

得，

【小问2详解】

为奇函数，理由如下：

由题意可知的定义域为R，关于原点对称，

设，令，则

，

所以，

所以，

所以为奇函数，

【小问3详解】

先判断的单调性，

任取，且，

取，则由，得

，

因为为奇函数，所以，

因为，所以，所以，

所以，即，

所以在上为减函数，

所以当取得最小值时，取得最大值，

接下来求的最大值，

因为的图象开口向上，对称轴为，

所以①当，即时，在上递减，

所以，

所以的最大值为，

②当，即时，在上递减，在上递增，

所以，

所以最大值为，

③当时，在上递增，

所以，

所以的最大值为，

综上，当时，的最大值为，当时，的最大值为，当时，的最大值为.