泰州靖江市实验学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

泰州靖江市实验学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题

一、选择题

1. 下列运算正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是(        )

A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形

3. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形(　　　)

A 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆

4. 下列结论中错误的有(    )

①三角形至多有两条高在三角形的外部；

②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°；

③两条直线被第三条直线所截，则同旁内角一定互补；

④在四边形的4个内角中，钝角的个数最多有2个；

⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5. 如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（　　）

A. ∠α+∠β﹣∠γ B. ∠α+∠β+∠γ C. ∠β+∠γ﹣∠α D. ∠α﹣∠β+∠γ

6. 如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C的度数为（       ）

A. 40° B. 41° C. 32° D. 36°

二、填空题

7. 比较大小：_______（填＝、＞或＜）．

8. 若，则= ___________．

9. 已知a、b、c是一个三角形的三条边长，则化简|a－b＋c|－|a－b－c|＝_________

10. 若，，则= ________．

11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．

12. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=___________．

13. 如图，已知∠1＝60°，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝　____．

14. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABC的面积为12，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为________．                  

15. 在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A=50°，则∠BOC= __________

16. 如图，ADBC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为_______°

三、解答题

17. （1）

（2）

18. （1）已知，求x的值；

（2）已知，求x值．

19 先化简，再求值：，其中

20. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．

（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′

（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是________

（4）△ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为________

（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有______个

（注：格点指网格线的交点）

21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以(2，8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）=（3，15）成立．证明如下：

设（3，3）=m，（3，5）= n，则，故，

则（3，15）=m+n，即（3，3）+（3，5）=（3，15）．

（1）根据上述规定，填空：（5，125）=______；（____，16）=4．

（2）计算（5，2）+（5，7）=_________，并说明理由．

（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意自然数n都成立．

22. 已知如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．

23. 如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补.

(1)说明：∠1=∠2.

(2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数.

24. 已知，在三角形ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，点F在AB上，在CF延长线上取一点G，连接AG.

(1)如图1,若∠GAB=∠B,∠GAC+∠EDB=180°，求证：AB⊥AC.

(2)如图2.在(1)的条件下,∠GAC的平分线交CG于点M,∠ACB的平分线交AB于点N,当∠AMC−∠ANC=35°时，求∠AGC的度数．

25. 好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列3个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI，DC的延长线交于点E．

（1）若∠BAC=50°，求∠BIC；

（2）若（0<x<90°），则当∠ABE等于多少度(用含的代数式表示)时，，并说明理由；

（3）若∠D=3∠E，求∠BAC的度数．

26. —副三角板如图1摆放，，，，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．

（1）当________时，；当________时，；

（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数；

（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由．

答案与解析

一、选择题

1. 下列运算正确的是（   ）

A  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可．

【详解】解：A.，故原选项错误；

B. ，故原选项错误；

C ，计算正确；

D. ，故原选项错误

故选C

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．

2. 一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是(        )

A. 八边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十四边形

【答案】B

【解析】

【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的外角和是360度求出n的值即可．

【详解】解：∵多边形的各个内角都等于144°，

∴每个外角为36°，

设这个多边形的边数为n，则

36°×n=360°，

解得n=10．

故选：B．

【点睛】本题考查的是多边形的内角与外角，解答此类问题时要找到不变量，即多边形的外角是360°这一关键．

3. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是(　　　)

A. 平行四边形 B. 等腰梯形 C. 正六边形 D. 圆

【答案】A

【解析】

【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．

【详解】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．

则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，

∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，

∴平行四边形ABCD是平移重合图形．

故选：A．

【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

4. 下列结论中错误的有(    )

①三角形至多有两条高在三角形的外部；

②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°；

③两条直线被第三条直线所截，则同旁内角一定互补；

④在四边形的4个内角中，钝角的个数最多有2个；

⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为直角三角形；

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】D

【解析】

【详解】解：①三角形至多有二条高在三角形的外部，钝角三角形的两条高在外部，说法正确；

②一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加360°，说法错误，应该是增加180°；

③两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原说法错误；

④在四边形的4个内角中，钝角的个数最多有3个，原说法错误；

⑤在△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，则△ABC为为钝角三角形，原说法错误；

故选D．

5. 如图所示，a∥b，则下列式子中值为180°的是（　　）

A. ∠α+∠β﹣∠γ B. ∠α+∠β+∠γ C. ∠β+∠γ﹣∠α D. ∠α﹣∠β+∠γ

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行线的性质得知，内错角相等，再根据三角形外角的性质，即可得出结论．

【详解】∵a∥b，∴∠1=∠α．

∵∠2=180°－∠1，∴∠2=180°－∠α．

∵∠β=∠2+∠γ，∴∠β=180°－∠α+∠γ，∴∠α+∠β﹣∠γ=180°．

故选A．

【点睛】本题考查了三角形内角与外角的关系、平行线的性质，正确利用平行线的性质分析是解题的关键．

6. 如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=108°，则∠C的度数为（       ）

A. 40° B. 41° C. 32° D. 36°

【答案】D

【解析】

【分析】如图，连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=108°，推出2∠DAO+2∠FBO=98°，推出∠DAO+∠FBO=49°，由此即可解决问题．

【详解】解：如图，连接AO、BO．

由题意得：EA=EB=EO，

∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°．

∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，

∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO．

∵∠CDO+∠CFO=108°，

∴2∠DAO+2∠FBO=108°，

∴∠DAO+∠FBO=54°，

∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=144°，

∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣144°=36°．

故选D．

【点睛】本题考查了折叠问题、三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．

二、填空题

7. 比较大小：_______（填＝、＞或＜）．

【答案】

【解析】

【分析】把两个数转化为相同的指数，再比较底数的大小即可．

【详解】解：，

，

，

即．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，解题的关键是把两个数的指数转为相等．

8. 若，则= ___________．

【答案】18

【解析】

【分析】利用积的乘方和幂的乘方法则对已知条件进行整理，即可求得x的值．

【详解】解：∵，

∴，

即，

∴x＝18．

故答案为：18．

【点睛】本题主要考查逆用积的乘方和幂的乘方，，．

9. 已知a、b、c是一个三角形三条边长，则化简|a－b＋c|－|a－b－c|＝_________

【答案】##

【解析】

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，再根据绝对值的性质进行化简计算．

【详解】解：根据三角形的三边关系，得

a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．

∴|a﹣b+c|﹣|a﹣b﹣c|

＝（a﹣b+c）－[﹣（a﹣b﹣c）]

＝（a﹣b+c）+（a﹣b﹣c）

＝a﹣b+c+a﹣b﹣c

＝2a﹣2b．

故答案为：

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系、绝对值的化简、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a﹣b+c，a﹣b﹣c的正负性．

10. 若，，则= ________．

【答案】225

【解析】

【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．

【详解】解：当，时，

，

故答案为：225．

【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，，，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．

11. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝260°，则∠P＝_____．

【答案】##40度

【解析】

【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据四边形的内角和可得，然后根据三角形的外角性质即可得．

【详解】解：的角平分线与的外角平分线相交于点，

，

在四边形中，，

，

由三角形的外角性质得：

故答案为：．

【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握四边形的内角和是解题关键．

12. 如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=___________．

【答案】180°

【解析】

【详解】解：过E作AB,DC的平行线EF，

，

∠1+∠2+∠3=180°.

13. 如图，已知∠1＝60°，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝　____．

【答案】240°

【解析】

【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”可知∠B＋∠D＋∠C＋∠E＝180°－60°＝120°，根据三角形内角和可知∠A＋∠F＝120°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝120°＋120°＝240°．

【详解】

解：∵∠3＝∠B＋∠D，∠2＝∠C＋∠E，∠2＋∠3＝180°－60°＝120°，
∴∠B＋∠D＋∠C＋∠E＝180°－60°＝120°，
∵∠A＋∠F＝120°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝120°＋120°＝240°．
故答案240°．

【点睛】本题考查三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．

14. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABC的面积为12，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为________．                  

【答案】4

【解析】

【分析】根据“三角形的中线将三角形分为面积相等的两个三角形”得到，然后结合图形来求四边形MCNO的面积．

【详解】解：∵△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABC的面积为12，

∴．

又∵△BOM的面积为2，

∴．

故答案是：4．

【点睛】本题考查了三角形的面积．解答该题时，需要利用“数形结合”是数学思想．

15. 在△ABC中，高BD和CE所在直线相交于点O，若△ABC不是直角三角形，且∠A=50°，则∠BOC= __________

【答案】130°或50°

【解析】

【分析】分两种情况：①△ABC是锐角三角形时，根据四边形的内角和等于360°求出∠DOE，再根据对顶角相等解答；②△ABC是钝角三角形时，根据三角形内角和定理求出∠BOC＝∠A即可得解．

【详解】解：分两种情况：

①如图1，△ABC是锐角三角形时，

∵BD、CE高，

∴∠ADO＝∠AEO＝90°，

∴∠DOE＝360°−∠A−∠ADO−∠AEO＝360°−50°−90°−90°＝130°，

∴∠BOC＝∠DOE＝130°；

②如图2，△ABC是钝角三角形时，

∵BD、CE是高，

∴∠ADO＝∠AEO＝90°，

∴∠A＋∠ACE＝90°，∠BOC＋∠DCO＝90°，

∵∠ACE＝∠DCO，

∴∠BOC＝∠A＝50°，

综上所述，∠BOC为130°或50°．

故答案为：130°或50°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形的内角和，三角形的高线等，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．

16. 如图，ADBC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G．若∠BEG＝40°，则∠DEH的度数为_______°

【答案】100°##100度

【解析】

【分析】∠BEG=∠FEG-∠FEB=，∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，在△AEF中，，AD∥BC，∠D=∠ABC，得到ABCD，由平行线的性质和邻补角的定义即可求解．

【详解】解：设∠FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，

∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，

∵ADBC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠D=∠ABC，

∴∠D+∠BAD=180°，

∴ABCD，

∵∠BEG=40°，

∴∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，

∵∠AEF=180°-∠FEG-∠HEG=180°-2β，

在△AEF中，180°-2β+2α+∠FAE=180°，

∴∠FAE=2β-2α=2（β-α）=80°，

∵ABCD，

∴∠CEH=∠FAE=80°，

∴∠DEH=180°-∠CEH=100°．

故答案为：100°．

【点睛】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线性质定理、三角形外角定理，本题关键是用有关α，β的等式表示出△AEF内角和为180°，题目难度较大．

三、解答题

17. （1）

（2）

【答案】（1）0；（2）

【解析】

【分析】（1）首先把化成，再根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可；（2）可化成，1.5可以化作，再根据，负数的偶次幂为正计算即可．

【详解】（1）原式

（2）原式

【点睛】本题考查了同底数幂，乘方的运算，仔细观察题目，化简底数是解题的关键．

18. （1）已知，求x的值；

（2）已知，求x的值．

【答案】（1）x＝4；（2）x＝3．

【解析】

【分析】（1）利用积的乘方的法则对已知条件进行整理，从而可求x的值；

（2）利用同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，即可求解．

【详解】解：（1）∵，

∴，

即，

∴x＋1＝2x−3，

解得：x＝4；

（2）∵，

∴，

，

∴x＝3．

【点睛】本题主要考查逆用积的乘方，逆用同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．

19. 先化简，再求值：，其中

【答案】，-37

【解析】

【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则先计算乘方，然后算乘法，再算加法，结合绝对值和偶次幂的非负性确定a和b的值，从而代入求值．

【详解】解：原式＝

∵，且，，

∴，b−2＝0，

解得：，b＝2，

∴原式．

【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．

20. 如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移3格，得到△A′B′C′．

（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；

（2）画出平移后的△A′B′C′的中线B′D′

（3）若连接BB′，CC′，则这两条线段的关系是________

（4）△ABC在整个平移过程中线段AB 扫过的面积为________

（5）若△ABC与△ABE面积相等，则图中满足条件且异于点C的格点E共有______个

（注：格点指网格线的交点）

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）平行且相等；（4）12；（5）9

【解析】

【分析】（1）利用网格特点和平移的性质分别画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；

（2）找出线段A′C′的中点E′，连接B′E′；

（3）根据平移的性质求解；

（4）由于线段AB扫过的部分为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式可求解．

（5）根据同底等高面积相等可知共有9个点.

【详解】（1）△A′B′C′如图所示；

（2）B′D′如图所示；

（3）BB′∥CC′，BB′=CC′；

（4）线段AB扫过的面积=4×3=12；

（5）有9个点.

【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．

21. 规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以(2，8)=3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式（3，3）+（3，5）=（3，15）成立．证明如下：

设（3，3）=m，（3，5）= n，则，故，

则（3，15）=m+n，即（3，3）+（3，5）=（3，15）．

（1）根据上述规定，填空：（5，125）=______；（____，16）=4．

（2）计算（5，2）+（5，7）=_________，并说明理由．

（3）利用“雅对”定义说明：，对于任意自然数n都成立．

【答案】（1）3，2；   

（2）（5，14）；理由见解析   

（3）说明见解析

【解析】

【分析】（1）由于＝125，＝16，根据“雅对”的定义可得（5，125）＝3，（2，16）＝4；

（2）设（5，2）＝m，（5，7）＝n，利用新定义得到＝2，＝7，根据同底数幂的乘法得到＝14，然后根据“雅对”的定义得到（5，14）＝m+n，从而得到（5，2）+（5，7）＝（5，14）；

（3）设：＝a，（2，3）＝b，利用新定义得到＝，＝3，根据幂的乘方得到＝，从而得到a＝b，所以，对于任意自然数n都成立．

【小问1详解】

解：∵＝125，

∴（5，125）＝3；

∵＝16，

∴（2，16）＝4；

故答案为：3，2；

【小问2详解】

（5，2）+（5，7）＝（5，14）；

理由如下：

设（5，2）＝m，（5，7）＝n，则＝2，＝7，

∴＝2×7＝14，

∴（5，14）＝m+n，

∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）；

故答案为：（5，14）；

【小问3详解】

设＝a，（2，3）＝b，

∴＝，＝3，

∴＝，

即＝，

∴an＝bn，

∴a＝b，

即，对于任意自然数n都成立．

【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．

22. 已知如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．

【答案】2∠P＝∠B＋∠D，理由见解析

【解析】

【分析】根据“8字形”可得∠OAB＋∠B＝∠OCD＋∠D，∠EAP＋∠P＝∠ECD＋∠D，由角平分线的定义可得∠OAB＝2∠EAP，∠OCD＝2∠ECD，整理可得结论．

【详解】解：2∠P＝∠B＋∠D，

理由：如图，AD与CP相交于点E，

在△AOB和△COD中，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠OAB＋∠B＝∠OCD＋∠D，

在△AEP和△CED中，

∵∠AEP＝∠CED，

∴∠EAP＋∠P＝∠ECD＋∠D，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，

∴∠OAB＝2∠EAP，∠OCD＝2∠ECD，

∴2∠P－∠B＝2∠D－∠D，

整理得，2∠P＝∠B＋∠D．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．

23. 如图，已知BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，连接FG、FC，FC与BD相交于点H，如果∠GFH与∠BHC互补.

(1)说明：∠1=∠2.

(2)若∠A=80°，FG⊥AC，求∠ACB的度数.

【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=80°．

【解析】

【分析】（1）根据已知条件得到，根据平行线的判定定理可得,根据平行线的性质得出,求出，然后 根据等量代换即可得到结论．

（2）根据三角形的内角和和角平分线的定义即可求解．

【详解】（1）∵∠BHC=∠FHD，∠GFH+∠BHC=180°，

∴∠GFH+∠FHD=180°，∴FG∥BD，∴∠1=∠ABD，

∵BD平分∠ABC，∴∠2=∠ABD，∴∠1=∠2；

（2）∵∠A=80°，FG⊥AC，

∴∠1=90°–80°=10°，∴∠2=∠1=10°，

∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=20°，

∴∠ACB=180°–∠A–∠ABC=80°．

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，对顶角相等的应用，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．

24. 已知，在三角形ABC中，点D在BC上，DE⊥AB于E，点F在AB上，在CF的延长线上取一点G，连接AG.

(1)如图1,若∠GAB=∠B,∠GAC+∠EDB=180°，求证：AB⊥AC.

(2)如图2.在(1)的条件下,∠GAC的平分线交CG于点M,∠ACB的平分线交AB于点N,当∠AMC−∠ANC=35°时，求∠AGC的度数．

【答案】（1）见解析；（2）35°

【解析】

【分析】（1）根据平行线的判定和性质可得∠GAC+∠ACB=180°，根据等量关系可得∠EDB=∠ACB，根据平行线的判定和性质可得AB⊥AC．

（2）根据余角的性质可得∠MAB=∠ACN，根据三角形外角的性质、角平分线的性质和平行线的性质可得∠AGC的度数．

【详解】(1)∵∠GAB=∠B，

∴GA∥BC，

∴∠GAC+∠ACB=180°，

∵∠GAC+∠EDB=180°，

∴∠EDB=∠ACB，

∴ED∥AC，

∵DE⊥AB，

∴AB⊥AC.

(2)∵∠GAC的平分线交CG于点M，∠ACB的平分线交AB于点N，

∴∠ACN+∠MAC=×180°=90°，

∵∠MAB+∠MAC=∠ACN+∠MAC=90°，

∴∠MAB=∠ACN=∠NCB，

∵∠AMC−∠ANC=35°，

∴∠BAM+∠NCG=∠BCG=35°，

∵GA∥BC，

∴∠AGC=35°.

【点睛】此题考查三角形内角和定理，平行线的判定与性质，解题关键在于得到∠GAC+∠ACB=180°

25. 好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列3个问题，请你帮她解决．如图，在△ABC中，点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，点D是∠MBC、∠NCB平分线的交点，BI，DC的延长线交于点E．

（1）若∠BAC=50°，求∠BIC；

（2）若（0<x<90°），则当∠ABE等于多少度(用含的代数式表示)时，，并说明理由；

（3）若∠D=3∠E，求∠BAC的度数．

【答案】（1）   

（2），理由见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）根据角平分线的性质可得∠BIC==90°+∠BAC，即可求解；

（2）根据平分线的性质可得∠ACE=∠A=x°，根据角平分线的性质以及平角的定义，可得∠ACB=180°-∠ACG=（180-2x）°；

（3）设∠ABE=∠EBG=x，∠ACE=∠ECG=y，根据三角形外角的性质列出二元一次方程组，可得∠A=2∠E，求出∠E即可解决问题．

【小问1详解】

解：∵点I是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，

∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）

=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（180°-∠A）

=90°+∠BAC

=115°．

【小问2详解】

当∠ACB等于（180-2x）°时，CEAB．理由如下：

∵CEAB，

∴∠ACE=∠A=x°，

∵CE是∠ACG的平分线，

∴∠ACG=2∠ACE=2x°，

∴∠ACB=180°-∠ACG=（180-2x）°．

【小问3详解】

由题意知：∠ABC=2∠CBE，∠CBM=2∠CBD，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠DBE=90°，

∴△BDE是直角三角形，

∠D+∠E=90°

若∠D=3∠E时，∠E=22.5°，

设∠ABE=∠EBG=x，∠ACE=∠ECG=y，

得∠A=2∠E=45°．

【点睛】本题考查了三角形的内角、角平分线的定义，三角形外角的性质，运用三角形内角和定理，角平分线性质转换角是解题的关键．

26. —副三角板如图1摆放，，，，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分，现将三角板DFE绕点F顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转）．

（1）当________时，；当________时，；

（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数；

（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由．

【答案】（1）30，60；（2）∠APD的度数为60°或105°或150°；（3）=，理由见解析．

【解析】

【分析】（1）当∠AFD=30°时，AC//DF，依据角平分线的定义可得∠CAF=∠FAB=30°，然后根据平行线的判定定理可证AC//DF；当∠AFD=60°时，DF⊥AB，根据三角形的内角和定理即可证明；

（2）分为∠FAP=∠AFP，∠AFP=∠APF，∠APF=∠FAP三种情况求解即可;

（3）先依据证明∠FNM=30°+∠BMN，然后根据三角形外角的性质以及∠AFM和∠BMN的关系可证∠FMN=30°+∠BMN，最后运用等量代换即可说明．

【详解】解：（1）如图1所示：

当∠AFD=30°时，AC//DF理由如下：

∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB

∴∠CAF=30"

∵∠AFD=30°

∴∠CAF=∠AFD

∴AC//DF；

如图2所示：当∠AFD=60°时，DF⊥AB

理由如下：

∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB

∴∠FAG=30°

∵∠AFD=60°

∴∠FGA=180°-∠AFD -∠FAG =90°

∴DF⊥AB；

故答案为：30，60．

（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠FAG CAB.

∴∠FAP=30°

当图3所示：

当∠FAF=∠AFP=30°时，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；

如图4所示：

当∠AFP=∠APF时.

∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF

∴∠AFP=∠APF=（180°-30°）=75°

∴∠APD=∠FAP+ ∠AFP=30°+75°=105°；

如图5所示：

当∠APF=∠FAP=30°时.

∠APD=180°-30°=150°

综上所述，∠APD的度数为60°或105°或150°；

（3）∠FMN=∠FNM，理由如下：

如图6所示：

∵∠FNM是△BMN的一个外角

∴∠FNM=∠B+∠BMN

∵∠B=30°

∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN

∵∠BMF是△AFM的一个外角

∴∠BMF=∠MAF+∠AFM，即∠BMN+ ∠FMN=∠MAF+∠AFM

又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN

∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN

∴∠FMN=30°+∠BMN

∴∠FNM=∠FMN．

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的判定定理、角形的外角的性质等知识点，掌握并灵活应用相关知识是解答本题的关键．