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2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一卷二）含解析
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这是一份2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一卷二）含解析，共46页。试卷主要包含了 下列各式中，正确的是．， 若 有意义,则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一.选一选(每题3分,共30分)
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 下列各式中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 若 有意义,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A. 只有乙 B. 甲和乙 C. 只有丙 D. 乙和丙
5. 在ABC和中，已知∠A＝∠，AB＝，添加下列条件中的一个，没有能使ABC≌一定成立的是（ ）
A. AC＝ B. BC＝ C. ∠B＝∠ D. ∠C＝∠
6. 如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
7. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
8. 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S△ABD : S△ACD = ( )
A. 3 : 4 B. 4 : 3 C. 16 : 9 D. 9 : 16
9. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( )
A. 2＜x＜5 B. 4＜x＜10 C. 3＜x＜7 D. 无法确定
10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D. 大小关系没有确定
二.填 空 题(每题2分,共20分)
11. 当x________时，分式有意义，当x_________时，分式的值是零.
12. 一种细菌的半径为0.0004m ,用科学记数法表示为____________m．
13. 若9x2－mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是____________
14. 计算：20172-20162=____________.
15. 没有改变分式的值，把分子分母的系数化为整数:____________.
16. 已知，则________．
17. 如图,AC、BD相交于点O,,请你再补充一个条件,使得≌,你补充条件是______ ．
18. 如图，点P是∠BAC平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是_____
19. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标_________．
20. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．
三.解 答 题(共50分)
21. 分解因式:
(1) ；
(2)；
（3） ；
(4) .
22. 计算:(1)
(2)
（3）
（4）
23. 先化简,再求值： ，x取0,1,2,3,4中的一个数.
24. 解分式方程：(1)
（2）.
25. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
26. 如图，∠MON及ON上一点A．
求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边距离相等.
27. 已知如图，将一大、一小两个等腰直角三角尺ABC与DBE拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC =∠EBD=90°），连接AE、CD．问：AE与CD的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
28. 列方程或列方程组解应用题.
老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁是2022年北京至张家口的配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车．京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．
29. 观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20=_____．
30. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
31. 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90º．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B没有重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．（没有用证明）
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形，并说明理由．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一.选一选(每题3分,共30分)
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
D、两因式之间用加号连结，是和的形式，没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
故选：B．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
2. 下列各式中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】解；A．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，故A错误；
B．分子除以（a﹣2），分母除以（a+2），故B错误；
C．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，故C正确；
D．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，故D错误；
故选C．
3. 若 有意义,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由题意得：x−2≠0，解得：x≠2.
故选C.
4. 如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A. 只有乙 B. 甲和乙 C. 只有丙 D. 乙和丙
【正确答案】D
【详解】在△ABC和乙三角形中,有两边a、c分别对应相等,且这两边的夹角都为50∘，由SAS可知这两个三角形全等；
在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，
所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，
故选D.
5. 在ABC和中，已知∠A＝∠，AB＝，添加下列条件中的一个，没有能使ABC≌一定成立的是（ ）
A. AC＝ B. BC＝ C. ∠B＝∠ D. ∠C＝∠
【正确答案】B
【分析】全等三角形的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS，根据图形和已知条件，灵活解题．
【详解】解：A. ∠A＝∠，AB＝，AC＝，根据SAS 能推出ABC≌，正确，故A没有符合题意；
B.具备∠A＝∠，AB＝，BC＝没有能判断ABC≌，错误，故B符合题意；
C. 根据ASA 能推出ABC≌，正确，故C没有符合题意；
D.根据AAS，能推出ABC≌，正确，故D没有符合题意，
故选：B．
本题考查全等三角形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6. 如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
【正确答案】D
【详解】解：由作法可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，，
所以△POM≌△PON(HL).
故选D.
7. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
【正确答案】B
【详解】解：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根．
把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2．
故选：B．
分式方程，本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，增根使分式分母为零．
8. 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S△ABD : S△ACD = ( )
A. 3 : 4 B. 4 : 3 C. 16 : 9 D. 9 : 16
【正确答案】B
【详解】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=•DE•AB=×8DE=4DE，
S△ADC=•DF•AC=×6DF=3DF，
∴S△ABD：S△ACD=4DE：3DF =4：3，
故选B．
9. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( )
A. 2＜x＜5 B. 4＜x＜10 C. 3＜x＜7 D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】如图所示,AB=3，AC=7，延长AD至E，使AD=DE，连接BE、EC，
设AD=x，
在△BDE与△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC=7，AE=2x，
在△ABE中，BE−AB
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边的关系等知识，解题的关键是有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出没有等式，然后解没有等式即可.
10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系没有确定
【正确答案】A
【详解】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE.
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC(SAS)，
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB−AD=AB−AE=BE，BC−CD=BC−CE，
∵在△BCE中，BE>BC−CE，
∴AB−AD>CB−CD.
故选A.
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
二.填 空 题(每题2分,共20分)
11. 当x________时，分式有意义，当x_________时，分式的值是零.
【正确答案】 ①. x≠1 ②. x=5
【详解】当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义；
当分子x-5=0且分母x+2≠0，即x=5时，分式=0；
故x≠1；x=5.
12. 一种细菌的半径为0.0004m ,用科学记数法表示为____________m．
【正确答案】
【详解】由科学记数法定义知：0.0004=，
故答案为
13. 若9x2－mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是____________
【正确答案】±24
【详解】因为（3x±4y）2=9x2±24xy+16y2，即可得在9x2-mxy+16y2中，m=±24．
14. 计算：20172-20162=____________.
【正确答案】4033
【详解】20172-20162=(2017+2016)×(2017-2016)=4033.
故答案为4033.
15. 没有改变分式的值，把分子分母的系数化为整数:____________.
【正确答案】
【详解】根据分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，得==,
故答案为.
16. 已知，则________．
【正确答案】
【分析】利用完全平方和公式解答；
【详解】解：
∴
∴
即
故答案为
考查完全平方公式，熟记公式是解题关键，属于易错题.
17. 如图,AC、BD相交于点O,,请你再补充一个条件,使得≌,你补充的条件是______ ．
【正确答案】或或
【分析】本题要判定≌,已知,,则可以添加或或从而利用ASA或AAS判定其全等．
【详解】解：添加或或后可分别根据ASA、AAS、AAS判定≌．
故填或或．
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、添加时注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．
18. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是_____
【正确答案】3
【分析】根据角平分线的性质可得，点P到AB的距离=PE=3．
【详解】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，PE=3，
∴点P到AB的距离=PE=3．
故3．
本题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标_________．
【正确答案】, ,
【详解】如图所示：有3个点，当EE、F、N处时，△ACE和△ACB全等，
点E的坐标是：（1，5），（1，-1），（5，-1），
故答案为（1，5）或（1，-1）或（5，-1）．
20. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．
【正确答案】8．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE，然后求出△ADE的周长=AB．
【详解】∵∠C=90∘，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
Rt△BCD和Rt△BED中，
∵
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AB=8cm
故答案为8cm.
本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握这两个知识点是本题解题的关键.
三.解 答 题(共50分)
21. 分解因式:
(1) ；
(2)；
（3） ；
(4) .
【正确答案】（1）； (2)；(3)(x-y)(a+b)(a-b)；(4)(x-2y)(x+3y)
【详解】试题分析：（1）原式提取公因式分解即可
（2）原式先分组，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（4）原式先变形，再提公因式法分解因式即可．
试题解析：（1）原式= =；
（2）原式==1-(a+b)2=；
（3）原式=a2(x−y)−b2(x−y)=(x−y)(a+b)(a−b)；
（4）原式= ==x(x+3y)-2y(x+3y)= (x-2y)(x+3y).
22. 计算:(1)
(2)
（3）
（4）
【正确答案】4, , , x-1
【详解】试题分析：（1）利用负整数指数幂即零指数幂运算性质计算即可；
（2）直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用整式除法运算法则求出答案；
（3）首先化简分式，进而通分进行加减运算即可；
（4）先算括号里的减法，再把除法化乘法，约分即可.
试题解析：（1）原式=2-1+3=4；
（2）原式===；
（3）原式===；
（4）原式==x-1.
23. 先化简,再求值： ，x取0,1,2,3,4中的一个数.
【正确答案】
【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将已知的方程变形后代入即可求出值．
解：原式===，
当x=3时，原式==.
24. 解分式方程：(1)
（2）.
【正确答案】(1)x=2; （2）x=2 增根，无解
【详解】试题分析：（1）方程两边同乘最简公分母，整式方程，解整式方程后验根即可；
（2）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可，对分式方程要进行检验．
（1）方程两边同乘(x+1)(x−1)，得：x(x+1)-3(x-1)=(x+1)(x-1)，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+1)(x−1)≠0，
∴x=2是原方程的根；
(2)方程两边同乘(x+2)(x−2)，得：x+2=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+2)(x−2)=0，
∴x=2是增根，原方程无解.
25. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
【正确答案】证明见解析．
【分析】因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，再有∠B=∠D，根据“AAS”即得△AFD≌△CEB，于是AD=CB．
【详解】解：AE=CF，
AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
AD∥BC，
∠A=∠C，
在△AFD与△CEB中
△AFD≌△BEC，
∴AD=CB．
本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质．
26. 如图，∠MON及ON上一点A．
求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等.
【正确答案】作图见解析；
【分析】过点A作AP⊥ON，交∠MON的平分线于点P．
【详解】解：如图所示，点P即为所求．
本题考查了作图-角平分线和垂线，熟练掌握几种基础作图方法是关键.
27. 已知如图，将一大、一小两个等腰直角三角尺ABC与DBE拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC =∠EBD=90°），连接AE、CD．问：AE与CD的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【正确答案】AE⊥CD．AE=CD
【详解】试题分析：根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB=∠CDB，AE=CD，据此即可得解.
试题解析：AE= CD且AE⊥CD，
理由如下：延长AE交CD于F，
在△AEB和△CDB中，，
∴△AEB≌△CDB ，
∴AE= CD，
∠EAB=∠DCB ，
∵∠EBD=90°，
∴∠DCB+∠CDB=90°
∴∠AFD=90°
∴AE⊥CD．
28. 列方程或列方程组解应用题.
老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁是2022年北京至张家口的配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车．京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．
【正确答案】京张高铁的平均速度为175千米/时．
【详解】试题分析：设老京张铁路的平均速度为x千米/时，则京张高铁的预设平均速度为5x千米/时,根据等量关系：京张高铁提前5个小时到达，列出方程即可.
试题解析：设老京张铁路的平均速度为x千米/时，
依题意，列方程得，
解得x=35，
经检验x=35是所列方程的解，并且符合题意．
.
答：京张高铁的平均速度为175千米/时．
29. 观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20=_____．
【正确答案】 ①. ②. ﹣ ③. ﹣．
【分析】（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；
（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下个数的项和一个数的后一项，得出答案即可．
【详解】(1)用含n的代数式表示第n个等式：an==﹣
(2) a1+a2+a3+…+a20
=﹣+﹣+﹣+﹣+…+−=﹣.
故答案为(1), ﹣；
(2)﹣.
此题考查数字变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．
30. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD=FB，进而得出AE=AF，就可以得出BE=BF，从而结论AD=BE．
【详解】解：（1）由题意，得作图如下：
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，
在△ACD和△FCB中，
CD=CB，∠ACD=∠FCB，AC=FC，
∴△ACD≌△FCB（SAS）
∴AD=FB．
∵CF=AC，
∴AF=2AC．
∵AE=2CA，
∴AF=AE，
∵∠BAC=90°，
∴AB⊥EF，
∴AB是EF的垂直平分线，
∴BE=BF，
∴AD=BE．
本题考查了基本作图的运用，全等三角形的判定以及现在的运用，中垂线的判定及性质的运用，解答时正确作出图形是关键，证明三角形全等是难点．
31. 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90º．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B没有重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．（没有用证明）
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形，并说明理由．
【正确答案】（1）①位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD；②结论仍成立，理由见解析；（2）当∠BCA=45°时，CE⊥BD，理由见解析
【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图乙，
∵∠BAD=90°−∠DAC，∠CAE=90°−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．
故答案为CE⊥BD；CE=BD．
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
如图丙，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC，
∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即 CE⊥BD；
（2）如图丁所示，当∠BCA=45°时，CE⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．
本题为三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共45分）
1. 4的平方根是（ ）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. ±
2. 在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 1是1的算术平方根 B.
C. -27的立方根是-3 D.
4. 计算的结果是
A. 3 B. C. D. 7
5. 下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列语句没有是命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 连接AB并延长至C点
C. 内错角相等 D. 同角的余角相等
7. 如与的乘积中没有含x的项，则m的值为（ ）
A B. 9 C. 0 D. 1
8. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3
C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3
10. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
11. 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然没有能证明△ABC≌△DEF，则这个条件( )
A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF
13. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张
14. 如图，AD是△ABC中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE.下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15. 已知，则的值（ ）．
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
16. 若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是______．
17. 计算： ____.
18. 计算：________.
19. 如果为实数，且，则x+y=_____．
20. 已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是______________.
21 已知则_______
22. 长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则的值为_____.
23. 一个长方形，若长增加3cm，宽减少1cm，则面积保持没有变；若长减少1cm，宽增加1cm，则面积保持没有变.则这个长方形的面积为________.
三、解 答 题
24. 计算：（1） （2）
（3） （4）
25. 因式分解：
（1） （2） （3）
26. 先化简，再求值：，其中
27. 已知求的值.
28. 已知求的值
29. 如图,A、D. F. B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC，求证：
(1)△AEF≌△BCD；
(2)EF∥CD.
30. 先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay＝(ax+bx)+(ay+by)
＝x(a+b)+y(a+b)
＝(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝(x+y)2﹣1
＝(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝(x+1)2﹣22
＝(x+1+2)(x+1﹣2)
＝(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
(2)分解因式：x2﹣6x﹣7；
(3)分解因式：a2+4ab﹣5b2．
31. 如图，在中，，，直线点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，没有需要证明．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共45分）
1. 4的平方根是（ ）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. ±
【正确答案】A
【分析】依据平方根的定义：如果x2=a，则x是a的平方根即可得出答案．
【详解】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2. 在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】=2，==，
根据无理数的定义，得0.1010010001…，，是无理数.
故选D.
点睛：初中无理数最常见的三种类型：①开方开没有尽的方根，如、；②特定结构的无限没有循环小数，如0.1010010001…；③含有π的绝大部分数．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 1是1的算术平方根 B.
C. -27的立方根是-3 D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、因为12=1，所以1是1的算术平方根，故此选项正确；
B、=7，故此选项正确；
C、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故此选项正确；
D、=12，故此选项错误．
故选D．
4. 计算的结果是
A. 3 B. C. D. 7
【正确答案】D
【分析】先利用算术平方根及立方根定义计算，再根据有理数的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式．
故选D．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：A、正确；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、(-2x2)3=-8x6，故C错误；
D、(a+2)2=a2+4a+4，故D错误．
故选A．
6. 下列语句没有是命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 连接AB并延长至C点
C. 内错角相等 D. 同角的余角相等
【正确答案】B
【详解】解：命题是判断一件事情的语句，由题设和结论构成．选项B没有满足定义，故应选：B
考点：命题与定理
7. 如与的乘积中没有含x的项，则m的值为（ ）
A. B. 9 C. 0 D. 1
【正确答案】A
【分析】先根据多项式乘多项式法则化简，再找出所有含x的项，合并系数，令含x的项的系数等于0，即可求m的值．
【详解】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，
∵乘积中没有含x的项，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意没有含某一项就是说含此项的系数等于0．
8. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】A. 和因式分解正好相反，故没有是分解因式；
B. 结果中含有和的形式，故没有是分解因式；
C. =(x+2y)(x−2y)，解答错误；
D. 是分解因式．
故选D.
9. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3
C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3
【正确答案】B
【分析】根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可．
【详解】解：（x+1）×（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=-2，b=-3，
故选B．
此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键．
10. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
【正确答案】B
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围.
【详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，
∴，即，
∴，
故选：B.
11. 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥
A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】A
【详解】根据完全平方公式,平方差公式,的特征可判定②可以利用平方差公式进行因式分解,⑥可以利用完全平方公式进行因式分解,
故选A.
12. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然没有能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( )
A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF
【正确答案】D
【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
13. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张
【正确答案】B
【分析】
【详解】解：（a+2b）（a+b）=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
则需要C类卡片张数为3．
故选：B．
点睛：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题关键．
14. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE.下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE.其中正确的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD面积相等；故①正确；
②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD没有是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②没有一定正确；
③∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
∵BD=CD，∠BDF=∠CDE，DF=DE，
∴△BDF≌△CDE（SAS）．故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠CED=∠BFD，
∴BF∥CE；故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF，
∴只有当AE=BF时，CE=AE．故⑤没有一定正确．
综上所述，正确的结论是：①③④，共有3个．
故选C．
15. 已知，则的值（ ）．
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
【正确答案】D
【详解】分析：
将代数式变形为的形式，再将代入计算即可.
详解：
∵，
∴
故选D.
点睛：能够将代数式变形为的形式是解答本题的关键.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
16. 若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是______．
【正确答案】9
【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数建立关于a的方程即可求解．
【详解】依题意得，2a-1+（-a+2）=0
解得：a=-1
则这个数是（2a-1）2=（-3）2=9
故9
本题考查了平方根的性质．根据正数有两个平方根，它们互为相反数建立关于a的方程是解决此题的关键．
17. 计算： ____.
【正确答案】2a
【详解】试题分析：原式=(4÷2)·(a3÷a2)·(b÷b)=2a．
故答案为2a．
18. 计算：________.
【正确答案】-8
【详解】试题分析：原式=8×82015×()2015
=8×[8×()]2015
=8×(-1)2015
=-8．
故答案为-8．
19. 如果为实数，且，则x+y=_____．
【正确答案】5
【详解】试题分析：∵，
∴，
∴a=4，
∴x=3，
∵，
∴y-2=0
y=2，
∴x+y=3+2=5，
故答案为5．
点睛：本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式大于等于0求出a的值是解题关键．
20. 已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是______________.
【正确答案】16或-16．
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】∵x2+kxy+64y2是一个完全平方式，
∴kxy=±2•x•8y，
解得：k=±16，
故答案为±16．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21. 已知则_______
【正确答案】-1
【详解】试题分析：∵a2+b2+2a-6b+10=0，
∴a2+2a+1 +b2-6b+9=0，
∴(a+1)2+(b-3)2=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3，
∴ab=(-1)3=-1．
故答案为-1．
22. 长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则的值为_____.
【正确答案】480
【详解】试题分析：∵长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，
∴a+b=8，ab=12，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=82-2×12=40，
∴a,3b+ab3=ab(a2+b2)=12×40=480．
故答案为480．
点睛：此题主要考查了完全平方公式和提取公因式法分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．
23. 一个长方形，若长增加3cm，宽减少1cm，则面积保持没有变；若长减少1cm，宽增加1cm，则面积保持没有变.则这个长方形的面积为________.
【正确答案】6cm2
【详解】试题分析：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得，解得，所以xy=3×2=6．
答：这个长方形的面积为6cm2．故答案为6cm2．
三、解 答 题
24. 计算：（1） （2）
（3） （4）
【正确答案】（1）；（2）7x-2；（3） ；（4）5- .
【详解】试题分析：（1）先利用积的乘方和幂的乘方计算乘方，然后再计算单项式乘单项式，计算单项式除以单项式即可；
（2）先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，然后合并同类项即可；
（3）分别利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后去括号合并同类项即可；
（4）先分别计算算术平方根和立方根，化简值，然后相加即可．
试题解析：
解：（1）原式==；
（2）原式= =7x-2；
（3）原式=== ；
（4）原式=3-2+2+2-=5- .
点睛：本题主要考查了整式的混合运算和实数的运算，根据题意正确的选择法则或公式是解决此题的关键．
25. 因式分解：
（1） （2） （3）
【正确答案】（1）；（2） ；（3） .
【详解】试题分析：（1）先把2-m转化为-(m-2)，然后提出公因式(m-2)，再利用平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，然后再分别利用完全平方差公式和完全平方和公式分解；
（3）先计算多项式乘多项式，合并同类项后再利用十字相乘法分解．
试题解析：
解：（1）原式===；
（2）原式== ；
（3）原式== .
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到没有能分解止．
26. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】，0.
【详解】试题分析：先计算中括号内的完全平方与单项式乘多项式，合并同类项后再计算多项式除以单项式，化到最简后代入x、y的值进行计算即可．
试题解析：
解：原式===，
当时，原式=0.
27. 已知求的值.
【正确答案】100.
【详解】试题分析：逆用同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方公式，将用和表示，然后代入求值即可．
试题解析：
解：∵，
∴==100.
28. 已知求的值
【正确答案】17.
【详解】试题分析：先利用完全平方公式将已知左边展开，然后把和xy看成整体，解二元方程组求出和xy的值，然后代入所求代数式即可得出答案．
试题解析：
解：∵，
∴ ，，
∴ ，
∴=33-16=17.
点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用和整体思想的应用，把和xy看成整体是解决此类题目的关键．
29. 如图,A、D. F. B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC，求证：
(1)△AEF≌△BCD；
(2)EF∥CD.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）要证△AEF≌△BCD，由已知AE∥BC，得∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．
（2）再根据全等即可求出EF∥CD．
【详解】证明：(1)∵AE∥BC，
∴∠A=∠B.
又∵AD=BF，
∴AF=AD+DF=BF+FD=BD.
又∵AE=BC，
∴△AEF≌△BCD(SAS).
(2)∵△AEF≌△BCD，
∴∠EFA=∠CDB.
∴EF∥CD.
此题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题关键在于利用性质证明三角形全等.
30. 先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay＝(ax+bx)+(ay+by)
＝x(a+b)+y(a+b)
＝(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝(x+y)2﹣1
＝(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝(x+1)2﹣22
＝(x+1+2)(x+1﹣2)
＝(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
(2)分解因式：x2﹣6x﹣7；
(3)分解因式：a2+4ab﹣5b2．
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：（1）仿照例（1）将前两项和后两项分别分作一组，然后前两项利用平方差公式分解，然后提出公因式(a-b)即可；
（2）仿照例（2）将-7拆成9-16，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可；
（3）仿照例（2）将-5b2拆成4b2-9b2，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可．
试题解析：
解：（1）==；
（2）原式=
===；
（3）原式=
===.
点睛：本题考查了因式分解的综合应用，熟悉因式分解的方法和读懂例题是解决此题的关键．
31. 如图，在中，，，直线点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，没有需要证明．
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB，
②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解】解：（1）①证明：于点，于点，，
，，
．又，；
②证明：由①知，，，．
，；
（2）证明：于点，于点，
，，．，
又，，，，
；
（3）（或，）．
由（2）的方法证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转的距离相等，对应点与旋转的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一.选一选(每题3分,共30分)
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A. B.
C. D.
2. 下列各式中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
3. 若 有意义,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A. 只有乙 B. 甲和乙 C. 只有丙 D. 乙和丙
5. 在ABC和中，已知∠A＝∠，AB＝，添加下列条件中的一个，没有能使ABC≌一定成立的是（ ）
A. AC＝ B. BC＝ C. ∠B＝∠ D. ∠C＝∠
6. 如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
7. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
8. 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S△ABD : S△ACD = ( )
A. 3 : 4 B. 4 : 3 C. 16 : 9 D. 9 : 16
9. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( )
A. 2＜x＜5 B. 4＜x＜10 C. 3＜x＜7 D. 无法确定
10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D. 大小关系没有确定
二.填 空 题(每题2分,共20分)
11. 当x________时，分式有意义，当x_________时，分式的值是零.
12. 一种细菌的半径为0.0004m ,用科学记数法表示为____________m．
13. 若9x2－mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是____________
14. 计算：20172-20162=____________.
15. 没有改变分式的值，把分子分母的系数化为整数:____________.
16. 已知，则________．
17. 如图,AC、BD相交于点O,,请你再补充一个条件,使得≌,你补充条件是______ ．
18. 如图，点P是∠BAC平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是_____
19. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标_________．
20. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．
三.解 答 题(共50分)
21. 分解因式:
(1) ；
(2)；
（3） ；
(4) .
22. 计算:(1)
(2)
（3）
（4）
23. 先化简,再求值： ，x取0,1,2,3,4中的一个数.
24. 解分式方程：(1)
（2）.
25. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
26. 如图，∠MON及ON上一点A．
求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边距离相等.
27. 已知如图，将一大、一小两个等腰直角三角尺ABC与DBE拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC =∠EBD=90°），连接AE、CD．问：AE与CD的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
28. 列方程或列方程组解应用题.
老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁是2022年北京至张家口的配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车．京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．
29. 观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20=_____．
30. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
31. 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90º．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B没有重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．（没有用证明）
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形，并说明理由．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一.选一选(每题3分,共30分)
1. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．然后对各选项逐个判断即可．
【详解】解：A、两因式之间用加号连结，是和的形式没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
B、是因式分解，故本选项符合题意；
C、将积化为和差形式，是多项式乘法运算，没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
D、两因式之间用加号连结，是和的形式，没有是因式分解，故本选项没有符合题意；
故选：B．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键 ．
2. 下列各式中，正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【详解】解；A．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，故A错误；
B．分子除以（a﹣2），分母除以（a+2），故B错误；
C．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，故C正确；
D．分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，故D错误；
故选C．
3. 若 有意义,则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】由题意得：x−2≠0，解得：x≠2.
故选C.
4. 如图，已知△ABC，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是（ ）
A. 只有乙 B. 甲和乙 C. 只有丙 D. 乙和丙
【正确答案】D
【详解】在△ABC和乙三角形中,有两边a、c分别对应相等,且这两边的夹角都为50∘，由SAS可知这两个三角形全等；
在△ABC和丙三角形中，有一边a对应相等，和两组角对应相等，由AAS可知这两个三角形全等，
所以在甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的是乙和丙，
故选D.
5. 在ABC和中，已知∠A＝∠，AB＝，添加下列条件中的一个，没有能使ABC≌一定成立的是（ ）
A. AC＝ B. BC＝ C. ∠B＝∠ D. ∠C＝∠
【正确答案】B
【分析】全等三角形的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS，根据图形和已知条件，灵活解题．
【详解】解：A. ∠A＝∠，AB＝，AC＝，根据SAS 能推出ABC≌，正确，故A没有符合题意；
B.具备∠A＝∠，AB＝，BC＝没有能判断ABC≌，错误，故B符合题意；
C. 根据ASA 能推出ABC≌，正确，故C没有符合题意；
D.根据AAS，能推出ABC≌，正确，故D没有符合题意，
故选：B．
本题考查全等三角形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6. 如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A. SSS B. SAS C. AAS D. HL
【正确答案】D
【详解】解：由作法可得OM=ON，PM⊥OM，PN⊥ON，
则∠PMO=∠PNO=90°，
在Rt△PMO和Rt△PNO中，，
所以△POM≌△PON(HL).
故选D.
7. 若关于x的方程=0有增根，则m的值是
A. 3 B. 2 C. 1 D. －1
【正确答案】B
【详解】解：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根．
把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2．
故选：B．
分式方程，本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，增根使分式分母为零．
8. 如图, 在△ABC中, AD是它的角平分线, AB = 8 cm, AC = 6 cm, 则 S△ABD : S△ACD = ( )
A. 3 : 4 B. 4 : 3 C. 16 : 9 D. 9 : 16
【正确答案】B
【详解】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵S△ABD=•DE•AB=×8DE=4DE，
S△ADC=•DF•AC=×6DF=3DF，
∴S△ABD：S△ACD=4DE：3DF =4：3，
故选B．
9. 已知三角形的两边长分别为3和7，则第三边的中线长x的取值范围是( )
A. 2＜x＜5 B. 4＜x＜10 C. 3＜x＜7 D. 无法确定
【正确答案】A
【详解】如图所示,AB=3，AC=7，延长AD至E，使AD=DE，连接BE、EC，
设AD=x，
在△BDE与△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA(SAS)，
∴BE=AC=7，AE=2x，
在△ABE中，BE−AB
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边的关系等知识，解题的关键是有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出没有等式，然后解没有等式即可.
10. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系没有确定
【正确答案】A
【详解】如图，在AB上截取AE=AD，连接CE.
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
又AC是公共边，
∴△AEC≌△ADC(SAS)，
∴AE=AD，CE=CD，
∴AB−AD=AB−AE=BE，BC−CD=BC−CE，
∵在△BCE中，BE>BC−CE，
∴AB−AD>CB−CD.
故选A.
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
二.填 空 题(每题2分,共20分)
11. 当x________时，分式有意义，当x_________时，分式的值是零.
【正确答案】 ①. x≠1 ②. x=5
【详解】当分母x-1≠0，即x≠1时，分式有意义；
当分子x-5=0且分母x+2≠0，即x=5时，分式=0；
故x≠1；x=5.
12. 一种细菌的半径为0.0004m ,用科学记数法表示为____________m．
【正确答案】
【详解】由科学记数法定义知：0.0004=，
故答案为
13. 若9x2－mxy+16y2是一个完全平方式，那么m的值是____________
【正确答案】±24
【详解】因为（3x±4y）2=9x2±24xy+16y2，即可得在9x2-mxy+16y2中，m=±24．
14. 计算：20172-20162=____________.
【正确答案】4033
【详解】20172-20162=(2017+2016)×(2017-2016)=4033.
故答案为4033.
15. 没有改变分式的值，把分子分母的系数化为整数:____________.
【正确答案】
【详解】根据分式的分子分母都乘或除以同一个没有为零的整式，分式的值没有变，得==,
故答案为.
16. 已知，则________．
【正确答案】
【分析】利用完全平方和公式解答；
【详解】解：
∴
∴
即
故答案为
考查完全平方公式，熟记公式是解题关键，属于易错题.
17. 如图,AC、BD相交于点O,,请你再补充一个条件,使得≌,你补充的条件是______ ．
【正确答案】或或
【分析】本题要判定≌,已知,,则可以添加或或从而利用ASA或AAS判定其全等．
【详解】解：添加或或后可分别根据ASA、AAS、AAS判定≌．
故填或或．
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、添加时注意：AAA、SSA没有能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．
18. 如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是_____
【正确答案】3
【分析】根据角平分线的性质可得，点P到AB的距离=PE=3．
【详解】解：∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，PE=3，
∴点P到AB的距离=PE=3．
故3．
本题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
19. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标_________．
【正确答案】, ,
【详解】如图所示：有3个点，当EE、F、N处时，△ACE和△ACB全等，
点E的坐标是：（1，5），（1，-1），（5，-1），
故答案为（1，5）或（1，-1）或（5，-1）．
20. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB＝_____ cm．
【正确答案】8．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△BCD和Rt△BED全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE，然后求出△ADE的周长=AB．
【详解】∵∠C=90∘，BD平分∠CBA，DE⊥AB，
∴CD=DE，
Rt△BCD和Rt△BED中，
∵
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
∴△ADE的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB，
∵△ADE的周长为8cm，
∴AB=8cm
故答案为8cm.
本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握这两个知识点是本题解题的关键.
三.解 答 题(共50分)
21. 分解因式:
(1) ；
(2)；
（3） ；
(4) .
【正确答案】（1）； (2)；(3)(x-y)(a+b)(a-b)；(4)(x-2y)(x+3y)
【详解】试题分析：（1）原式提取公因式分解即可
（2）原式先分组，再利用平方差公式分解即可；
（3）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（4）原式先变形，再提公因式法分解因式即可．
试题解析：（1）原式= =；
（2）原式==1-(a+b)2=；
（3）原式=a2(x−y)−b2(x−y)=(x−y)(a+b)(a−b)；
（4）原式= ==x(x+3y)-2y(x+3y)= (x-2y)(x+3y).
22. 计算:(1)
(2)
（3）
（4）
【正确答案】4, , , x-1
【详解】试题分析：（1）利用负整数指数幂即零指数幂运算性质计算即可；
（2）直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用整式除法运算法则求出答案；
（3）首先化简分式，进而通分进行加减运算即可；
（4）先算括号里的减法，再把除法化乘法，约分即可.
试题解析：（1）原式=2-1+3=4；
（2）原式===；
（3）原式===；
（4）原式==x-1.
23. 先化简,再求值： ，x取0,1,2,3,4中的一个数.
【正确答案】
【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将已知的方程变形后代入即可求出值．
解：原式===，
当x=3时，原式==.
24. 解分式方程：(1)
（2）.
【正确答案】(1)x=2; （2）x=2 增根，无解
【详解】试题分析：（1）方程两边同乘最简公分母，整式方程，解整式方程后验根即可；
（2）方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可，对分式方程要进行检验．
（1）方程两边同乘(x+1)(x−1)，得：x(x+1)-3(x-1)=(x+1)(x-1)，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+1)(x−1)≠0，
∴x=2是原方程的根；
(2)方程两边同乘(x+2)(x−2)，得：x+2=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+2)(x−2)=0，
∴x=2是增根，原方程无解.
25. 如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
【正确答案】证明见解析．
【分析】因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，因为AD∥BC，所以∠A=∠C，再有∠B=∠D，根据“AAS”即得△AFD≌△CEB，于是AD=CB．
【详解】解：AE=CF，
AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，
AD∥BC，
∠A=∠C，
在△AFD与△CEB中
△AFD≌△BEC，
∴AD=CB．
本题考查的是平行线的性质、全等三角形的判定与性质．
26. 如图，∠MON及ON上一点A．
求作：点P，使得PA⊥ON，且点P到∠MON两边的距离相等.
【正确答案】作图见解析；
【分析】过点A作AP⊥ON，交∠MON的平分线于点P．
【详解】解：如图所示，点P即为所求．
本题考查了作图-角平分线和垂线，熟练掌握几种基础作图方法是关键.
27. 已知如图，将一大、一小两个等腰直角三角尺ABC与DBE拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC =∠EBD=90°），连接AE、CD．问：AE与CD的位置关系和数量关系，并证明你的结论．
【正确答案】AE⊥CD．AE=CD
【详解】试题分析：根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB=∠CDB，AE=CD，据此即可得解.
试题解析：AE= CD且AE⊥CD，
理由如下：延长AE交CD于F，
在△AEB和△CDB中，，
∴△AEB≌△CDB ，
∴AE= CD，
∠EAB=∠DCB ，
∵∠EBD=90°，
∴∠DCB+∠CDB=90°
∴∠AFD=90°
∴AE⊥CD．
28. 列方程或列方程组解应用题.
老京张铁路是1909年由“中国铁路之父”詹天佑主持设计建造的中国条干线铁路，全长约210千米，用“人”字形铁轨铺筑的方式解决了火车上山的问题．京张高铁是2022年北京至张家口的配套交通基础设施，全长约175千米，预计2019年底建成通车．京张高铁的预设平均速度将是老京张铁路的5倍，可以提前5个小时到达，求京张高铁的平均速度．
【正确答案】京张高铁的平均速度为175千米/时．
【详解】试题分析：设老京张铁路的平均速度为x千米/时，则京张高铁的预设平均速度为5x千米/时,根据等量关系：京张高铁提前5个小时到达，列出方程即可.
试题解析：设老京张铁路的平均速度为x千米/时，
依题意，列方程得，
解得x=35，
经检验x=35是所列方程的解，并且符合题意．
.
答：京张高铁的平均速度为175千米/时．
29. 观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣；
第2个等式：a2==﹣；
第3个等式：a3==﹣；
第4个等式：a4==﹣．
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an=_____=_____；
（2）式子a1+a2+a3+…+a20=_____．
【正确答案】 ①. ②. ﹣ ③. ﹣．
【分析】（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；
（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下个数的项和一个数的后一项，得出答案即可．
【详解】(1)用含n的代数式表示第n个等式：an==﹣
(2) a1+a2+a3+…+a20
=﹣+﹣+﹣+﹣+…+−=﹣.
故答案为(1), ﹣；
(2)﹣.
此题考查数字变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．
30. 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）按要求作图：（保留作图痕迹）
①延长BC到点D，使CD=BC；
②延长CA到点E，使AE=2CA；
③连接AD，BE并猜想线段 AD与BE的大小关系；
（2）证明（1）中你对线段AD与BE大小关系的猜想．
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据基本作图，作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形；
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，证明△ACD≌△FCB，就有AD=FB，进而得出AE=AF，就可以得出BE=BF，从而结论AD=BE．
【详解】解：（1）由题意，得作图如下：
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，
在△ACD和△FCB中，
CD=CB，∠ACD=∠FCB，AC=FC，
∴△ACD≌△FCB（SAS）
∴AD=FB．
∵CF=AC，
∴AF=2AC．
∵AE=2CA，
∴AF=AE，
∵∠BAC=90°，
∴AB⊥EF，
∴AB是EF的垂直平分线，
∴BE=BF，
∴AD=BE．
本题考查了基本作图的运用，全等三角形的判定以及现在的运用，中垂线的判定及性质的运用，解答时正确作出图形是关键，证明三角形全等是难点．
31. 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90º．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B没有重合），如图乙，线段CE、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．（没有用证明）
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．
试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CE⊥BD（点C、E重合除外）？画出相应的图形，并说明理由．
【正确答案】（1）①位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD；②结论仍成立，理由见解析；（2）当∠BCA=45°时，CE⊥BD，理由见解析
【分析】（1）①根据∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【详解】解：（1）①CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD．
理由：如图乙，
∵∠BAD=90°−∠DAC，∠CAE=90°−∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
又BA=CA，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．
∵∠ACB=∠B=45°，
∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．
故答案为CE⊥BD；CE=BD．
②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
如图丙，
∵∠DAE=90°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
又AB=AC，AD=AE，
∴△DAB≌△EAC，
∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，
∴∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即 CE⊥BD；
（2）如图丁所示，当∠BCA=45°时，CE⊥BD．
理由：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG，∠AGC=45°，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD=∠CAE，
又∵DA=EA，
∴△GAD≌△CAE，
∴∠ACE=∠AGD=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
即CE⊥BD．
本题为三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共45分）
1. 4的平方根是（ ）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. ±
2. 在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 1是1的算术平方根 B.
C. -27的立方根是-3 D.
4. 计算的结果是
A. 3 B. C. D. 7
5. 下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 下列语句没有是命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 连接AB并延长至C点
C. 内错角相等 D. 同角的余角相等
7. 如与的乘积中没有含x的项，则m的值为（ ）
A B. 9 C. 0 D. 1
8. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3
C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3
10. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
11. 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
12. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然没有能证明△ABC≌△DEF，则这个条件( )
A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF
13. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张
14. 如图，AD是△ABC中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE.下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE.其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15. 已知，则的值（ ）．
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
16. 若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是______．
17. 计算： ____.
18. 计算：________.
19. 如果为实数，且，则x+y=_____．
20. 已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是______________.
21 已知则_______
22. 长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则的值为_____.
23. 一个长方形，若长增加3cm，宽减少1cm，则面积保持没有变；若长减少1cm，宽增加1cm，则面积保持没有变.则这个长方形的面积为________.
三、解 答 题
24. 计算：（1） （2）
（3） （4）
25. 因式分解：
（1） （2） （3）
26. 先化简，再求值：，其中
27. 已知求的值.
28. 已知求的值
29. 如图,A、D. F. B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC，求证：
(1)△AEF≌△BCD；
(2)EF∥CD.
30. 先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay＝(ax+bx)+(ay+by)
＝x(a+b)+y(a+b)
＝(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝(x+y)2﹣1
＝(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝(x+1)2﹣22
＝(x+1+2)(x+1﹣2)
＝(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
(2)分解因式：x2﹣6x﹣7；
(3)分解因式：a2+4ab﹣5b2．
31. 如图，在中，，，直线点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，没有需要证明．
2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选（每小题3分，共45分）
1. 4的平方根是（ ）
A. ±2 B. 2 C. ﹣2 D. ±
【正确答案】A
【分析】依据平方根的定义：如果x2=a，则x是a的平方根即可得出答案．
【详解】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2．
故选：A．
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2. 在实数，0，，，0.1010010001…，，中无理数有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【正确答案】D
【详解】=2，==，
根据无理数的定义，得0.1010010001…，，是无理数.
故选D.
点睛：初中无理数最常见的三种类型：①开方开没有尽的方根，如、；②特定结构的无限没有循环小数，如0.1010010001…；③含有π的绝大部分数．
3. 下列说法错误的是（ ）
A. 1是1的算术平方根 B.
C. -27的立方根是-3 D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A、因为12=1，所以1是1的算术平方根，故此选项正确；
B、=7，故此选项正确；
C、(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，故此选项正确；
D、=12，故此选项错误．
故选D．
4. 计算的结果是
A. 3 B. C. D. 7
【正确答案】D
【分析】先利用算术平方根及立方根定义计算，再根据有理数的减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：原式．
故选D．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 下列计算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【详解】试题分析：A、正确；
B、a6÷a2=a4，故B错误；
C、(-2x2)3=-8x6，故C错误；
D、(a+2)2=a2+4a+4，故D错误．
故选A．
6. 下列语句没有是命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 连接AB并延长至C点
C. 内错角相等 D. 同角的余角相等
【正确答案】B
【详解】解：命题是判断一件事情的语句，由题设和结论构成．选项B没有满足定义，故应选：B
考点：命题与定理
7. 如与的乘积中没有含x的项，则m的值为（ ）
A. B. 9 C. 0 D. 1
【正确答案】A
【分析】先根据多项式乘多项式法则化简，再找出所有含x的项，合并系数，令含x的项的系数等于0，即可求m的值．
【详解】解：（x+m）（x+3）＝x2+（m+3）x+3m，
∵乘积中没有含x的项，
∴m+3＝0，
∴m＝﹣3．
故选：A．
本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意没有含某一项就是说含此项的系数等于0．
8. 下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】A. 和因式分解正好相反，故没有是分解因式；
B. 结果中含有和的形式，故没有是分解因式；
C. =(x+2y)(x−2y)，解答错误；
D. 是分解因式．
故选D.
9. 把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A. a=2，b=3 B. a=-2，b=-3
C. a=-2，b=3 D. a=2，b=-3
【正确答案】B
【分析】根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可．
【详解】解：（x+1）×（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=-2，b=-3，
故选B．
此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键．
10. 估计的值在（ ）
A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间
【正确答案】B
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围.
【详解】解：∵4 ＜ 6 ＜ 9 ，
∴，即，
∴，
故选：B.
11. 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④
⑤ ⑥
A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】A
【详解】根据完全平方公式,平方差公式,的特征可判定②可以利用平方差公式进行因式分解,⑥可以利用完全平方公式进行因式分解,
故选A.
12. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，若添加下列一个条件后，仍然没有能证明△ABC≌△DEF，则这个条件是( )
A. ∠A＝∠D B. BC＝EF C. ∠ACB＝∠F D. AC＝DF
【正确答案】D
【详解】解：∵∠B=∠DEF，AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故选：D．
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．
13. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片（ ）
A. 2张 B. 3张 C. 4张 D. 5张
【正确答案】B
【分析】
【详解】解：（a+2b）（a+b）=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
则需要C类卡片张数为3．
故选：B．
点睛：此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题关键．
14. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连结BF，CE.下列说法：①△ABD和△ACD面积相等；②∠BAD=∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE.其中正确的有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【详解】解：①∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD面积相等；故①正确；
②若在△ABC中，当AB≠AC时，AD没有是∠BAC的平分线，即∠BAD≠∠CAD．即②没有一定正确；
③∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDF和△CDE中，
∵BD=CD，∠BDF=∠CDE，DF=DE，
∴△BDF≌△CDE（SAS）．故③正确；
④∵△BDF≌△CDE，
∴∠CED=∠BFD，
∴BF∥CE；故④正确；
⑤∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF，
∴只有当AE=BF时，CE=AE．故⑤没有一定正确．
综上所述，正确的结论是：①③④，共有3个．
故选C．
15. 已知，则的值（ ）．
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
【正确答案】D
【详解】分析：
将代数式变形为的形式，再将代入计算即可.
详解：
∵，
∴
故选D.
点睛：能够将代数式变形为的形式是解答本题的关键.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
16. 若一个正数的平方根是2a﹣1和﹣a+2，则这个正数是______．
【正确答案】9
【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数建立关于a的方程即可求解．
【详解】依题意得，2a-1+（-a+2）=0
解得：a=-1
则这个数是（2a-1）2=（-3）2=9
故9
本题考查了平方根的性质．根据正数有两个平方根，它们互为相反数建立关于a的方程是解决此题的关键．
17. 计算： ____.
【正确答案】2a
【详解】试题分析：原式=(4÷2)·(a3÷a2)·(b÷b)=2a．
故答案为2a．
18. 计算：________.
【正确答案】-8
【详解】试题分析：原式=8×82015×()2015
=8×[8×()]2015
=8×(-1)2015
=-8．
故答案为-8．
19. 如果为实数，且，则x+y=_____．
【正确答案】5
【详解】试题分析：∵，
∴，
∴a=4，
∴x=3，
∵，
∴y-2=0
y=2，
∴x+y=3+2=5，
故答案为5．
点睛：本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式大于等于0求出a的值是解题关键．
20. 已知x2+kxy+64y2是一个完全式，则k的值是______________.
【正确答案】16或-16．
【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】∵x2+kxy+64y2是一个完全平方式，
∴kxy=±2•x•8y，
解得：k=±16，
故答案为±16．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21. 已知则_______
【正确答案】-1
【详解】试题分析：∵a2+b2+2a-6b+10=0，
∴a2+2a+1 +b2-6b+9=0，
∴(a+1)2+(b-3)2=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3，
∴ab=(-1)3=-1．
故答案为-1．
22. 长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则的值为_____.
【正确答案】480
【详解】试题分析：∵长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，
∴a+b=8，ab=12，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=82-2×12=40，
∴a,3b+ab3=ab(a2+b2)=12×40=480．
故答案为480．
点睛：此题主要考查了完全平方公式和提取公因式法分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．
23. 一个长方形，若长增加3cm，宽减少1cm，则面积保持没有变；若长减少1cm，宽增加1cm，则面积保持没有变.则这个长方形的面积为________.
【正确答案】6cm2
【详解】试题分析：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得，解得，所以xy=3×2=6．
答：这个长方形的面积为6cm2．故答案为6cm2．
三、解 答 题
24. 计算：（1） （2）
（3） （4）
【正确答案】（1）；（2）7x-2；（3） ；（4）5- .
【详解】试题分析：（1）先利用积的乘方和幂的乘方计算乘方，然后再计算单项式乘单项式，计算单项式除以单项式即可；
（2）先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，然后合并同类项即可；
（3）分别利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后去括号合并同类项即可；
（4）先分别计算算术平方根和立方根，化简值，然后相加即可．
试题解析：
解：（1）原式==；
（2）原式= =7x-2；
（3）原式=== ；
（4）原式=3-2+2+2-=5- .
点睛：本题主要考查了整式的混合运算和实数的运算，根据题意正确的选择法则或公式是解决此题的关键．
25. 因式分解：
（1） （2） （3）
【正确答案】（1）；（2） ；（3） .
【详解】试题分析：（1）先把2-m转化为-(m-2)，然后提出公因式(m-2)，再利用平方差公式分解即可；
（2）先利用平方差公式分解，然后再分别利用完全平方差公式和完全平方和公式分解；
（3）先计算多项式乘多项式，合并同类项后再利用十字相乘法分解．
试题解析：
解：（1）原式===；
（2）原式== ；
（3）原式== .
点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到没有能分解止．
26. 先化简，再求值：，其中
【正确答案】，0.
【详解】试题分析：先计算中括号内的完全平方与单项式乘多项式，合并同类项后再计算多项式除以单项式，化到最简后代入x、y的值进行计算即可．
试题解析：
解：原式===，
当时，原式=0.
27. 已知求的值.
【正确答案】100.
【详解】试题分析：逆用同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方公式，将用和表示，然后代入求值即可．
试题解析：
解：∵，
∴==100.
28. 已知求的值
【正确答案】17.
【详解】试题分析：先利用完全平方公式将已知左边展开，然后把和xy看成整体，解二元方程组求出和xy的值，然后代入所求代数式即可得出答案．
试题解析：
解：∵，
∴ ，，
∴ ，
∴=33-16=17.
点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用和整体思想的应用，把和xy看成整体是解决此类题目的关键．
29. 如图,A、D. F. B在同一直线上,AD=BF,AE=BC,且AE∥BC，求证：
(1)△AEF≌△BCD；
(2)EF∥CD.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）要证△AEF≌△BCD，由已知AE∥BC，得∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．
（2）再根据全等即可求出EF∥CD．
【详解】证明：(1)∵AE∥BC，
∴∠A=∠B.
又∵AD=BF，
∴AF=AD+DF=BF+FD=BD.
又∵AE=BC，
∴△AEF≌△BCD(SAS).
(2)∵△AEF≌△BCD，
∴∠EFA=∠CDB.
∴EF∥CD.
此题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解题关键在于利用性质证明三角形全等.
30. 先阅读下列材料：
我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
(1)分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．
如：ax+by+bx+ay＝(ax+bx)+(ay+by)
＝x(a+b)+y(a+b)
＝(a+b)(x+y)
2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝(x+y)2﹣1
＝(x+y+1)(x+y﹣1)
(2)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝(x+1)2﹣22
＝(x+1+2)(x+1﹣2)
＝(x+3)(x﹣1)
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
(2)分解因式：x2﹣6x﹣7；
(3)分解因式：a2+4ab﹣5b2．
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】试题分析：（1）仿照例（1）将前两项和后两项分别分作一组，然后前两项利用平方差公式分解，然后提出公因式(a-b)即可；
（2）仿照例（2）将-7拆成9-16，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可；
（3）仿照例（2）将-5b2拆成4b2-9b2，然后前三项利用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可．
试题解析：
解：（1）==；
（2）原式=
===；
（3）原式=
===.
点睛：本题考查了因式分解的综合应用，熟悉因式分解的方法和读懂例题是解决此题的关键．
31. 如图，在中，，，直线点，且于点，于点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；
（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；
（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，没有需要证明．
【正确答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）①由∠ACB=90°，得∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则∠ADC=∠CEB=90°，根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得Rt△ADC≌Rt△CEB，
②由Rt△ADC≌Rt△CEB，得出AD=CE，DC=BE，即可得到DE=DC+CE=BE+AD．
（2）根据等角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，证得△ADC≌△CEB，得到AD=CE，DC=BE，所以DE=CECD=ADBE．
（3）DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BEAD．证明的方法与（2）相同．
【详解】解：（1）①证明：于点，于点，，
，，
．又，；
②证明：由①知，，，．
，；
（2）证明：于点，于点，
，，．，
又，，，，
；
（3）（或，）．
由（2）的方法证得△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CDCE=BEAD．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转的距离相等，对应点与旋转的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质．
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