北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 数列的概念课时作业

【精选】1.1 数列的概念-3作业练习

一．填空题

1．已知数列中，，则中的最大项为______.

2．已知数列的首项为，且满足，则下列命题：①是等差数列；②是递增数列；③设函数，则存在某个区间，使得在上有唯一零点；则其中正确的命题序号为________

3．设数列满足,,,，______.

4．数列的通项公式，则________.

5．已知数列的通项公式为，那么满足的整数k的个数为______．

6．已知数列{an}满足an=logn+1（n+2）（n∈N）定义使a1？a2？？ak为整数的数k叫做企盼数，则区间[1，2019]内所有的企盼数的和是______．

7．在数列中，已知，则的前6项分别为______.

8．已知数列满足，（），则________.

9．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________.

10．已知在数列中，，则等于________.

11．欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”，已知数列的通项公式为（），则数列前2020项的乘积为________

12．已知数列，满足.若则的最小值是___________，若，且存在常数，使得任意，则的取值范围是______________.

13．已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.

14．已知数列满足，若，且是递增数列．是递减数列，则_______.

15．设数列满足，则________.

16．设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是________.

17．数列满足：，，①_________；②若有一个形如（，，）的通项公式，则此通项公式可以为_________.（写出一个即可）

18．设，则数列中第________项的值最大．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】利用配方法得出，结合，可知中或最大，计算出和的值，比较大小后可得出数列中的最大项.

详解：，所以，数列中或最大，

，，因此，数列中的最大项为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列中最大项的求解，考查数列单调性的应用，考查计算能力，属于基础题.

2．【答案】②③

【解析】

【分析】

对于①，将已知递推关系式变形可证得数列为等比数列；对于②，结合等比数列通项公式可求得，可验证出，知数列递增；对于③，结合指数函数单调性可确定单调性，利用零点存在定理可得到结论.

【详解】

对于①，由得：，

又，是首项为，公比为的等比数列，①错误；

对于②，由①知：，，

，

是递增数列，②正确；

对于③，由②知：，单调递减，

单调递增

，，

当时，，，即，由零点存在定理知③正确；

综上所述：正确的命题序号为②③.

故答案为：②③.

3．【答案】8073

【解析】对分奇偶讨论求解即可

【详解】

当为偶数时，

当为奇数时，

故当为奇数时，

故

故答案为8073

【点睛】

本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题

4．【答案】

【解析】由题意得出，然后在分式和分母中同时除以，于是可计算出所求极限值.

【详解】

，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列极限的计算，解题时要熟悉一些常见极限的值，考查计算能力，属于基础题.

5．【答案】2

【解析】根据数列的通项公式，去绝对值符号，对进行讨论，进而求得的表达式，解方程即可求得结果．

【详解】

∵，

∴若，则，

∴与矛盾，

∴，

∴

，

解得或，

∴满足的整数，5，即整数k的个数为2，

故答案为：2.

【点睛】

本题考查根据数列的通项公式求数列的和，体现了分类讨论的数学思想，去绝对值是解题的关键，考查运算能力，属中档题．

6．【答案】2026

【解析】根据题意，先求出a1？a2？？ak可得a1？a2？a3？？ak=log2（k+2），即转化为k+2必须是2的n次幂（n∈N），即k=2n-2，由k∈[1，2019]可得1≤2n-2≤2019，可求解对应值，再分项求解即可

【详解】

∵an=logn+1（n+2）=（n∈N），

∴a1？a2？a3？？ak=？？？？=log2（k+2），

又a1？a2？a3？？ak为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N），即k=2n-2，

又k∈[1，2019]，∴1≤2n-2≤2019，∴取2≤n≤10，

∴区间[1，2019]内所有的企盼数的和为：

M=（22-2）+（23-2）+（24-2）++（210-2）=（22+23++210）-2×9=-18=2026.

故答案为：2026

【点睛】

本题考查新定义数列的理解判断，数列的分组求和，属于中档题

7．【答案】

【解析】根据题意分别代入计算即可.

详解：易得，，，，，.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据数列通项公式求某项．特殊角的余弦值等.属于基础题.

8．【答案】31

【解析】根据数列的首项及递推公式依次求出．．即可.

【详解】

解：，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.

9．【答案】(－3，＋∞)

【解析】因为数列{an}是单调递增数列，

所以an＋1－an>0 (n∈N)恒成立．

又an＝n2＋λn (n∈N)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0.

所以λ>－(2n＋1) (n∈N)恒成立．

而n∈N时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立？a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立？a≤f(x)min.

10．【答案】-57

【解析】依次代入即可得解.

【详解】

由，可得；

；

；

.

故答案为：-57

【点睛】

本题主要考查了由数列的递推关系求数列中的项，属于基础题.

11．【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，，然后可得，

，

然后，利用等差数列求和公式求解即可

【详解】

，

.

故答案为：

12．【答案】     

【解析】第一空：令,将问题转化为函数问题,则表示点与原点连线的斜率，观察图象即可求解.第二空：将问题转化为当,则，结合二次函数的最值以及翻折后图象列式即可求解.

【详解】

（1）令，， 表示点与原点连线的斜率，因为，所以，由于为最高点，所以最小，等于.

（2）当时，显然存在；当时，由，则 ，由图象可知，使得任意成立，则需即  又,所以,故的取值范围是.

【点睛】

本题考查数列的综合应用.数列是一种特殊的函数，所以在求解数列最值问题可以借助函数的思想解决.

13．【答案】9

【解析】令，求出即可得到所求答案.

详解：解：令，即，解得或(舍去)，

则是这数列的第9项，

故答案为: 9.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式.

14．【答案】

【解析】根据以及是递增数列．是递减数列,逐个代入分析,找到规律,再求和的通项公式即可.

【详解】

由且得.

又是递增数列．是递减数列,故 ,故

同理,,,,

,.

累加可得

又,故

则

故答案为：

【点睛】

本题主要根据数列的递推关系求得通项公式,主要是分情况讨论求解通项公式的问题,同时也考查了累加法求通项的方法,属于综合题型.

15．【答案】

【解析】先求得的值，然后利用退作差法，求得，由此求得的值.

【详解】

由①得：

当时，；

当时，②， ①-②得.

所以.

故答案为：.

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，属于基础题.

16．【答案】-2

【解析】根据递推公式推导数列的前后项的关系,进而可判断

【详解】

由题意即可，

,

若,则且,即该数列单增，且,

此时若存在常数,使得恒成立，则必有.

若,则,该数列为常数列,即.

当时，显然有

综上所述,.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据递推公式分析数列前后项的关系,进而求得数列的通项范围,需要思考的大小从而分情况讨论,属于难题.

17．【答案】2     

【解析】首先利用数列的递推关系式求出数列各项，进一步利用数列的周期的应用求出数列的通项公式．

【详解】

解：数列满足：，．

当时，．

当时，

当时．

当时．

所以是以为最小正周期的数列

①，

②，

③，

①减②，得④

②减③，得⑤

④除⑤，得

代入④得，再代入③得

故答案为：2；．

【点睛】

本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础型．

18．【答案】5

【解析】结合二次函数的性质,可得,即可求出答案.

【详解】

因为,所以当时,取得最大值.

即数列中第5项的值最大.

故答案为:5.

【点睛】

本题考查了数列的最大项,利用二次函数的最值是解决本题的关键,属于基础题.