2023重庆北碚区高二上学期期末数学试题含解析

【机密】2023年1月13日前

2022—2023学年（上）期末学生学业质量调研抽测

高二数学试题卷

数学试题卷共4页，考试时间120分钟，满分150分．

注意事项：

1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡指定位置上．

2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上，写在本试卷上无效．

3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 空间向量，，且向量与共线，则的值为（    ）

A. －8 B. 8 C. －4 D. 4

3. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知圆，直线（其中为自然对数的底数），则直线与圆的位置关系为（    ）

A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 无法确定

5. 已知椭圆左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a的取值范围是（    ）

A [－，] B. [－，] C. [－，] D. [－，]

6. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A. －20 B. －15 C. －10 D. －5

7. 设是过抛物线的焦点F的一条弦（与y轴不垂直），其垂直平分线交y轴于点G，则＝（    ）

A.  B.  C.  D. 2

8. 已知数列满足，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 关于直线，则下列结论正确的是（    ）

A. 倾斜角为 B. 斜率为

C. 在y轴上的截距为 D. 与直线垂直

10. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，若，则m所有可能的取值为（    ）

A. 4 B. 5 C. 17 D. 32

11. 如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（    ）

A.  B. 三棱锥体积为

C. 三棱锥的外接球的表面积为8π D. 平面平面

12. 已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（    ）

A. 抛物线的准线l的方程为

B. 若F为的重心，则成等差数列

C. 若直线AC过焦点F，过点A和抛物线顶点直线交抛物线的准线l于点D，则直线DC平行于抛物线的对称轴

D. 若直线AC过焦点F，准线l上存在一点M满足为等边三角形，则直线AC的斜率为±

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若椭圆经过点，且焦点坐标为，则椭圆的离心率为___．

14. 已知等差数列的首项为－1，前n项和为，若，则公差为___．

15. 已知空间三点，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为_____．

16. 如图，在棱长为2的正方体中，G是棱AB上的一点，则点到平面的距离d＝___．若E，F分别是的中点，当∥平面DEF时，则___．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，若，求n的值．

18. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P在双曲线上，点M是线段的中点，O为坐标原点．

（1）若点M在y轴上，求点P的坐标；

（2）若OM与垂直，求直线的方程．

19. 已知数列的首项，且满足．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）设，求数列的前n项和．

20. 如图，在直三棱柱中，，．

（1）求证：平面⊥平面；

（2）若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小．

21. 已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点．

（1）若直线也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．

22. 如图，某市决定在夹角为的两条笔直道路边沿EB，EF之间建造一个不影响道路的半椭圆形状主题公园．已知点A在线段EB上，O为AB的中点，千米，椭圆的短轴长千米，OD为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个游乐园，其中点在半椭圆上，交于点，且．

（1）求的取值范围；

（2）若游乐园面积最大值为1平方千米，求的值．