初中数学中考复习 专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）

问题分析

“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60°   构造等边三角形     将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上    利用两点之间线段最短求解问题

模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.

当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

【例1】如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．

【答案】

【详解】

将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM

∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．

∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．

故答案为．

【例2】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.

【答案】

（1）△AMB≌△ENB，证明略。

（2）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.

②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小，图略

（3）

【解析】 解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°.

∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.

即∠BMA＝∠NBE.

又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，

∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB，

∴△BMN是等边三角形.

∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长

⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF＝90°－60°＝30°.

设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.

在Rt△EFC中，

∵EF2＋FC2＝EC2，

∴（）2＋（x＋x）2＝

解得，x＝（舍去负值）.

∴正方形的边长为

1．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．

分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

2．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：如图，

∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，

∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，

∴△BFG是等边三角形．

∴BF=BG=FG，．

∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．

根据“两点之间线段最短”，

∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，

过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF=180°-120°=60°，

∵BC=4，

∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，

∵EF2+FC2=EC2，

∴EC=4．

∵∠CBE=120°，

∴∠BEF=30°，

∵∠EBF=∠ABG=30°，

∴EF=BF=FG，

∴EF=CE=，

故选：D．

3．如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．

【解析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．

分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，

易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．

4．已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．

【解析】如图，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，

可知△EFC、△AGC都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，

∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．

∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．

∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．

设正方形的边长为，那么

BO=CO=，GC=, GO=．

∴ BG=BO+GO =+．

∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．

∴ +=，解得=2．

5．已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.

求证：GA+GB+GC的值最小.

【解析】证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD；      

∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.

∵ ∠GCP=60°,∴ ∠BCD=60°,∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。

∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.∴ A、G、P三点一线。

∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.∴ G、P、D三点一线。

∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。

∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.

∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点

6．若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 则点P叫做△ABC的费马点．

（1）若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4， 则PB的值为         ；

（2）如图，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′＝PA＋PB＋PC．

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）∵∠PAB＋∠PBA＝180º－∠APB＝60º，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60º，

∴∠PAB＝∠PBC，

又∵∠APB＝∠BPC＝120º，∴△ABP ∽△BCP，

；

（2）设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°

如图，把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．

∵∠B′EC ＝ ∠APC ＝120°，∠PEC＝60°，∴∠B′EC＋∠PEC＝180°，即 P、E、B′ 三点在同一直线上，

∵∠BPC＝120°， ∠CPE＝60°  ，∴∠BPC ＋∠CPE ＝180°，即 B、P、E 三点在同一直线上

∴ B、P、E、B′ 四点在同一直线上，即BB′ 过△ABC的费马点P．

又PE＝PC，B′E＝ PA，∴ BB′＝E B′＋PB＋PE＝PA＋PB＋PC．

7．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；

（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；

①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围；

(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．

【答案】（1）①补图见解析；②；（2）

【详解】

（1）①如图△DCF即为所求；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，

∴AC＝＝AB＝4，

∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，

∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，

∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，

设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，

∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．

即y＝2（x−2）2＋8，

∵2＞0，

∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，

当x＝4时，y最大值＝16，

∴8≤EF2≤16．

（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，

∴AE＝EG，

∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，

∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．

在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，

∴FH＝AF＝，AH＝＝，

在Rt△DFH中，DF＝＝，

∴BE＋AE＋ED的最小值为．

8．已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.

(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；

(2)求二次函数解析式；

(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.

【答案】

(1)点坐标为,点坐标为

(2)

(3)8

【详解】

(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，

两边都除以a得：

即x2+2x−3=0，

解得x1=−3,x2=1，

∵B点在A点右侧，

∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，

答：A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).

证明：

∵直线l:y=，

当x=−3时,y=，

∴点A在直线l上．

(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=对称,

∴AH=AB=4，

过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，

则AC=，

∴顶点H，

代入二次函数解析式,解得a=，

∴二次函数解析式为，

答：二次函数解析式为.

(3)直线AH的解析式为，

直线BK的解析式为，

由

解得，

即K(3,2)，

则BK=4，

∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2)，

∴HN+MN的最小值是MB，

过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，

则QM=MK,QE=EK=2，AE⊥QK，

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，

∵BK∥AH，

∴∠BKQ=∠HEQ=90∘，

由勾股定理得QB=

∴HN+NM+MK的最小值为8，

答：HN+NM+MK和的最小值是8.