2022-2023学年重庆市北碚区高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市北碚区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定双曲线的即可得渐近线.

【详解】由已知，

则双曲线的渐近线方程为，即

故选：B.

2．空间向量，，且向量与共线，则的值为（    ）

A．－8 B．8 C．－4 D．4

【答案】A

【分析】存在实数使，代入坐标计算可得答案.

【详解】向量与共线,

则存在实数使，即

，可得

故选：A.

3．若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可.

【详解】直线恒过定点，

又关于点对称点为

所以直线恒过的定点为

故选：D.

4．已知圆，直线（其中为自然对数的底数），则直线与圆的位置关系为（    ）

A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定

【答案】C

【分析】通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来得答案.

【详解】圆C：的圆心为，半径为，

则圆心到直线的距离为，

又，

所以直线与圆的位置关系为相交

故选：C.

5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a的取值范围是（    ）

A．[－，] B．[－，] C．[－，] D．[－，]

【答案】D

【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，利用向量数量积建立不等式求解.

【详解】因为椭圆的焦点，，

所以，，

因为，

所以，解得，

故选：D

6．已知等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．－20 B．－15 C．－10 D．－5

【答案】B

【分析】利用，代入可得的值，再变形得到可得答案.

【详解】设等比数列的公比为，

则，

则，

故选：B.

7．设是过抛物线的焦点F的一条弦（与y轴不垂直），其垂直平分线交y轴于点G，则＝（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】联立直线与抛物线方程，求出点坐标以及直线的方程，可得，利用定义求出弦长，可得比值．

【详解】因为抛物线的焦点为，设，，，的中点为，

联立方程组，消去得，

所以，，，即，

所以的方程为.

令，得，.

因此.

又，

所以.

故选：.

8．已知数列满足，且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用累加法，得到，然后得到，进而得到

，最后根据二次函数和指数函数的性质，

得到时，的最小值.

【详解】，

，根据累加法，得到，得到，

检验，当时，满足，，

，明显地，

根据指数函数和二次函数的性质，当且仅当时，有最小值，此时，最小值为

故选：A

二、多选题

9．关于直线，则下列结论正确的是（    ）

A．倾斜角为 B．斜率为

C．在y轴上的截距为 D．与直线垂直

【答案】BC

【分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断.

【详解】直线变形得，

直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确；

令，，即直线在y轴上的截距为，C正确

又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误

故选：BC.

10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），，若，则m所有可能的取值为（    ）

A．4 B．5 C．17 D．32

【答案】ABD

【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可.

【详解】若，则,

则，则或

当时，或5

当时，，

综上可能的取值为.

故选：ABD

11．如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E是的中点，则下列结论错误的是（    ）

A． B．三棱锥的体积为

C．三棱锥的外接球的表面积为8π D．平面平面

【答案】ACD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A；求得平面与平面位置关系判断选项D；求得三棱锥的体积判断选项B；求得三棱锥的外接球的表面积判断选项D.

【详解】以A为原点分别以AB、AD、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系：

则,,,,,,,

选项A：由.

可得，

则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误；

选项B：三棱锥的体积

.判断正确；

选项C：三棱锥的外接球即长方体的外接球，

长方体的外接球直径为

则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；

选项D：

设为平面的一个法向量，

则，令，则，，则

设为平面的一个法向量，

则，令，则，，则

由，可得向量与向量不互相平行，

则平面与平面不互相平行.判断错误.

故选：ACD

12．已知抛物线上三点，，，F为抛物线的焦点，则下列结论正确的是（    ）

A．抛物线的准线l的方程为

B．若F为的重心，则成等差数列

C．若直线AC过焦点F，过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l于点D，则直线DC平行于抛物线的对称轴

D．若直线AC过焦点F，准线l上存在一点M满足为等边三角形，则直线AC的斜率为±

【答案】BCD

【分析】由条件求，由此可得抛物线方程，求其准线方程判断A，由重心性质确定的关系，结合抛物线定义判断B，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法确定关系，求点的纵坐标，由此判断C，结合设而不求法与条件列方程求斜率，判断D.

【详解】因为点在抛物线上，所以，所以，

故抛物线的方程为，其准线方程为，焦点坐标为，A错误，

因为F为的重心，所以，

又点的坐标为，，，，

所以，所以，故，

，所以，B正确；

过点，斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，

故设直线的方程为，联立，消得，，

方程的判别式，又，，

所以，，即，

又直线的斜率为，所以直线的方程为，与直线联立可得

，故点的坐标为，即，故直线与轴平行，C对，

设点的坐标为，线段的中点为，因为为等边三角形，所以，，

因为，所以，因为在直线上，所以，即，所以直线的斜率为，

当时，直线的斜率为，所以，

化简可得，

点到直线的距离为，，

所以，所以，

故，所以，此时直线AC的斜率为±，

当时，直线的方程为，点在直线上，与已知矛盾，D正确，

故选：BCD.

【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的常用方法为设而不求法.

三、填空题

13．若椭圆经过点，且焦点坐标为，则椭圆的离心率为___．

【答案】

【分析】根据条件可得，则离心率可求.

【详解】设椭圆方程为，

则由已知得，

所以椭圆的离心率为

故答案为：.

14．已知等差数列的首项为－1，前n项和为，若，则公差为___．

【答案】

【分析】直接根据等差数列的求和公式列方程求解.

【详解】由得，

解得

故答案为：

15．已知空间三点，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为_____．

【答案】

【分析】利用空间向量的坐标运算求出及，再利用面积公式求解即可.

【详解】由已知，

，

，又

则，

以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为

故答案为：.

四、双空题

16．如图，在棱长为2的正方体中，G是棱AB上的一点，则点到平面的距离d＝___．若E，F分别是的中点，当∥平面DEF时，则___．

【答案】     ;     .

【分析】证明平面，可知为点到平面的距离得解，利用向量法求出点坐标，即可得解.

【详解】连接，设，以D为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，

因为平面，平面，

所以，又，，平面，

所以平面，即为点到平面的距离，，

又，，，

设平面DEF的一个法向量为，

则，令，则，所以，

设，则，

当∥平面DEF时，则，

，解得，

即，所以，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知数列的前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，若，求n的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；

（2）整理得，然后利用裂项相消法可得，然后解方程可得n的值．

【详解】（1）当时，，

由时，符合上式，

数列的通项公式为；

（2）由（1）得，

，

则，解得.

18．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P在双曲线上，点M是线段的中点，O为坐标原点．

(1)若点M在y轴上，求点P的坐标；

(2)若OM与垂直，求直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用M是线段的中点可得点横坐标，进而可得点P的坐标；

（2）设，由点P在双曲线上以及OM与垂直可列方程组求出点P的坐标，进而可得直线的方程．

【详解】（1）若点M在y轴上，且点M是线段的中点，

则点横坐标为，

又当时，，得

故点P的坐标为；

（2）设，则①

又OM与垂直，

则②

由①②得，即，

所以直线的方程为，

整理得直线的方程为，

即为.

19．已知数列的首项，且满足．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列.

（2）利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）由得，即，

又，，

数列为以2为首相，2为公比的等比数列；

（2）由（1）得，

，

20．如图，在直三棱柱中，，．

(1)求证：平面⊥平面；

(2)若AC与平面所成的角为，点E为线段的中点，求平面AEB与平面CEB夹角的大小．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得证；

（2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角.

【详解】（1）在直三棱柱中，，

又，，平面，

所以平面，又平面，

所以平面⊥平面.

（2）设，连接，如图，

则中点为M，且，

∵平面平面且交线为，平面，

∴平面，

所以直线与平面所成的角为，

又，则

以B为原点，分别为x，y，z轴正方向建立坐标系，

则，

设平面的法向量为

，令，则，故，

设平面的法向量为，

，令，则，，故，

设平面与平面的夹角为，

∴，又，.

21．已知点（2，1）在不过原点的直线l上，直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l是半径为1的圆C的一条对称轴，点A的坐标为（0，3），O为坐标原点．

(1)若直线也是圆C的一条对称轴，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若在圆C上存在点M满足，求圆心C的横坐标的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)或.

【分析】（1）先求得圆C的圆心坐标进而求得圆C的方程，再利用几何法即可求得圆C的切线方程；

（2）先求得点M的轨迹方程，再利用两圆有公共点即可求得圆心C的横坐标的取值范围．

【详解】（1）不过原点的直线l在两条坐标轴上的截距互为相反数，

则直线l可设为，又点（2，1）在直线l上，

则，则，则直线l的方程为，

由，可得，则圆C的圆心坐标为，

又圆C的半径为1，则圆C的方程为，

过点A（0，3）的直线斜率不存在时，其方程为，与圆C相切，符合题意；

过点A（0，3）的直线斜率存在时，其方程可设为，

则，解之得，

则切线方程为即，

综上，所求切线方程为或．

（2）圆心C在直线l上，则可设，

则圆C的方程为

设圆C上点M满足，则，

整理得

则点M的轨迹为以为圆心以2为半径的圆；

则点M为圆D与圆C的公共点，

则，即，

则，解之得或.

则圆心C的横坐标的取值范围为或.

22．如图，某市决定在夹角为的两条笔直道路边沿EB，EF之间建造一个不影响道路的半椭圆形状主题公园．已知点A在线段EB上，O为AB的中点，千米，椭圆的短轴长千米，OD为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个游乐园，其中点在半椭圆上，交于点，且．

(1)求的取值范围；

(2)若游乐园面积的最大值为1平方千米，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程，根据已知条件求出直线的方程，根据题意直线与椭圆最多只有一个交点，联立直线与椭圆方程，由及椭圆定义，即可求出的取值范围.

（2）设，则，因为，设直线的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出，在利用圆心到直线的距离求出的高，表示出的面积，根据已知条件，利用基本不等式性质求最值，根据最值条件即可求出的值.

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，

如图所示：

设椭圆的标准方程为：，

则，

由椭圆的短轴长，知，

所以椭圆的标准方程为：，

因为，

所以直线的倾斜角为，斜率为，

又，所以直线过点，

所以直线的方程为：，

联立，消元整理得：

，

由题意知直线与半椭圆最多一个交点，

所以，

即，

因为，所以，

即的取值范围为：.

（2）设，则，

因为，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为：，

联立，消元整理得：

，

设，

则，

所以

，

由到直线的距离为：

，

所以

，

由题意知：，所以，

所以

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，

所以，

即.